CHAPITRE II

Poutres sur deux appuis.

§ 1. Charge permanente.

557. Forces isolées. — Soit AB (fig. 211, fig. «)une poutre droite portant quatre poids. La ligne de K est une ligne à gradins (fig. b) que l'on trace immédiatement; on laisse indéterminée la ligne de repère CD , dont la position dépend de la grandeur de la réaction DTde l'appui B. La ligne des M s'obtient (fig. c)en intégrant la précédente. Les lignes de repère se déterminent par les conditions d'équilibre; le

moment fléchissant est nul sur les appuis ; la ligne de repère des M est donc EF.

Dérivons la droite EF ; on obtient l'horizontale CD ; c'est la ligne de repère des efforts tranchants.

Il est facile de voir que la droite CD a pour ordonnée, par rapport à un axe horizontal quelconque, l'ordonnée moyenne de la ligne des K ; eu effet, EF est une corde de l'intégrale de la ligne des K (8). Cette propriété résulte aussi de ce que le moment fléchissant est nul sur les appuis; le moment fléchissant est, en effet, la surface engendrée par les ordonnées de la ligne des K; cette surface est donc nulle entre les appuis. Il faut pour cela que la surface négative située audessus de CD, soit équivalente à la surface située au-dessous de la même droite CD : c'est ce qui caractérise l'ordonnée moyenne.

Pour obtenir la courbe des déformations , effectuons une double intégration de la ligue des M. La ])rcmière intégration donne la ligue des r, ; on obtient (flg. d) un polygone circonscrit à l'intégrale ; la ligne des r, est formée d'arcs paraboliques du second degré déterminés chacun par ses deux tangentes extrêmes. On remarquera que pour obtenir les M sur l'axe du diagramme des inclinaisons des /;, il faut projeter la ligne des M par des droites parallèles à la ligne de re[)ère EF.

La seconde intégrale de la ligne des M est la ligne des y ; nous avons déterminé les ordonnées moyennes des arcs de la ligne des ■/; ( 19); nous en avons déduit un polygone inscrit à la ligne des y (fig e). On obtient les lignes de repère comme précédemment ; sur les appuis , les y sont nuls ; donc la ligne de repère des y est la droite KL ; en dérivant KL , on trouve la ligne de repère GH de la ligne des y; ; OH a pour ordonnée l'ordonnée moj'enne de la ligne des r,.

559. Échelles el hases «riniégrafion. — La base d'intégration /, pour la ligne des M , est donnée par la formule connue (50) qui devient :

mètre x tonne

tonne-mètre

528 INTEGRATION GRAPHIQUE.

On peut aussi obtenir À gra[ihiquement.

Pour obtenir les y; à une échelle déterminée d , on devrait déterminer la base d'intégration par la formule du numéro 55 ; Y, est l'intégrale des M multipliée par 1 : ?, on a donc

tonne-mètre x mètre

' = rf '-

Au lieu d'appliquer cette formule , nous avons choisi arbitrairement la base d'intégration ; on détermine alors l'échelle des yj, en appliquant l'intégration à un exemple simple. Supposons connu le moment fléchissant u. qui développe dans une des fibres extrêmes la dilatation maxima ^ = R : E; soit Via distance de cette fibre à la fibre moyenne ; si ce moment fléchissant .sollicitait la poutre sur une longueur /, on aurait :

Nous aurons y; --= 0,001 , si

ol Y

— = 0,001 , d'où / = -T7--r^- V 1000-}

Calculons l, eu intégrant y. sur cette longueur, on trouve l'ordonnée qui représenter; = 0,001.

Supposons, par exemple , que la poutre soit en fer et que V = 0™30 ; on trouve l = 1 mètre. Nous avons pris NH = 2'" ; nous avons supposé que la poutre soit calculée pour résister au moment fléchissant maximum représenté par 09 (flg. c); nous obtenons MN qui doit représenter y; = 0,002.

On trouve de même l'échelle des?/; on a :

y = f r,dœ- Supposons y] = MN = 0,002 ; on trouve une valeur de y représentée par RS ; or cette valeur de // est :

Si RS représente 4 millimètres, on sait facilement en déduire lechelle des y.

559. Charges iiniroriiies. — Soit (fig. 212) AB une poutre portant deux charges uniformément réparties ; la

INTEGRATION GRAPHIQUE. 529

courbe des deux charges se composent de deux horizontales. Intégrons de gauche vers droite , afin de montrer l'influence du sens de l'intégration sur les lignes des K et des y;. On obtient pour la ligne des K une ligne brisée 12 (flg. b); on obtient pour ligne des M deux arcs paraboliques du second degré que l'on détermine par leurs tangentes extrêmes. En subdivisant la poutre en tronçons plus petits, on aurait obtenu autant de points et de tangentes que l'on aurait voulu ; mais il est à remarquer que si chaque arc est déterminé par ses tangentes extrêmes, il est bien facile de trouver des points et tangentes intermédiaires. On obtient les lignes de repère EF et CD comme précédemment.

On obtient la ligne des y; en intégrant celle des M ; on trouve (fig.(0 deux arcs paraboliques du troisième degré ; on détermine chacun d eux par ses tangentes extrêmes avec un côté auxiliaire. La ligue des y est formée de deux arcs paraboliques du quatrième degré que l'on détermine chacun par un polygone d'intégration de 4 cotes (fig. e). Les lignes de rei)ère sont KL et sa dérivée GH; comme précédemment , les lignes de repère des K et des r,, ont pour ordonnées les ordonnées moyennes des K et des/;. Le polygone d'intégration de la ligne des y tel que nous l'avons tracé , ne donne que la déformation au milieu de la poutre ; mais on obtiendrait d'autres points en subdivisant la poutre en tronçons plus petits et en recommençant l'intégration. On peut aussi appliquer la règle du corollaire du numéro 549.

500. Clijirge variable. — Soit AB (fig. 213) une poutre supiiortaut une charge variable ; supposons que la courbe des charges soit un arc parabolique du second degré déterminé par trois points. On détermine aisément les tangentes extrêmes à cet arc. On obtient alors pour ligne des K, un arc parabolique du troisième degré et pour ligne des M, un arc parabolique du quatrième degré. Chacun de ces arcs est déterminé par son polygone d'intégration : les lignes de repère sont EF et CD. Nous aurions obtenu un nombre quelconque de points des lignes des K et des M en subdivisant la poutre en tronçons; la courbe des charges est l'intégrale

530 INTEGRATION GRAPHIQUE.

d'une droite facile à tracer ; or intègre cette droite en prenant un nombre suffisant de tronçons ; le problème est résolu . Nous avons sur la ligure déterminée le moment fléchissant au milieu de la poutre . eu appliquant la règle du corollaire du numéro 549; nous avons inscrit: KLMN, dans EGF; PQR, dans KLMN; ST, dans PQR; ST touche la parabole au point H.

ôOI. l*oiili*e (|iii *ic pi*oloii;;e aii-delsi des ti|ipiii$$. —

Reprenons la poutre AB de la ligure 211; mais supposons que les appuis soient [)lacés en A' et en B'; les lignes des K et des M ne sont pas changées, mais il s'agit de trouver les lignes de repère. Occupons-nous d'abord de la ligne des M (fig. &); entre l'extrémité B et la force la plus voisine, le moment fléchissant est nul; donc, pour le tronçon BB' la ligne de repère est FF' prolongement du côté 1 ; on trouve de même la ligne de repère EF' pour le tronçon AA'. Entre A' et B', la ligne de repère diffère des deux précédentes à cause des réactions d'appuis ; mais comme le moment fléchissant doit varier continûment , cette ligne de repère est E'F'. En dérivant le polygone EF'E'E,on obtient TT'D'C'U'U ; c'est la ligne de repère des efforts tranchants.

^ 2. Train mobile.

Le passage d'un train sur une poutre provoque des ligues des K et des M variables ; il s'agit de déterminer en chaque point l'effort tranchant et le moment fléchissant maximum. Dans les applications , il y a lieu de considérer un poids mort ; nous ne nous occuperons que de la charge mobile , on y ajoute iacilement l'effet de la charge permanente.

oOt. Tliéorèuie 1. — Quand un train passe sur une poutre, les sornmets du polygone des moments liécMssants décrivent des paraboles du second degré, les sommets du ■polygone des efforts tranchants décrivent des droites parallèles. Les paraboles ont pour dérivée seconde le double de la charge moyenne ; les di oites ont pour dérivée cette même charge moyenne.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 531

Prenons l'appui de gauche pour origine d'abscisse ; soient : X l'abscisse d'un point quelconque , M et K le moment fléchissant et l'effort tranchant en ce point ; P, P', P". .. les forces situées à gauche de ce point ; a, a\ a"... les abscisses des points d'application de ces forces; Q, Q', Q"... les forces situées à droite du pointa',- h, h\ ?>"... les abscisses des points d'application de ces forces; q = {IV -\- IQ) : l , la charge moyenne.

la réaction R de l'appui de droite est donnée par l'équation :

R^ = IP« + IQ&. (1)

L'effort tranchant au point x , pour le tronçon de droite , est:

K = — R + IQ,

pour le tronçon de gauche , on a :

Le moment fléchissant est :

M = — R(^ — ^) + lQ{b-x).

En éhminant R , on trouve :

M = - iP y (/ - ^) - ZQ (l - ^) X. (3)

Supposons que les abscisses c^ a\... b, b'... s'appliquent à une position déterminée du train ; si le train se déplace d'une quantité variable u , toutes ces abscisses augmentent de u ; les équations (2) et (3) deviennent en remplaçant a, b.... par a -\- Il ,b -\- u.... :

K = 2pf+VQ(^l)^,l(£LQi (4)

M = --1F~ U-œ)-lQ[\ -jjx-\-ull^x-Iptz^]{5)

Appliquons ces équations au point d'application de la force p ; pour cela prenons :

532 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Éliminons u des équations (4) , (5) , (6) , on trouve

vp^

M=-iP

-jjx^ix-

-a){l'f-lp'-

Ou tire

delà:

dx

in.

dx^ -- ('^)

c'est précisément ce qu'il fallait démontrer.

503. Théorème II. — Quand un train passe sur une poutre, les côtés du x^olygone des moments fléchissants pivotent autour de points fixes; les abscisses des picots s'obtiennent en divisant la portée de la poutre en parties proportionnelles aux forcer mobiles.

En effet, l'équation (5) représente un des côtés du polygone ; u est un paramètre variable ; c'est l'équation d'un système du premier degré; le côté passe constamment par le point déterminé par les deux équations :

lF{l — x)-lQx==Q, (11)

De l'équation (II), on tire :

l — x IQ

Le pivot du côte compris entre les forces P, P'... et les forces Q, Q'... divise donc la portée dans le rapport IP : IQ; on obtiendra par conséquent les abscisses de tous les pivots en divisant la portée dans les rapports des forces mobiles ; on détermine les pivots eux-mêmes en traçant le polygone des M pour une position quelconque du train.

Nous avons dit que les différentes positions d'un côté forment un système du premier degré en u ; on reconnaît

INTEGRATION GRAPHIQUE. 533

facilement que l'axe des u est vertical ; donc , en pivotant , chacun des côtés détermine sur une verticale quelconque , des longueurs proportionnelles au déplacement du train.

5©4. Force unique. — Soient : (tig. 214) AB la poutre ; MCDEFN et KHG la ligne des K et la ligne des M pour une position de la force mobile.^En conservant la même ligne de repère GK.les pivots des côtés sont évidemment G et K. Le point H décrit une parabole; lorsque la force mobile se trouve aux extrémités de la poutre, le point H prend les positions G et K ; donc la parabole est déterminée par trois points; on peut la tracer par points et tangentes (85 à 90). Les différentes méthodes que nous avons données à ce sujet peuvent facilement se retrouver en utilisant les propriétés des lignes des M ; ainsi le tracé du n" 88 s'obtient aisément en remarquant que le côté mobile HK détermine sur la verticale du point G des distances proportionnelles au déplacement de la force. La parabole GHK est le Keu des i)lus grands moments fléchissants.

Les points D et E du lieu des K décrivent des droites ; ou obtient deux points de chacune de ces droites en plaçant la force sur les appuis.

505. Cas général. — Étudions (fîg. 215) l'influence du passage d'un train sur une poutre sur deux appuis. Soient : (fig. a) la poutre et le train dans une position ; (flg. 6) le lieu des K; (fig.V) la ligne des M. La ligne de repère AF de la ligne des M est horizontale parce que nous avons placé les forces dans une position telle que les réactions HL et GK se déterminent par raison de symétrie ; mais les raisonnements qui suivent ne perdront rien de leur généralité.

Le sommet M de la ligne des K décrit une droite dont la dérivée est (2; la direction de cette droite est KL. En faisant mouvoir le train, on trouve que le point M décrit M'M"; la position M" correspond à l'instant oti une nouvelle force arrive sur la poutre ;:le point M" décrit alors la droite M"N parallèle à K'L ; eh^considérant les positions qui précèdent , on trouve que le point M décrit la ligne GM'MM"N. On trouve de même le polj'gone décrit par les autres sommets ; l'épure

534 INTEGRATION GRAPHIQUE.

indique quels sont les efforts tranchants limites ; ainsi , c'est le sommet M qui donne les plus grands efforts tranchants négatifs ; on trouverait de même les plus grands efforts tranchants positifs.

Passons aux moments fléchissants. Soit ABCDF (fig. c) le lieu des M pour une position du train ; nous obtiendrons les abscisses des pivots en divisant la poutre en segments projjortionnels aux forces; les points P,, P^, P5 de la droite KL (fig. ^) déterminent ces abscisses; on les rapporte sur la figure (^ en P,, Pj, P3. Chaque sommet du polygone des M décrit une parabole déterminée par trois points et que l'on trace comme au numéro précédent. Ainsi le sommet C décrit une parabole qui passe i)ar les points P,, Cet Pj. Pour obtenir . en chaque point de la poutre , les plus grands moments fléchissants, on doit placer le train mobile dans toutes les positions. Il arrive qu'une force nouvelle s'introduit sur la poutre; ainsi pour la position AB'C'D'E'F, une force est sur l"ai»pui A; il suffît de déterminer graphiquement l'un des sommets de ce polygone pour obtenir tous les autres au moyen des pivots ; faisons mouvoir le train vers la droite ; les pivots se dé[)lacent brusquement ; les abscisses des nouveaux pivots sont données par les points Q,, Q^, Q3, Q^ de la droite K'L (fig. b); on les rapporte sur la figure c et on trace les paraboles. L'épure indique quelles sont les positions du train qu'il faut considérer pour obtenir les plus grands moments fléchissants dans les différentes parties de la poutre; on ne trace que les paraboles qui font partie de la courbe limite.

Lorsque la portée de la poutre est considérable, il est avantageux de remplacer certains groupes de forces par leurs résultantes ; ainsi dans la figure 216, nous avons remplacé les forces par trois résultantes; le sommet D décrit la iiarabole PDQ; le sommet C, la parabole CPR. Si on remplace les résultantes par leurs composantes , les angles C et D sont rem[ilacés par des i)olygones inscrits ; mais on reconnaît immédiatement que ce sont les sommets qui accompagnent le point D qui donneront les plus grands moments fléchissants dans la région PQ et qu'il faut se rapprocher de la

INTEGRATION GRAPHIQUE. 535

position pour laquelle lordonnée du point D est maximum; on peut de cette manière éviter des essais inutiles. Entre les [toints P et Q on exécutera la même épure que s'il s'agissait d'une poutre dont la portée serait la projection horizontale de PQ. Pour résoudre complètement la question , il faut considérer successivement les didérentes régions de la poutre et tracer les paraboles limites.

500. 4^<»imilalioii à une charge pcruiancnte.— Lorsque le même système de forces se déplace sur la poutre , le lieu des plus grands moments fléchissants est formé d'arcs paraboliques; on peut démontrer que ces arcs paraboliques sont précisément la ligne des M pour une charge permanente composée comme suit : 1" une charge 2 q sur toute la poutre ; 2° des forces isolées dirigées de bas en haut , [)assant par les pivots et données par la formule F = (/y , y étant la distance entre deux forces voisines, F la force qui passe par le pivot du côté de la ligue des M compris entre ces deux forces.

507. Deiixièuic méthode. - Traçons une ligne des M pour le train donné et pour une poutre indéterminée ; faisons mouvoir la poutre sous les forces, on aura pour chaque position de la poutre une corde pour ligne de rei)ère ; on obtient ainsi les moments fléchissants pour toutes les hypothèses et eu tous les points de la i)0utre. Pour avoir le maximum des moments fléchissants en un point de la poutre, on relève tous les moments fléchissants en ce point pour toutes les positions de la poutre, cm les porte en ordonnée à partir d'un axe hoiizontal , on trace la courbe et on mène une tangente horizontale.

Lorsque l'on ne veut obtenir que le plus grand de tous les moments fléchissants, il siiiîît de chercher le maximum des ordonnées comprises entre la ligne des M et l'enveloppe des lignes de repère; cette méthode est celle qui est donnée dans la [ilupart des ouvrages de statique graphique

56S. méthode exj»édîti*e. — Au lieu de déterminer les plus grands moments fléchissants et efforts tranchants en tous les points , on peut se borner à chercher le maximum

536 INTEGRATION GRAPHIQUE.

absolu des moments fléchissants ; on remplace alors le train par une charge uniforme qui réalise le même moment fléchissant maximum. Le problème à résoudre est alors beaucoup plus facile; le tracé graphique! indique rapidement la parabole qui dépasse les autres; on y mène une tangente parallèle à la ligne de repère (90).

ÔG9. Charge iiiiilornic mobile. — On sait que toute charge isolée produit, sur une poutre sur deux appuis , des moments fléchissants de même signe; on obtiendra donc les plus grands moments fléchissants en chargeant toute la poutre; le tracé de la ligne des M est donc le même que pour une charge permanente.

Occupons-nous de la ligne des K. Soient: (fig. 217) la poutre A'B' ; D", un point quelconque. On reconnaît facilement qu'une force isolée produit en D" un eflort tranchant de l'un ou l'autre signe selon que cette force est à droite ou à gauche du point D"; donc en chargeant le tronçon A'D", on aura l'un des efl"orts tianchants limites au point D" ; en chargeant le tronçon D"B', on obtiendra l'autre limite. Soit CDE la ligne des K pour la courbe des charges C'D'D"B'; l'ordonnée Dd' est la limite des efforts tranchants négatifs ; au point de vue de l'épure , le point D est la limite supérieure des efforts tranchants. Il s'agit de tracer le lieu du [roint D ; remarquons que la ligne de repère AB est l'horizontale moyenne de la ligne CDE ; on a donc :

Dd' X AB = aire CFD = aire \Kd'

^ „ aireAKd'

Intégrons AKMen prenant AB comme base d'intégration; nous obtiendrons la parabole ADN ; c'est la limite supérieure des efforts tranchants. On trouverait de même la limite inférieure ; on reconnaît d'ailleurs aisément que les deux courbes limites sont symétriques par rapport au milieu de la poutre.

Menons la droite AK' dont l'inclinaison soit/j : 2; on obtient aussi la parabole ADN en multipliant les ordonnées de cette droite par ses abscisses ; on a évidemment : hd' X AB = K'd' X Ad'.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 537

§ 3. Charges transmises par entretoises.

Nous admettrons que la charge qui se trouve comprise entre deux entretoises se décompose en deux résultantes appliquées sur ces entretoises ; il s'agit d'examiner l'influence de cette décomposition sur les lignes des K et des M.

510. Charge lixe. — Soient : (tig. 218) AB , un tronçon de poutre, CD la ligne des K , EF la ligne des M. Supposons que la charge qui agit sur la distance AB se transmette sur la poutre par deux entretoises placées en A et en B ; cette charge se décompose en deux résultantes appliquées en A et en B ; nous savons qu'alors ( 128) l'arc EF est remplacé par la corde EF et que la ligne CD est remplacée par l'horizontale moyenne MN. Ce que nous disons de l'intervalle AB, nous le dirions de tous les intervalles compris entre deux entretoises. On voit donc que les entretoises ont pour efïét de remplacer la ligne des M par un polygone inscrit dont les sommets se trouvent sur les verticales menées par les entretoises; la ligne des K s'obtient en dérivant ce polygone. Si on trace la ligne des M en intégrant par polygone inscrit , on obtient directement les véritables lignes des K et des M.

511. Forces mobiles. — Il est d'abord facile de démontrer que toute corde de la ligne des M , comprise entre deux verticales fixes, pivote autour d'un point fixe, quand on fait mouvoir le système de forces. Soient : x\ x" les abscisses des extrémités de la corde; M', M" les ordonnées de ces extrémités ; l'équation de la corde est :

Appelons, comme au numéro 563 , u, le déplacement du système de forces; M' et M" sont des fonctions linéaires de M, il en est de même de M; donc les positions des cordes forment un système du premier degré en u et l'axe des u est vertical. Il faut remarquer que si une force nouvelle s'intro-

538 INTEGRATION GRAPHIQUE.

(luit ou si une force disparaît, soit de la poutre, soit de l'intervalle compris entre les entretoises , le pivot subit un déplacement brusque ; dans ce cas la corde enveloppe un polygone dont les sommets sont les diverses positions des pivots.

Considérons d'abord le cas d'une force unique ( fig. 214) et examinons l'influence de deux entretoises placées sur les verticales des points S et T. Pour une position H de la force , on obtient la corde UV ; si la force vient en S et en T, on obtient les positions limites SY et TX ; ces droites se coupent en R et l'on voit que l'arc SUT doit être remplacé par les côtés SR et RT. On trouve l'effort tranchant dans chaque position par l'inclinaison de la corde; on reconnaît facilement que l'horizontale S'R' donne la limite supérieure des efforts tranchants. On opère de même pour tous les intervalles.

Connaissant les 3 points G , S , K , on obtient la parabole des M en multipliant les ordonnées de la droite SK ]iar ses abscisses comptées à partir du point G. On trouve le point T en menant YX parallèlement à GK et en tirant la droite GXT. De cette construction résulte la position du pivot R; on démontre facilement que la verticale du point R divise dans le même rapport la distance des entretoises et la distance des appuis.

Si la force passe par le point R, on peut considérer GXYK comme la ligne des M à une échelle réduite; à l'échelle vraie, ce lieu devient GUVK ; mais UV, comme XY, est parallèle à GK, donc l'effort tranchant est nul entre les entretoises. Si la force se meut de la gauche vers la droite du point R . la ligne UV pivote autour de R , l'effort tranchant change de signe. On déduit de là que si la poutre supporte une charge uniforme mobile, c'est en chargeant la poutre dans l'étendue GR , puis dans l'étendue RK, que l'on obtiendra les deux limites de l'effort tranchant dans l'intervalle des entretoises.

Considérons le cas d'un système quelconque de forces ; soient (flg. 219) : PABCQ une partie de la ligne dés M pour UJ19, position des forces ; E, F, les entretoises ; F et Q les pivots des cotes des M qui sortent de l'intervalle compris

INTEGRATION GRAPHIQUE. 539

entre les^entretoises, M, N les pivots des côtés AB, BC. Pour la position ABC, le sommet C est sur Fentretoise F, la ligue des M doit être remplacée par la corde dirigée suivant RC. Faisons mouvoir le train vers la gauche : cette corde pivote autour du point R. Lorsque le sommet A vient en A', cette corde prend la direction RS. Au-delà de cette position, une force s'échappe de l'intervalle compris entre les entretoises, la loi change, la corde pivote autour d'un autre point S ; les plus grands moments sont représentés parle polygone CRSB'.

Pour déterminer ce polygone avec facilité , cherchons d'abord les abscisses des pivots par une épure spéciale.

Quand les trois sommets ABC sont situés entre les entretoises, la corde des M est la même que si la résultante des trois forces agissait ; or les côtés PA et QC pivotent autour de P et Q ; on se trouve donc dans le même cas que celui d'une force unique sur une poutre PQ ; la verticale du pivot R divise PQ et la distance entre les entretoises dans le même rapport. Menons E'F' parallèlement à P'Q' (fig. h); joignons P'E', Q'F' ; ces droites se coupent en R' sur la verticale du pivot R. Reculons le sj'stème des forces jusqu'à ce que A vienne en A' ; ce point A' est sur la parabole AMP ; joignons A'R, nous obtiendrons en CR et SR les deux positions extrêmes de la corde qui pivote autour de R. Quand le sommet A passe au-delà de E, la corde des M tourne autour d'un nouveau pivot S et s"ap|)uie sur les côtés qui pivotent autour de M et de Q , on obtient un point S' de la verticale du pivot S en joignant M'E' et Q'F' qui se coupe en S'. La corde pivote de SR à SB'. Les autres positions donnent un pivot T ; la corde B'T vient en C'T, les moments fléchissants diminuent; il est inutile de considérer ces positions.

Passons aux efforts tranchants. Nous avons vu (fig. 215) que c'est en général en suivant la première force que l'on trouve les plus grands efforts tranchants ; quand il y a des eutretoises , il s'agit de savoir si entre deux entretoises , on obtiendra l'effort tranchant le plus grand , en faisant avancer cette force jusqu'à la première entretoise , ou en faisant avancer une partie du train dans l'intervalle des deux entre-

540 INTEGRATION GRAPHIQUE.

toises. Nous allons démontrer qu'il faut faire avancer le train jusqu'au moment où la charge moyenne devient plus grande entre les entre toises que sur la poutre toute entière. En effet, soient : Q, Q', Q" les forces engagées dans l'intervalle considéré i>. ; P, P', P"... toutes les forces. Si le train s'avance de Aw, les sommets du lieu des K tracé comme s'il n'y avait pas d'eutretoises, décrivent la droite d'inclinaison (?; cela revient à dire que le lieu des K subit une translation horizontale Ah , et s'é\è\e ûe qàu. Entre les deux entretoises, l'effort tranchant véritable pour chaque position est l'ordonnée moyenne /Kdx : À; l'effort tranchant négatif augmente de qlu à cause de la translation verticale; il diminue ùe iQàîi : ou q'Mi à cause de la translation horizontale; donc l'horizontale des efforts tranchants vrais s'élève de :

{q — q')Au.

Si q' <q, l'effort tranchant augmente en faisant avancer le train vers la gauche , on s'arrêtera dès que q' devient plus grand que g.

Lorsque À est très petit , la première force donnerait déjà (?' = Q : / > ^ ; cette force s'arrêtera sur la première entretoise. Si / est plus grand et si Q : X < g, on fait avancer la première force jusqu'à ce que la seconde force Q' arrive sur la première entretoise ; on s'arrêtera dans cette position si Q + Q' : l> q. Si /. est encore plus grand , et si l'on a Q + Q': ?. < (Z , on fait avancer le train jusqu'au moment où la troisième force se trouve sur l'entretoise, etc.

^7*i. Charge uniforme mobile. — Il est d'abord évident que l'on obtiendra les plus grands moments fléchissants en chargeant toute la poutre, car toute charge que l'on introduit fait naître des moments fléchissants de même signe; on est donc ramené au cas d'une charge permanente. Il nous reste à nous occuper du lieu des K.

Soient (fig. 217) : a'b', l'intervalle compris entre deux entretoises ; CDE , la ligne des K pour une position de la surcharge ; RS, l'horizontale qui remplace une partie de cette ligne

INTEGRATION GRAPHIQUE. 541

quand il y a des entretoises. Soient : x,^ = ka , x ^ Ad' , x' = ad', / = AB , À = a& ; on a :

DcV X l -=px X —,

Drf X / ^ px'x —•

L'effort tranchant K = Drf' — Dd'à donc pour valeur : px^ px'^

On a aussi x — x' = x^. Déterminons X de manière que K passe par un maximum ; on trouve :

pxdx px'dx' „ ^ , , , ^

= 0 ei dx— dx' = 0.

On en déduit :

Cette proportion est précisément celle qui détermine le point qui divise dans le même rapport la distance des entretoises et celle des appuis ; nous sommes déjà arrivé à ce résultat d'une autre manière (571 ). On eu déduit :

/y» rni /y»

La valeur de K devient en remplaçant x et x' par leurs valeurs :

Or au point a l'effort tranchant K' a pour valeur : „, __ pXp

~ 21 On a donc :

542 INTEGRATION • RAPHIQUE.

Cotte équation justifie la construction suivante :

Soit Ua = K' ; tirons la droite AU, l'iiorizontale UV, la droite BV ; l'horizontale RS qui passe par le point de rencontre des droites AU et BV est précisément la limite supérieure des efforts tranchants, dans rintervallea&. En raisonnant de la même manière pour tous les intervalles analogues, on trouve que la parabole AN doit être remplacée par une ligue à gradins dont toutes les horizontales se déterminent comme la ligne RS.

On peut aussi démontrer que RS coupe la tangente U à la courbe des K', au milieu de l'intervalle compris entre les ordonnées des points U et D; cela permet de trouver RS d'une autre manière.

Si en particulier les entretoises sont à égale distance les unes des autres, les points analogues au [>aint où la tangente U est coupée par RS, sont aussi à égale distance les unes des autres ; la construction peut être considérablement simplifiée.