AB'CDE, FG'H'I'KL, MNP'Q'RST

On obtient ainsi les extrémités de l'arc des vi et les tangentes extrêmes de l'arc des y en n'utilisant que les deux dernières directrices inconnues k et s; mais les polygones que l'on obtient se déduisent des polygones des M' et des M" ; il s'agit d'arriver au même résultat en intégrant le poh^gone des M sans le décomposer.

Supposons que les directrices ket s soient connues , déterminons les autres par les constructions des figures h et d ; nous allons prouver qu'en intégrant le polygone des M nous obtenons des polygones inscrits dans les précédents , les côtés extrêmes étant conservés. Démontrons, par exemple, que le côté IK qui s'inscrit dans l'angle I' est l'intégrale de l'ordonnée du point D. En effet, la dérivée de la corde IK est l'ordonnée du point qui divise la droite CD' dans le rap]iort inverse du rapport fi' : i'k ; par construction (fig. h), c'est précisément le point D qui est ce point. Cette démonstration s'applique à tous les autres côtés inscrits , soit du jiolygone des Y, , soit du polygone des y ; donc en intégrant le polygone des M, on obtient le même résultat qu'en utilisant les M' et les M". Cette solution du problème ne peut pas différer de la

524 INTEGRATION GRAPHIQUE.

solution trouvée par l'analyse au numéro précédent ; car la théorie analytique prouve qu'il n'y a qu'une solution de cette espèce :

Dans la démonstration, nous avons supposé connues les dernières directions k ets; si on détermine les deux premières directrices /7 et n, les constructions des figures b et cl sont encore applicables et donnent toutes les autres directrices ; on pourrait même déterminer deux directrices quelconques et en déduire les autres par ces constructions.

550. Troîsîèiue niôthodc. — Soient, pour une parabole des M de degré ;i— 1 : g,' h', i' (flg. 210, fig. b) les directrices du polygone des r, ; w, p', q' )■' les directrices du polygone des y; il s'agit d'obtenir ces directrices pour le cas d'une parabole de degré n. Les directrices des r, s'obtiennent par la construction de la figure b qui repose sur les proportions :

fy mn g'h mp' gg^ n't ' hlV p't '

On détermine la première directrice n du polj'gone des y ; on obtient les autres par la construction de la figure c qui repose sur les propositions :

nn' mn' pp' mp)' qq' mq'

Commençons par démontrer la relation :

qq' mq' q'r ~ q't

Appliquons la construction ordinaire à la parabole de degré n — 1 déterminée par le polygone ab'C'e (fig, cl) ; c'est un polygone dans lequel toutes les ordonnées sont nulles sauf l'ordonnée Ce'; la formule M = 1^1, a, devient, en donnant à l'ordonnée M, qui ne s'annule pas, une valeur convenable,

Nous trouvons de même que si on choisit convenablement les ordonnées Ce et Bd, les paraboles de degré », représentées

INTEGRATION GRAPHIQUE. 525

par les polygones abCde et al)cT)e ont respectivement pour «équations :

Si nous additionnons les ordonnées de ces deux polygones . nous obtenons le polygone abCDe qui représente la parabole M = M' + M", or le calcul donne :

donc le polygone abCDe représente la même parabole que le polj'gone a'b'G'e ; donc le premier polygone doit s'inscrire dans le second.

Intégrons ces deux polygones , on trouve PH'I'L ou bien FH?KL , pour ligne des r, ; l'intégrale des M' est FH^Y ; l'intégrale de M" est fiKL. Menons l'axe des œ par le point i et construisons les polygones des y ; on trouve : pour M , MQ'T ou MQRT; pour M', UQRt; pour M", mQRT. Le côté QR est horizontal , grâce au choix de l'axe v] =■ 0 ; nous allons démontrer que MT est parallèle à QR.

En effet , l'intégrale seconde des M' est une ligne des moments ; on a donc :

Mm ■= I orW — ■.

L'intégrale seconde des M" est aussi une ligne des moments; on a donc :

T^ = / {Ji—œ)M"^:

Les valeurs de M' et de M" montrent immédiatement que : xw = {h — œ) M" , donc M«^ = T^ , ce qui prouve que QR et MT sont parallèles.

526 INTEGRATION GRAPHIQUE.

On trouve alors la proportion :

Qq' ijiq' q'R ~ ~qT'

Connaissant le point q' et l'un des points q ou r , on trouve l'autre. En ré[)étant la figure f pour tous les points analogues à 3', on trouve la figure c;on voit quesi on connaît w',p', 3', r', il suffît de déterminer l'une des directrices nouvelles telles que n ; la figure c donne toutes les autres.

Il nous reste à démontrer la règle que nous avons annoncée pour la détermination des nouvelles directrices des Ti -.g, h, i, h. Nous savons déjà que l'on a :

kl ~ r'r'

Nous venons de prouver que :

r's __ r't rr' mr' Donc on a :

;^ rt hl mr'

De là on déduit la construction indiquée (fig. h) : menons i'tetlm; joignons ;'' au point de concours et prolongeons; on obtient k; on trouve de même les autres points,