A^ A^2/ AA

aient les mêmes valeurs dans les deux polygones d'intégration.

Considérons les deux paraboles de degré k définies par les côtés les plus voisins de chacun des polygones d'intégration ; les conditions précédentes sont précisément les conditions nécessaires pour que ces paraboles aient un contact d'ordre Il ; ces paraboles de degré li n'ont un contact d'ordre k que si elles coïncident.

Cette parabole est la parabole dit contact; \q polygone du contact est le polygone d'intégration que l'on obtient en réunissant les deux arcs de cette parabole en un seul ; les directrices de ce polygone sont \e& directrices du contact.

Corollaire. — On donne le polygone d'intégration de l'un des deux arcs paraboliques qui ont un contact d'ordre k; on peut trouver les k premiers côtés de l'autre polygone d'intégration, En effet , les k premiers côtés du polygone connu déterminent la parabole de contact ; on peut obtenir les poly-

gones d'intégration de tout arc de cette parabole en la considérant comme l'intégrale multiple d'une droite ; on obtiendra donc facilement les k côtés que l'on cherche.

Cas particulier . —'èi deux arcs compris entre deux mêmes verticales ont, à l'une de leursextrémités , un contact d'ordre k, les polygones d'intégration ont k cotés communs. En effet, les deux arcs de la parabole de contact étant compris entre deux mêmes verticales doivent coïncider ; il en est donc de même de leurs polygones d'intégration.

5 IG. tontaci du <»ccoiMi ordre. — Les côtés adjacents au côté co/iimun se coupent sur la verticale menée à égale distance des extrémités , de ces côtés , qui sont les 2)lus éloignées du point de contact.

Soit (fig. 206) A le point de contact ; les côtés AB' et A.B forment un côté unique s'il y a contact simple. Supposons que le contact soit du second ordre ; les côtés ABC, AB'C enveloi)pent une même parabole. Réunissons ces deux arcs en un seul ce ; les côtés CF et FC sont les tangentes extrêmes , donc le point F est sur l'ordonnée qui divise CC en deux [)arties égales. Cette ordonnée est la directrice du contact; on l'obtient aussi en portant hf= aU. Le i)ol3'gone CFC est le pol^'gone du contact d'ordre 2.

547. Contact du troii»ièuie ordre. — Le polygone du contact d'ordre trois est circonscrit au polygone du contact d ordre deux.

Si le contact est du troisième ordre , il est à plus forte raison du second ordre ; la proposition précédente est donc applicable. Il faut aussi que les trois côtés DCBA et les trois côtes AB'C'D' appartiennent à deux arcs d'une même parabole du troisième degré. Réunissons ces deux arcs en un seul ; soit DHKD' le polj'gone d'intégration de l'arc total DD'. Considérons cet arc total DAD' et le premier arc DA de la parabole du contact d'ordre 3; ces arcs coïncident; à plus forte raison , ils ont en D un contact d'ordre 2. Appliquons le théorème précédent ; DCB et DHK définissent deux arcs d'une même parabole du second degré; donc les tangentes

CB et HK se coupent au milieu de rintervalle qui sépare les verticales des points B et K; il est facile de voir que ce point est F. En effet, soient À = ab , À' = ab' les projections horizontales des côtés des polygones d'intégration ; on a : cf -=!-{- A', cb =^l , donc fb = /.'.

On a aussi kcl' = X + À' , fd'= À-f /'+ >«' ; donc fk = /'.

Ces deux égalités donnent :

fb ^ fil.

Donc le coté HK passe par le point F; cela démontre le théorème. •

5 IS. Coiilael du qnalrièrin' ordre. — Le polygoyie (lu contact (Vordre quatre est circonscrit au jmlygone du contact d'ordre trois.

Les polygones EDCBA et AB'C'D'E' appartiennent à une même parabole du quatrième degré; soit ELMNE' le pol}-goue relatif à l'ensemble des deux, arcs; démontrons qu'il est circonscrit au polygone DHKD'. Exprimons qu'au point E les avis EAet EE'dela parabole du contact d'ordre quatre ont un contact du second ordre ; on prouve comme précédemment que le côté LM passe par le point H. Exprimons ensuite qu'au point E', les arcs EE' et AE' ont aussi un contact du second ordre ; on prouve que le côté MN passe par le point K; cela démontre le théorème.

5-10. Contact d'ordre n. — On vérifie le contact d'ordre n en traçant successivement les polygones des contacts d'ordre P, 3 . .n ; chaque polygone est circonscrit au précédent.

Soient (fig. 206) ABCDE et AB'C'D'E' les polygones de n côtés qui appartiennent aux deux arcs de la parabole du contact d'ordre n. Réunissons ces deux arcs en un seul; soit ELMNE' le polygone d'intégration de l'arc unique. Les directrices de ce polygone sont à une distance facile à calculer; soient : 1 la projection horizontale de chacun des côtés du polygone ABCDE, /' la projection horizontale de chacun des côtés du polygone AB'C'D'E' ; l'arc EE' a pour projection

506 INTEGRATION GRAPHIQUE.

horizontale w (?. -f ^') ; chacun des côtés du polygone ELMNE' a donc [JOur projection 1 + /'.

Supprimons les côtés ED, D'E'; les polygones qui restent, ABCD et AB'C'D' appartiennent à deux arcs de la parabole du contact d'ordre 7i — \; réunissons ces deux arcs en un seul et soit DKHD' le polygone d'intégration de l'arc total ; il faut démontrer que ce polygone est inscrit dans le polygone ELMNE'.

Soient : K , le /i'^'""= sommet du polygone DKHD'; M et N, le k'^"'^ et \e k -+- l''^'"" sommet du polygone ELMNE'; nous allons calculer les coordonnées de cm points etdé nontrer que le point K se trouve sur le côté MN. On trouve facilement les abscisses des points M, N, K ; prenons la projection e du point E comme origine ; on obtient :

point M, œ -= h(l-\- 1') point N, œ< = {k + \){l + l') point K, œ"=k [1 + >') + >•

On en déduit ;

œ" = x -}■ A œ' = œ" 4- /■'• La verticale du point K divise donc MN dans le rapport X : À'; pour que le point K soit sur MN, il faut et il suffit que les ordonnées z, z', z" des points M, N , K satisfassent à la relation

Partons du point E et soient , comme au numéro 69 :

les ordonnées du polygone EDCBA ; on obtient une ordonnée quelconque par la formule symbolique :

Passons du polygone EDCBA au polygone ELMNE' ; prenons (69) la valeur d'une différence; soit par exemple ;

., Il ti h

û?yn = — r r y-a-Z,

INTEGRATION GRAPHIQUE. 507

La dérivée y^-s est la même par les deux arcs EA et EE' de la même parabole ; mais pour le premier arc , on a /i = ni ; pour le second , on a h = n{l + }.') ; on voit donc que h varie dans le rapport :

Il résulte de là que A^ijn devient r'A'?/„ quand on passe du polj^gone EDBCA au pol3'gone ELMNE'. Comme cette relation est générale, on peut dire que dans la formule symbolique il faut remplacer A par rA. On a donc :

^ = (1 +rA)'<ijn (2)

z'^{l+rà)^+^ijn. (3)

Considérons de même les /j'èmes sommets du polj'gone DCBA et du polygone DHKD' ; on a , pour le premier :

Pour passer au k'^"'" sommet du polygone DHKD' , on doit remplacer A par rA , donc :

z" = (1+ rA)' î/l .

Mais l'ordonnée y^ du point B a pour valeur :

On a donc :

Vérifions que les valeurs de z,z', 0" satisfont à l'équation (1). Le second membre de cette équation tlevient en remplaçant ï -\- }.', /, /.' par les quantités proportionnelles r, 1 , r — 1 .

•rf r

Les équations (2), (3), (4) donnent symboliquement z' =(l + rA)3r, .?"=(1 -\-à)z.

(Ibis)

508 INTEGRATION GRAPHIQUE.

L'équation (!'''") devient l'identité :

Cela démontre le théorème.

Corollaire. — Vne iiarahole de degré n esl déterminée par son polygone d'intégration ; trouver un point quelconque et la tangente en ce point.

Soit le polygone ELMNE'; on demande la tangente au point de la parabole qui se trouve sur la verticale a.

Supposons le problème résolu ; soient : A, le point cherché ; EDCB.V et AB'C'D'E' les polj'gones d'intégration des arcs paraboliques EA et AE'; ces deux arcs font partie de la même parabole; nous exprimerons qu'il ont en A un contact d'ordre n. Connaissant le polygone ELMNE', on peut tracer les polygones des divers contacts de ces deux arcs; on trace d'abord les directrices d'intégration de ces deux arcs et les directrices des divers contacts en divisant : ea, a.e\ ee' en n parties égales ; dd' , en n — 1 parties égales; cd , enn — 2 parties égales, etc. Cela étant le polj'gone du contact d'ordre n— 1 s'inscrit en DHKD' dans le pol3-gone ELMNE'; le polygone CFC du contact d'ordre n—2 s'inscrit dans le polygone DHKD'; finalement la tangente commune BB' s'inscrit dans le polygone du contact d'ordre 2 ; le problème est résolu.

On peut donner le polygone EDCBA et demander la tangente en un point situé sur une verticale extérieure e'. Menons les directrices de l'arc inconnu AE' et les directrices des divers contacts qui existent au point A entre l'arc connu EA et son prolongement AE' ; on peut alors tracer successivement CFC, DHKD', ELMNE'; on obtient CFC, en prolongeant CB jusqu'en F et en joignant FB', que l'on prolonge jusqu'en C ; on obtient les autres polygones de la même manière ; finalement on obtient la tangente D'E'.