Règles des signes. — Nous avons admis les iorniules
d-u K -= y pdx , M = y Kdx , i -—^ = M.
Ces formules supposent certaines conventions sur les signes dei>, K, M, y\ il importe de les préciser. Supposons d'abord que l'on intègre de droite vers gauche ,
498 INTEGRATION GRAPHIQUE.
c'est-à-dire que l'axe des x et les bases d'intégration soient dirigés vers la gauche, les axes d'ordonnées sont tous dirigés vers le bas ou tous dirigés vers le haut. On reconnaît sans peine que l'ordonnée K représente la résultante des forces qui sollicitent le tronçon de poutre situé à droite du point considéré; l'ordonnée M représentera le moment de cette force et sera dirigée vers la concavité de la libre moyenne déformée. II résulte de là que (Pij et W sont positifs en même temps et cela justifie la formule des déformations. Une autre convention , sur le signe des M, aurait conduit à la formule
Supposons que l'on intègre de gauche vers droite, c'est-àdire que l'axe des x et les bases d'intégration soient dirigés vers la droite; cette hypothèse revient à changer les signes des ûx\ donc les intégrales d'ordre pair M et // restent fes mèntei* , mais les intégrales d'ordre impair K el; y; changent de signe. Il est facile de reconnaître directement qu'il doit en être ainsi; il est évident, par exem|)le, -ciue l'ordoiinée K représentera la résultante ^^i forces qui sollicitent le tronçon d€ gauche \ or cette résultante doit faire équilibre à la résultante des autres forces,- donc les deux efforts tranchants sont égaux et de sens contraire. Nous pouvons résumer comme suit toutes les considérations qui jvrécèdent : i" les charges, les forces et les y sontiwrtés suivant leurs directions; 2'^les momenïs fléchissants sont représentés par de» ordonnées dirigées vers la concavité delà fibre moyenne déformée; 3° selon que Von intègre vers la gauche ou vers la droite, Veffort tranchant est la résultante des forces qui soll'.citent le tronçon de droite ou le tronçon de gauche; 4^ V or donnée /; change de sens avec Taxe des x.
Il est évident que c'est le sens de la base de l'intégration (iui indique que l'on intègre vers la droite ou vers la gauche; mais , dans chacun de ces cas , il est indifférent de tracer la courbe intégrale à partir de l'une ou l'autre extrémité.
54'i. .lléihode générale. — Lorsque les conditionsd'équilibre ne suffisent pas pour déterminer les réactions des appuis,
INTEGRATIO>- GRAPHIQUE. 499
on doit utiliï-er les conditions de la déformation. Pourcliaque travée, on intègre deux fois la courbe des charges ; le lieu des M que l'on obtient ainsi doit être rappcjrté à une ligne de repère droite que nous appellerons ligne des M'. Si on intègre deux fois la ligne des M , on obtient la ligne des // et celle des y , mais, en prenant pour lignes de repère les intégrales de la ligne des M' (05) , ce sont les lignes des ri et des y. La question revient à traf*er soit la ligne des M', soit celle des r! , soit celle des tj. La ligne des /,' est une parabole da second degré que l'on détermine par deux tangentesextrèmes; la ligne des y' est une parabole du troisième degré que Ton détermine par un polygone d'intégration de trois côtés. Ces polygones d'intégration doivent satisfaire à certaines conditions: ce sont les conditions de la déformation. Nous verrons qu'en exprimant ces conditions on détermine soit la ligne des ?/' , soit celle des r! , soit celle des M'; chaque problem;e peut aussi être résolu de trois manières ( 1 ).
Remarquons que les lignes des K , des M , des y;, des y ont deux espèces d'ordonnées : 1° les ordonnées limitées aux lignes des K', des M', des y;', des y', qui refvrésentcnt les véritables valeurs de K, M , •/], ?/; 2'^ les ordonnées absolues que nous désignerons par K", M", r!\ y'\
( 1) Ed statique graphique, on étaWit la théorie des poutres droites en considérant la courbe des y comme uœ courbe funiculaii-e. Or la courbe funiculaire est une intégrale seco-nde ; on trace- donc aiuai l'intégrale seconde de la surface des M , sans utiliser l'iatégcale première ; on supplée aux règles d'intégration que l'on ignore pardes artifices particuliers. Ce.s artifices consistent à décomposer la surface des M en parties connues et inconnues.
La statique graphique ne donne [)as une solution complète des problèmes; elle les ramène à la recherche de certains centres de gravité et de certaines surfaces. Au contraire, en appliquant les prLiacipes que nous venons de rappeler et que nous avions déjà publiés dans le BtUletin me^isuel de déceudjre 1877, on arrive à trois solutions- graphiques complètes, toutes les fois que les charges continues s'expriment par des fonctions entières. La soluûon la plus simple est précisément celle qui échappe à la statique graphique.
500 INTEGRATION GRAPHIQUE.
Les lignes des K, des M , des r, , des y sont aussi celles des
on a: K = K" — K', M = M"— M', y; = vi" - y,', y=y"-y'.
^ IS. I*rineipe de ■''indépendance de<< effets des forces.
— Une poutre est sollicitée par différents groupes de forées ; on détermine les éléments K, M, /;. y pour le premier groupe; on détermine ensuite ces éléments pour les autres groupes , mais en supposant les appuis et les encastrements de niveau; on superpose tous les résultats ; on obtient les éléments de la poutre donnée sollicitée jiour toutes les forces considérées.
En effet, en super^tosant les K", M", //', y" d'une part, les K', M', y! ?/' d'autre part, nous obtiendrons évidemment les éléments d'une certaine poutre sollicitée par toutes les forces considérées. En ajoutant des groupes de forces en équilibre, on obtient un nouveau système de forces en équilibre; donc les conditions de la statique sont satisfaites après la superposition ; voyous s'il en est de même des conditions de la déformation.
Sur un appui, on trouvera une déformation ly'^ — ly^ ; soit ^ l'ordonnée de cet appui; pour le premier groupe de forces, nous avons déterminé l'état de sollicitation de la poutre en tenant compte des niveaux des appuis , donc :
Pour les autres groupes de forces, au contraire, nous avons déterminé l'état de sollicitation en supposant les appuis de niveau ; donc :
On a donc :
La condition de la déformation est satisfaite sur l'appui.
Le même raisonnement s'applique à un encastrement ; outre l'ordonnée y de l'appui, ou donne la direction y, de l'encastrement. Pour le premier groupe de forces, on a :
yf y' = y.
INTEGRATION GRAPHIQUE. 501
Pour les autres , on a :
On a donc :
1-/5"-:^ // = ■/;, ce qui prouve que la condition de la déformation est satislaite aussi, quand il y a encastrement.
Remarques. — 1" Si on suiierposait les effets des forces sans avoir soin de supposer les appuis de niveau pour tous les groupes de forces sauf le premier , on obtiendrait évidemment
Ir,"
Ir,' = Ir,.
11 faudrait donc aussi superposer les ordonnées des api)uis et des lignes d'encastrement pour obtenir les appuis et les encastrements de la nouvelle poutre.
2*^ Divisons les forces en deux groupes et supposons que le premier groupe se réduise à zéro ; le théorème généra', devient le corollaire suivant : on obtient les éléments cVune imutre en superj)osant : 1° les éléments iVune i^oiitre non chargée soumise aux niêmes conditions ; 2'^ les éléments cVune jwutre sollicitée par les forces données, les apxmis et encastrements étant rendus de niveau ( 1 ).
§ 2 Raccordement des arcs paraboliques.
541. l*ro!iIèiuc à résoudre. — Considérons pour fixer les idées , le cas d'une charge uniforme p ; intégrons en divisant la poutre en tronçons; on obtient pour chaque ligne des polygones d'intégration qui appartiennent à une même parabole. Si, en passant d'un tronçon au suivant, la charge
(1) Nous démontrerons plus loin (G70) que ces théorèmes s'appliquent aussi aus arcs courbes. La démonstration plus générale que nous donne- .rons à cette occasion est aussi applicable ici.
502 INTEGRATION GRAPHIQUE.
varie de p à p' , l'intégrale première sera formée de deux droites formant un angle ; l'intégrale seconde , de deux arcs paraboliques tangents ; l'intégrale troisième, de deux arcs paraboliques ayant un contact du second ordre; enfin la ligne des 7j ou l'intégrale quatrième sera formée de deux arcs paraboliques avant un contact du troisième ordre. Si entre les deux tronçons agit une force isolée, la ligne des K présente une discontinuité ; la ligne des M , un angle ; la ligne des •/] , un contact du premier ordre; la ligne des y, un contact du second ordre. Si, dans une section, on introduit un couple isolé , la ligne des M présente un saut brusque , celle des y;, un angle; celle des y un contact du premier ordre. Le problème suivant présente donc de l'intérêt : deux arcs paraboliques se raccordent 2>ar un contact dhin certain ordre ; quelles sont les relations entreles x>olygones d'intégration.
Nons supposerons d'abord que les arcs paraboliques soient du même degré; nous verrons ensuite comment les résultats obtenus peuvent se généraliser.
54L5. Tliéoi'èiue fonilauicnliil. — Si deux arcs paraholiqujs de degré n se raccordent par un contact d'ordre k, les k côtés des polygones d' intégration, comptés à partir du point de jonction, xieuvent être considérés comme les polygones d'intégration de deux arcs paraboliques de degré k; ces arcs font partie d'une même parabole.
Nous exprimerons que deux arcs paraboliques ont un contact d'ordre k , en égalant , au point de jonction, dans les deux arcs , les dérivées :
dp (Pg d>iy
dx ' dx'^ dx^
Mais nous avons démontré (69) qu'il existe des relations entre les dérivées à l'extrémité d'un arc parabolique et les différences successives des ordonnées des polygones d'intégration ; ces relations sont de la forme :
INTEGRATION GRAPHIQUE. 503
On a :
Si on remplace //« par la rotation y , il vient : h h h (Pij
Posons
On a
n n — \ n — 2 fJx^
û}]j nOi— I)(n— 2) A^//
Exprimons le contact d'ordre k, en remplac-ant les dérivées par les expressions analogues à la précédente; les coefficients numériques disparaissent comme lacteurs communs ; il faut donc que les expressions :
