M=0, AI
Au premier de ces points , la parabole a , avec Taxe des x, un contact d'ordre i — \; car si x est intiniment i)etit , M est infiniment petit d'ordre i. Au point ^= li, cette parabole a, avec l'axe des x, un contact d'ordre n — i — 1, car ■si h — x est inliniment petii, M est infiniment petit d'ordre ?i — L Considérons la droite M = 0 comme une parabole d'ordre n , son polygone d'intégration s'aligne sur la droite , exprimons les deux contacts que nous venons de constater ; nous trouvons que les i — 1 premiers côtés , et les n — i — \ derniers côtés des polygones d'intégration de la i)arabole et de la droite doivent coïncider ; donc on a :
Mo=0, M, = 0, M.-i = 0, Mi+l = 0 , Mn =0.
Il n'y a qu'une seule ordonnée Mi qui ne s'annule pas ; nous allons la calculer au moyen de la formule symbolique :
Ui = (1 + A)' Mo.
Toutes les différences de 0 à ^' — 1 s'annulent comme les dérivées; donc cette formule devient :
. Ui = A' Mo.
Or on a :
A' Mo = : . .
h d' Mo n—i-\-\ dx'
et
d' Mo
On trouve donc :
Mi = 1.
La formule (2) appliquée au cas qui nous occupe devient :
Donc :
n [n — \) . . . .11— i ^- \ /X\' / ir\ "-'
ce qu'il fallait démontrer.
518 INTEGRATION GRAPHIQUE.
Corollaire. — Le binôme qu'il s'agit de développer pour obtenir les fonctions «0, a,.... On, a pour valeur l'unité; donc :
Icu = 1. (5)
Théorème II. — On obtient les extrémités de Tare des ripar un polygone d'intégration; les directrices des sommets de ce polygone divisent le tronçon de poutre en segments proportionnels aui intégrales :
Pa^dx Cajdx Çandx
la hase d'intégration se calcule comme si l'intégrale des M devait être divisée par e, .
De l'équation (2) , on déduit :
La valeur de r, à l'extrémité du tronçon est :
nh
r.+,=-/,o+2MJ ^i^ (7)
Traçons n directrices dans des positions indéterminées ; soient a^, a, , . . . . a„ , les segments de la longueur h divisée par ces directrices ; intégrons la ligne des M par la méthode proposée, mais avec une base telle que l'on obtienne l'intégrale divisée par un coefficient indéterminé î, ; on obtient un polygone FGHIKL (fig. 209, fig. c) dont les ordonnées sont :
■/in+1 = /;» H — ■ /
Lan
INTEGRATION GRAPHIQUE. 519
d"OÙ :
yi»+i = -/:o -\- 1 ^ ' " ' (9)
Exprimons que la construction résout le problème quelles que soient les ordonnées Mo-..- M» ; on trouve en identifiant les équations C9) et (7)
a, j ' (itdœ
dx , ,
Cela démontre la première partie du théorème. Si nous ajoutons les n -\- 1 équations semblables à (10), on obtient :
^ ai d X
Mais ^7.i = /i, 2rt, = 1 , donc
h 1 dx .
Cela démontre que le coeflicient s, est celui de l'équation (1).
Théorème III. — On obtient un polygone qui touche les extrémités de Tare des y, en intégrant le polygone des -ri avec une hase ordinaire ; les directrices du polygone des y tombent aux centres de gravité que Von obtient en attribuant successivement aux points du tronçon de poutre les densités :
En intégrant l'équation (6), on obtient :
</»+2 =-- 2/« + rjl + ^Mi I I '-^Ijl^ . (11)
Jh Ox I ciidx^
Appliquons la construction proposée en considérant les directrices comme indéterminées; soient |3o, (3,... j3„ les dis-
520 INTEGRATION GRAPHIQUE.
tances de ces directrices au poin t x = h ; les segments sont
h — (io, Bq — ^^, etc.; on trouve :
OU 2/»+2 = 2/0 + -/lo ^ + ^ T'i (■/;'■+ 1 — ^0-
Des équations (8) on tire les différences y;i+i— /;, et réquation précédente devient :
2/- + 2 = i/o + •^o''< + ^ P- M' I «< clx- (12
2(5, M, I a,rf
Identifions lequatiou (12) avec l'équation (1 1) ; il vient a + 1 équations de la forme :
L'intégrale seconde du second mera'ore de cette équation est aussi lo moment autour du point x = h Aq la surface représentée par l'intégrale du premier membre ; donc l'une des directrices tombe au centre de gravité de cette surface Ce raisonnement s'a[)plique à toutes les directrices.
En résumé , il faut : 1° intégrer la courbe z = \ : t pour obtenir î, ; 2° intégrer deux fois chacune des fonctions :
CIq Ci ^ Cl 'Il
Les intégrales premières sont proportionnelles aux segments qui séi)arent les directrices des r,. Les tangentes extrêmes aux intégrales secondes se coupent sur les directrices des i/.
Occupons-nous spécialement des deux premières directrices ; on a :
INTEGRATION GRAPHIQUE. 521
^ j\^-T-f- f fi^-TÏT
Intégrons n 4- l fois la ligne ^ = 1 : s ; soient les intégrales i<o, w,, 2<2 •• • u.i+i; on a (104) :
(7/ — œY dx 1 . 2 ...n T~'
Multiplions l'équation (14) par --, -r ■ • ■ —\
il vient :
Il h h
Cette équation donne «„ i <^" divisant successivement z/„ par i(o, le quotient par —, etc.
Multiplions l'équation (15) par les mêmes termes; on a :
/ {h — xY clx
^oi(» =
L'intégrale seconde du second membre est aussi un moment du premier degré ; donc elle peut s'écrire :
(h — xY dx
{h-X) j g 3^^^ -7- ou («4-l)W„+,.
On a donc
^„Un^ (n -\- 1) Un + l.
522 INTEGRATION GRAPHIQUE.
Menons les tangentes aux extrémités de l'intégrale lu+i ; elles se coupent en un point dont la distancera au point œ = h est donnée par l'équation :
Cl Ztn ^= Zin-+-l •
D'où f3o ={n + \)d.
Appliquons cette construction au cas d'une droite des M; on a n = 1 et :
rio = 2^ = 2(^.
On retrouve la construction ordinaire du centre de percussion effectué flg. 208, flg. d.
Les autres coefficients % et ^i pourraient aussi s'exprimer en l'onction des intégrales î/q à 7in+\ ; mais les méthodes suivantes sont préférables.
555. I>eiixîèiiie luéilioilo. — Suppo.sons connues les directrices pour le cas d'une parabole des M de degré n — 1 ; montrons comment on détermine les directrices pour le cas de la parabole de degré n. Soient pour le cas de la parabole de degré n — \ : h' c' (fig. 209, a) les directrices du polygone des M ; ff' h' f, celles du polj-gone des y;; n', p', q\ r' celles du polj'gone des y. Pour le cas de la parabole de degré n , ou obtient les directrices bcd du polygone des M en divisant fig. h) ae en n parties égales. Déterminons les deux premières directrices g ei n par la méthode précédente; on obtient (flg Ij) les directrices h , i , k en. reproduisant de g en /{ les rapports inverses des rapports
ah Uc c'd l>b' ' ce' ' de
comme l'indique les lignes croisées. On obtient de même les directrices j9, c/', r , s en reproduisant (fig. d) de w en 5 les rapports inverses des rapports
fg g'^i Ji''- i'k gg' ' hh' ' ii' ' hl
On pourrait démontrer ces relations en utilisant les for-
INTEGRATION GRAPHIQUE. 523
mules analytiques qui déterminent les directrices ; mais nous
arriverons plus rapidement au but de la manière suivante.
Proposons-nous de trouver les y; et les ?/ pour la ligne des M :
M = «^" -f- bx''-^ + ...+/.
Décomposons M en deux parties :
Considérons sé[)arément M' et M" et additionnons les résultats. Pour les M', on trouve le polygone des y;FG'H'rK' (fig. c) et le polygone des ^MN'P'Q'R'S' (fig. e). Le polygone des M"est«rfE', car la ligne des M'' a un contact d'ordre 7î — 1 avec l'axe des oc; on trouve le polygone des y," en /K L' ( fig. &) et le polygone des y" en nisT' ( fig. d). En superposant les M, les r, et les y, on trouve :
