Contact de deux paraboles de degrés difTérenls

Soit à exitrimer le contact entre une parabole de degré n et une parabole de degré n — 2 déterminées par leurs polj'gones d'intégration. On peut toujours considérer la parabole de

INTEGRATION GRAPHIQUE. 509

degré n — 2 comme un cas particulier de la parabole de degré n ; il suffit dans cette dernière d'égaler à zéro les coefficients des deux termes des plus hauts degrés ; elle donne lieu dans cette hypothèse à un poh^gone d'intégration de n côtés ; si on connaissait ce polygone le problè me serait ramené au cas précédent de deux paraboles du même degré.

Pour l'obtenir, considérons la parabole de degré ?2 — 2 comme l'intégrale n — S'^™" d'une droite ; opérons comme si cette droite était une parabole du troisième degré ; le polygone d'intégration de cette dernière a ses trois côtés en ligne droite ; intégrons cette parabole n — 3 l'ois , nous obtiendrons le polygone d'intégration de n côtés appartenant à la parabole de degré w — 2.

La transformation du polygone de ?z — 2 côtés en polygone de n côtés peut aussi se faire en appliquant le théorème suivant : une iparabole de dégrève, peut être considérée comme cas particulier d.'ime parabole de degré n-h 1 ; le polygone d'intégration rfe n -t- 1 côtés est inscrit dans le polygone de n côtés.

11 est facile de voir que le théorème est vrai pour une parabole du second degré que l'on considère comme une parabole du troisième degré. Nous allons supposer que le théorème soit vrai pour une parabole de degré n — \; démontrons qu'il est également vrai pour une parabole de degré n.

La parabole de degré n est l'intégrale d'une parabole de degré n— l k laquelle on peut appliquer le théorème. Soient ( fig. 207 ) : ABC , deux côtés du polygone d'intégration de la dérivée ; DE un côté du polj-gone d'intégration que l'on obtient eu considérant cette dérivée comme de degré n; A'B'C, les côtés qui sont les intégrales des ordonnées des points A et B ; démontrons que la dérivée du côté inscrit D'E' est l'ordonnée du point D.

Soient : A et B les ordonnées des points A et B , dérivées des côtés A'B' et B'E'; y la dérivée de la corde D' E'; en exprimant de deux manières l'accroissement de l'ordonnée d'un point qui passe de D' en E', on trouve :

y< ÔF =^ aW + B'Fë'.

510 INTEGRATION GRAPHIQUE.

L'ordonnée ij est donc l'ordonnée du centre de deux poids cVV et Z/'e' appliqués en A et en B ; ce centre divise AB dans le rapport inverse du rapport (XU : Ve\

Pour démontrer que ce centre est le point D , il faut donc prouver que l'on a :

ad : dh =- b'e : h'cV.

Soit 0 l'origine d'abscisse ; on a :

Oa = (/i-l}— ^, Orl = k-, Ob==k-^,

d'où

d'où

(n — k)h „ kh

ad = -^- -rr , dà =

ad n — h

db n

On trouve de même :

d'où

dJV n b' e' ~ n —k

En comparant les valeurs des rapports ad : db et d'b' : b'e', on trouve :

ad : db = b'e' : b'd'.

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Ce que nous venons de prouver pour le côté D'E' existe pour toutes les cordes analogues inscrites dans le polygone A'B'C'...; l'ensemble de ces cordes forme donc le polygone d'intégration de n -f 1 côtés ; il est inscrit dans le polygone de n côtés.

Remarque. — Dans le cours de la démonstration précédente , nous avons établi une iiroposition qui sera souvent appliquée dans ce qui va suivre ; nous l'énoncerons comnae

suit : la dérivée rXime corde D'E' qui sous-tend V angle B' d'un i>olygone est l'ordonnée du point D qui divise la distance AB des extrémités des dérivées des côtés de l'angle , dans le rapport inverse des projections horizontales des côtés sous-tendus.

§ 3. Poutres à section variable.

551. Inléjçralîoii apiiroclicc et exacte. — La formule générale des déformatious est toujours applicable; mais le moment d'inflexibilité e varie d'un point à un autre; on obtient alors :

M dx

y — S r^dx.

Il est évident que la métliodo générale et le principe de l'indépendance des effets des forces (542, 54.3) sont encore applicables ; mais ce sont les règles d'intégration qui différent et qu'il s'agit d'examiner ici.

Considérons un élément dx de la poutre ; l'élément de la ligne des y; est déterminé par l'équation :

Cette formule est la même que si la pièce était prismatique ; on obtiendra donc la direction de cet élément par un diagramme des inclinaisons ; M est l'ordonnée de ce diagramme; la base d'intégration dépend des échelles et du coeflicient i. Si on voulait obtenir Mrfjj, on prendrait une base/'.o ; pour diviser par s, il faut multiplier cette base par s; on prendra donc pour base :

Cette base est donc proportionnelle à s. Pour chaque élément dr, , on obtiendra un pôle ; en joignant ces pôles aux

points correspondants de l'axe du diagramme, on obtient les directions de tous ces éléments. On trace la courbe par polygone circonscrit ; on prend des points suffisamment rapprochés pour admettre que les tangentes en deux points voisins .se coupent sur la verticale qui passe à égale distance de ces deux points. On obtient la courbe des y , en intégrant la courbe des /; avec une base constante.

Nous nous occuperons spécialement du cas où la ligne des M est une parabole, de degré quelcouciue, déterminée par son polygone d'intégration ; nous allons démontrer que les tracés rappelés au numéro 540 peuvent encore être appliqués, pourvu qu'on y apporte les modifications suivantes :

1° Pour chaque tronçon h de la poutre , la base d'intégration des r, se calcule comme si la |)Outre avait un moment d'inflexibilité constant £, donné par l'équation :

2° Les directrices des polygones d'intégration des /; et des ?/ ne divisent plus le tronçon de poutre en parties égales , mais doivent être déterminées par les règles qui font l'objet des numéros suivants.

Ainsi, soit (flg. 209, fig. « ) ABCDE, le poh'gone d'intégration d'un arc de la ligne des M ; cet arc est du quatrième degré. Si i était constant, on obtiendrait les lignes des y; et des y en continuant l'intégration ; opérons de même mais déterminons convenablement les directrices, nous obtiendrons le polygone des /; en FGHIKL, celui des y en MNPQRST. Ces polygones déterminent exactement les extrémités des arcs des •/] et des y ; le pol^'gone des /; ne touche pas l'arc ; celui des y touche l'arc aux deux extrémités. Connaissant le polj'gone des 2/, on peut retrouver le polj^gone des M au moyen de la construction inverse.

Le cas général d'une parabole de degré n est moins important que celui d'une ligne droite des M ; ce dernier cas se présente toujours quand la ligne de repère des M ou ligne des M' doit être déterminée par les conditions de la déformation. Aussi nous traiterons d'abord ce cas particulier. Pour sim-

INTEGRATION GRAPHIQUE. 513

pliflerle langage, nous adopterons les expressions suivantes : nous attribuerons à la fibre moyenne de la poutre une densité fictive 1 : î; les poids fictifs desdifTérentes parties de la poutre se représenteront par les aires de la courbe z = 1 : £ ; la verticale centrale d'un tronçon de poutre est la verticale qui passe par le centre de gravité du tronçon calculé dans cette hy[)Othèse.

Eu retournant le tronçon bout pour bout, la verticale centrale prend une nouvelle position : c'est la verticale antice.itrale. En prenant deux axes de rotation aux extrémités du tronçon , on obtient deux centres de percussion ; nous les désignerons \)diV points principaux du tronçon.

55*3. II coiifiitaiii — La ligne des /; se cléter^nine par une corde; celle des y par deux tangentes extrêmes. Ces tangentes se coupent sur la verticale centrale du tronçon.

Soit la ligne M = Mo ; on a :

Cudx , ,, |i^.

Introduisons le coefficient î, , il vient :

C'est cette valeur que l'on obtiendrait si la poutre était prismatique et si t était égal à î, ; car alors . on aurait :

valeur identique à la précédente.

On obtient donc la corde des vî par la même construction que s'il s'agissait d'intégrer la ligne des M. Soit (fig.208, fig.e) AB , cette ligne M = Mo ; on obtient pour corde des ■/], la ligne DF (fîg. f); la base d'intégration se détermine par le coefilcient ï,. Connaissant la ligne DF, on obtient la ligne des M par diflérentiation.

Soient HL et LN les tangentes extrêmes à la ligne des «/;

514 INTEGRATION GRAPHIQUE.

il suffît pour tracer ces"tangentes do connaître la directrice (lu i)oint L. Or, la ligne des^ est l'intégrale seconde de M^ : -: ; donc on peut la considérer comme une ligne des résultantes auxiliaires; les tangentes extrêmes se coupent sur la verticale iu centre des poids à composer; ces poids MoCCjc : z sont proportionnels dx: î; c'est le poids de l'élément de la fibre moyenne de la poutre dans l'hypothèse d'une densité fictive 1 : £ ; donc la verticale du point L passe par le centre de gravité du tronçon de poutre : ce qu'il fallait démontrer.

553. Liijçnc droîlc]des M. — Le polygone des /; se compose de deux côtés qui se coupent sur la verticale anticentrale. Les directrices du polygone des y tombent aux points principaux du tronçon.

Soit AC ( fig. 208 , fig. e ) la ligne des M ; en appliquant cette règle, on obtient DEG polygone des r, et HKMR polygone des y Pour la démontrer, considérons la figure abCA comme l'élévation d'un tronc de prisme, dont la section droite serait projetée en ab ; prenons pour section droite l'aire limitée par la courbe dont les ordonnées normales à ab soient :

Le volume élémentaire compris entre deux [tlans ûo et

X + dx est :

., , Mdx M z dx = ,

c'est précisément dr, ; donc y; — r,o est le volume total. Mais ce volume est le même que celui d'un cylindre de hauteur constante égale à la génératrice li qui passe par le centre de gravité de la base ; on obtient donc la corde des y, en appliquant la règle du numéro précédent à la ligne M = IL Cette construction par corde n'est pas réversible, car de la corde DG , on ne peut déduire que la dérivée li et non AC. La construction proposée est réversible ; nous allons prouver qu'elle conduit au même résultat que la précédente.

En elTet , traçons DE , EG intégrales des ordonnées Aa et Ce ; démontrons que la corde DG est l'intégrale de li. Les

1NTEGRATI0>; GRAPHIQUE. 515

dérivées de DE et EG sont Art et Ce,- la corde DG a donc pour dérivée l'ordonnée du point qui divise AC dans le rapport ef : de o\\ ib : ai; cette ordonnée est li; c'est ce qu'il fallait démontrer.

Si on applique la règle que nous venons de justifier , au cas où A« s'annule , on trouve le polygone E'EG ; donc :

E"G = volume abC.

Si on applique cette même règle au cas oti Ce' s'annule , ou trouve le polygone DEE" ; donc :

DE' = volume Aab.

Le volume total est représenté par DE' + E''G ; cela est conforme au principe de la superposition des lois planes (254, 2*5). Cette remarque nous conduit au polj'gone des i/.

Considérons la courbe des y comme une ligne des résultantes des poids rf/). Remplaçons le poids résultant par les deux poids composants : 1° le poids du volume Aab qui tombe au centre de percussion conjugué à l'axe B et qui est égal à DE' ; 2° le poids du volume A&C on abC qui tombe à l'autre point principal du tronçon et qui est égal à E"G.

Nous trouvons alors la ligne des résultantes HKMR; les côtés HK et MR touchent la ligne des y ; le côté KM est un côté auxiliaire. C'est ce qui démontre la seconde partie de la règle. Remarquons aussi que l'une des intégrales secondes cherchées est AkmC (254).

Nous avons indiqué (fîg. a, b, c, cl) les constructions qui permettent de trouver la base d'intégration des y] et les directrices; nous avons supposé que la courbe des 1 : -: était une droite; la corde de la première intégrale (flg. b) a pour dérivée (fig. a) l'onlonnée moyenne a|3 = 1 : î, ; on obtient dès quantités proportionnelles à e, sur un axe 0). convenablement choisi : Oy= ),)?,. Le centre de gravité et le centre de percussion conjugué à l'extrémité droite du tronçon s'obtiennent par les constructions ordinaires (fîg. c et fig. d).

Connaissant (fîg. e) le centre de percussion k conjugué à B et le centre de gravité i, on obtient l'autre centre de percussion 'Hi par une construction connue.

Soit AB une horizontale , en joignant A.k et Bni , ces droites (254) se coupent eu s sur la verticale du centre de gravité du prisme a&BA; cette verticale est la verticale centrale. Connaissant i, k, la figure donne s ; on trouve m en joignant sB.

554. Ligne parabolique des M. — Supposons pour plus de généralité que la ligne des M soit une parabole de degré n déterminée par un polygone d'intégration ABCDE (flg. 209 , fig. «) ; on a , en prenant l'origine des coordonnées au point a :

M = Mo + - -^ -h — ^^^ + . . .

Soient : Mq , M, , M2,... M» les ordonnées du polygone d'intégration; nous savons (69) que les dérivées de Mq sont égales aux différences AMo, A^Mo,... multipliées par des coefficients; en remplaçant les dérivées par leurs valeurs , la valeur de M devient ;

M = lai M,. (2)

En effet, les dérivées contiennent linéairement les moments Mo, M,, Mj... ; les coefficients a^, «,, a^,... an sont des fonctions entières de x de degré n.

Théorème I. — Les fonctions -à^ , a,..., a>i sont les termes du développement par la formide du binôme de Neivton de l'expression :

Proposons-nous de démontrer que :

7i{n-l)...{n-ii-l) /x^' / x\^^-'

^' = -iT"2 i \h) y- h) ■ ('^

Pour y arriver , appliquons la formule (2) au cas particulier :

(fy('-r*

La forme de cette équation montre immédiatement que la ligue qu'elle représente passe par les points : ^ = 0 , X = h,