E.\|trei>>^iont« de la valeur de // à l'e\lréiiiiié

libre. — Sur l'épure des 7;, les y sont évidemment représentés par des aires :

Sur l'épure des ]\I, les •/] sont re[)résentés par des .aires, les 7j par des moments (539). Ainsi , soit (flg. 222) [j. le moment, autour de l'extrémité G, de l'aire FGK limitée par la ligne des M ; on a ;

Sur l'épure des K , les y représentent les moments d'inertie divisés par 2 ; mais il ftiut pour cela prendre pour lignes de

INTEGRATION GRAPHIQUE.

repère, les paraboles osculatrices (107) Ainsi au point R, la parabole osculatrice est une droite, car M = 0 ; on a donc en P'P une ordonnée qui représente le demi-moment d'inertie de l'aire EDC autour de la verticale du point C. L'ordonnée RQ a une signification bien simple. Eu P, la parabole osculatrice est l'intégrale seconde de M = Mo , Mo désignant le moment fléchissant dans la section d'encastrement. Soit y', l'ordonnée au point Q de cette parabole osculatrice ; cette parabole passe sous le point R et Ton a :

I est le moment d'inertie de l'aire ECD autour de la verticale du point D. Or on a :

II vient donc :

Les formules ( 1 ) , (2) , (3) s'appliquent aussi à une poutre quelconque, si on prend comme ligne de repère des 7/ une tangente à la fibre moyenne déformée et si on assimile le point de contact à une S' ction d'encastrement ; il est à remarquer, en effet, que tous les raisonnements qui précèdent subsistent complètement.

On peut aussi représenter les deux dernières valeurs par des aires ; prenons l'extrémité libre comme origine, on a :

£ ?/ = fjL = / M^ dx ,

K{1^ -x^)dx.

Les aires qui représentent y sont limitées par les courbes Mœ , et K (l'^ — œ'^) que l'on obtient par une méthode connue (70).

§ 2. Poutres encastréss à ses deux extrémités.

57 7. i^oluiion par répiirc d«s y. — Intégrons quatre fois la courbe des charges en nous donnant arbitrairement los premiers points; nous obtiendrons les lignes des K,des M . des -f] , des y ; il s'agit de trouver les lignes de repère. Soit , (fig. 223) ACD la ligne des M ; la ligne des M' est une droite inconnue A'B'. Nous avons représenté la ligue des /) par sa corde EF , la ligne des y par ses tangentes extrêmes , afin de simplifier la figure qui est destinée uniquement à l'explication de la méthode. La ligne des •/)' est une parabole du second degré qui doit être déterminée par deux tangentes extrêmes; la ligne des if est une parabole du troisième degré qui doit être déterminée par un polygone d'intégration de trois côtés. Exprimons les conditions de la déformation y aux deux extrémités de la poutre, on doit avoir ?/ = o, •/) = 0 , si les extrémités sont encastrées suivant la même horizontale ; il faut donc que les tangentes extrêmes des lignes des y et des ?/' coïncident ; on connaît les tangentes extrêmes KS et SL de la ligne des y ; le polygone d'intégration de la ligne des y est donc KMNL. On obtient en prenant les dérivées , la ligne des ri en DGF , la ligne des M' en A'B' ; le problème est résolu. On peut obtenir les moments AA' et BB' plus rapidement, si on a soin de prendre deux bases d'intégration l \ 2 et ^ : 3; nous savons qu'alors (115) l'une des intégrales secondes de B'A' est B'ee'A' ; donc si nous avions pris ces bases d'intégration, nous aurions YJ) = BB', aL = AA'.

La méthode que nous venons d'exposer s'applique avec la même facilité au cas où les encastrements seraient situés à des niveaux difiérents et où les fibres encastrées feraient avec l'horizon des angles connus. On trace alors les tangentes extrêmes à la ligne des ?/' de manière à réaliser ces conditions et on achève comme précédemment. Supposons, par exemple, que les encastrements soient horizontaux, mais que l'encastrement de droite soit plus bas que celui de gauche d'une longueur représentée par L'L; on trouve en KMN'L' le polygone d'intégration de la ligne des ^/'.

546 INTEGRATION GRAPHIQUE.

5Î^. Soliilîon par répiipc des /,. — Les cûuditions de la déforuiation donnent les extrémités de la li^ne des r! et de la ligne des ?/'; ce sont les points E et F et les [joints K et L , si les libres extrêmes sont encastrées suivant une même horizontale. En prenant la dérivée de la corde des //' , on obtiendra le point H , point nioijen des /;'; c'est le centre de gravité du triangle f]GF (19) Pour construire le triangle EGF, il suflit de tripler la distance du point H au milieu de la corde EF, on obtient le sommet G. On peut aussi déterminer le milieu Rdu c»Ué GF en traçant la médiane EHR.

Cette construction peut quelquefois s'effectuer sans utiliser répure des y. Si les fibres extrêmes sont encastrées suivant une même horizontale, les cordes dos y et des y' coïncident , le [loint H est aussi le point moyen des y ; on peut obtenir ce point par divers procédés sans se servir de l'épure des //.

579. Solution par IVpiire dos 11. — Déterminons le point H comme nous venons de l'indiquer ; nous allons démontrer que les dérivées des méfl.innes ¥A\ et W¥ ont pour valeur le"; M' principaux. On reconnaît f'a"cilement que dans le cas d'une poutre prismatique les points principaux (559) divisent la poutre en trois [larties égales; les M' principaux sont donc les ordonnées Pc, Qe' en ces points. Démontrons, par exemple , que la dérivée de EH est Pe. En effet, la droite EH prolongée passe parle milieu R du côté GF ; la dérivée de cette corde ER de l'angle G est donc (550, remarque) l'ordonnée du point (jui divise B'A' dans le rapport inverse des projections horizontales des cotés EG et GR; ce rapport est 2 : 1 ; donc la dérivée de EH est Pe. En prenant la dérivée des côtés EHF, on trouve donc les deux points principaux P et Q de la ligne des M'.

580. Soliitioîïs diverses. — Nous ne considérerons plus que le cas où les fibres extrêmes sont encastrées suivant une même horizontale ; s'il n'en est pas ainsi , on pourra toujours ajouter l'influence des conditions de la déformation , en appliquant le principe de l'indépendance des effets des forces.

La ligne des M' doit satisfaire à deux conditions; il faut,

INTEGRATION GRAPHIQUE 547

qu'aux deux extrémités de la poutre on ait y; = 0 et // = 0 ; la première exin'ime que la surface des M e>t nulle; la seconde que le moment de cette surface est aussi nul (539); donc les poids positifs et négatifs de cette surface doivent se taire équilibre. Or cette sufaceest la différence entre la surface ACDB et la surface AA'B'B ; il faut , par conséquent , que ces surfaces ACDB et AA'B'B aient des poids égaux et dirigés suivant la même verticale. On est donc ramsné au problème suivant : trouver un trapèze AA'B'B connaissant sa surface et l.i verticale de son centre de gravité ; ce problème se présente dans beaucoup de questions; c'est pour ce motif que nous en avons transporté la solution dans la partie théorique de ce mémoire (117).

On peut aussi joinilr^ l.'s p.")iQts principaux e et e' à l'extrémité I' de l'ordonnéa rao\'^enne de la ligne ACD; on obtient (247) : UW = AA', VW = BB'.

Ces moments extrèaios peuvent aussi se représenter par des aires ; mais on arrive à une formule plus simple eu calculant les moments principaux. Prenons l'extrémité A pour origine; le moment principal Pc s'obtient [)ar la formule :

Ve X -;^- = / Wxdx.

Enefïét, on reconnaît aisément que , si on renqdace la

ligue des M' par y ^ Ve, l'intégrale première devient la médiane EH i)rolongoe, et que l'intégrale s<^conde conserve la même corde KL, et la même tangente KM; donc le moment de la surface des M' autour du point A ne change pas en faisant pivoter la ligne des M' autour du point P : il est égal au moment du rectangle de hauteur Vc. Eu exprimant que ce moment est aussi égal au moment de la surface ACDB, on obtient la formule qu'il fallait démontrer. L'intégrale est l'aire de la courbe ?/ = M"j?; on obtient facilemeni cette courbe (70). On trouve de même le moment Qe' ; on a aussi :

Jï' X l = f M" dœ.

548 INTEGRATION GRAPHIQUE.

On en déduit K' par la formule :

On tire de là

K'i = II'— pe.

K'|=yM" {l--2x)dx.

En intégrant par parties , on trouve :

On i)eut aussi démontrer le théorème suivant : le centre de percussion de la surface couverte par les efforts tranchants vrais, par rapport à un axe vertical passant par l'une des extrémités de la poutre, se trouve sur la verticale qui passe par l'autre extrémité. On peut déduire de là la formule :

l / Kœdx = S Kic'rfo?.

En remplaçant K par K" — K' on retrouve la valeur de K' établie plus haut.

581. Forces isolées. — Soit (fig 224) AB une poutre encastrée sollicitée par deux forces isolées. On trouve successivement la ligne des K en CD , la ligne des M en EFG , la ligne des r\ en HKL , la ligne des y eu MNR. On trouve alors la ligne des ?/' en MN'P'R, la ligne des // en HK'L, la ligne des M'^eu E'G', la ligne des K' en CD'; le problème est résolu.

5S9. Charges unii'oruiéuient réparties. — Soient : (fig. 225) AB , la poutre; AA' BB' les charges. On trouve successivement: la ligne des K en CD, la ligne des M en EFG, la ligne des /) en MRNL. Au lieu de tracer la ligne des y , déterminons directement l'ordonnée moyenne des arcs LP et PE par la construction du numéro 24 ; on obtient facilement le point moyen I^des /;. En prenant les dérivées des droites LI et IM , on obtient les points principaux S et T de la ligne des M'.

583. l'Iiarge variabie. — tneioS ( fig. 226) : AB, la poutre; A'B', la courbe des charges. Eu intégrant on trouve succès-

INTEGRATION GRAPHIQUE. 549

sivement : la ligne des K en CDE , la ligne des M en FGH , la ligue des y] en KLM, la ligne des y en PQRS. On remarquera que dans le polygone d'intégration , nous avons remplacé les trois côtés intermédiaires par un côté unique RQ; on reconnaît facilement que l'inclinaison de ce côté s'obtient en intégrant l'ordonnée du point L, centre de gravité des trois sommets intermédiaires de la ligne des y; (540).

Traçons la ligne des y' en PQ'R'H ; prenons les dérivées successives, on obtient la ligne des •/;' eu KL'M , la ligue des M' en F'H', la ligne des K' en CE'.

581. Force i»>olcc. — Soient (11g. 227) : AB , la poutre ; CD , la ligne des K ; EFG , celle des M ; E'G' , la ligue inconnue des M'. Le trapèze GG'E'E a même poids résultant que le triangle EFG; on obtiendra donc E' et G' par la construction du numéro 119. On porte MN = — FF' sur le milieu N

de GE et par le point F , on mène des parallèles FG' et FE' aux droites GM et ME.

Cette construction se modifie aussi de la manière suivante: on mène par le point F , HK parallèle à GE ; les droites FG' et FE' sont parallèles aux diagonales KG et HE du parallélogramme HKEG.

Aux points S et T , le moment fléchissant est nui ; ce sont les points d'inflexion ; démontrons que ces points se trouvent aussi sur les droites NK et NH. En effet, les figures MTEN et TFKE' sont semblables; les côtés NT et TK sont homologues : ils doivent être en ligne droite. Lorsque la force se déplace, les points d'inflexion varient ; la position des points d'inflexion est indépendante de la grandeur de la force , car la droite FF' peut , en modifiant l'échelle des M , représenter des moments de toute grandeur. Donc , en déplaçant le point F sur la droite, en joignant GF et FE , on obtiendra les positions du point d'inflexion pour toutes les positions de la force isolée.

585. Couple isolé. — Soient (fig. 228) : AB, la poutre sollicitée par un couple isolé; CDEFL, la ligne des M ; HK la ligue inconnue des M'. Il faut que le rectangle CDEF et le

550 INTEGRATION GRAPHIQUE.

trapèze HKCL ait un même poids dirigé suivant la même verticale. On trouve l'ordonnée moyenne MN en joignant les milieux des côtés LF et ED ; le point M est le milieu de la droite HK. Apidiquons alors la construction du numéro 247 ; c'est le même problème que s'il s'agissait de trouver la pression sur un mur. Joignons le point M aux points principaux de LC, on obtient sur la verticale du centre de gravité du rectangle DEFC, les points K' et H'; on on déduit les points H et K de la ligne des M'.

Les moments fléchissants changent de signe aux points S et T : ce sont les points d'inflexion de la fibre moyenne déformée; il nous sera très utile de construire l'épure des points d'inflexion produits par un couple isolé qui se déplace. La position de ces points est indépendante de la grandeur du moment du couple isolé , car une même ordonnée CD peut représenter des moments de toute grandeur. Nous admettrons que l'ordonnée moyenne MN reste constante et nous prendrons :

MN = ee' = -•

On reconnaît facilement que l'on a alors :

PH = AH' = 2M/i = LF.

On obtient donc le point d'inflexion S par la construction suivante : on porte MN = ^ : 3; on porte en PH l'abscisse LF du couple isolé , on joint MH. Il est évident que la même construction s'applique au point d'inflexion T ; on portera donc QR = FC, on joindra MR, le point T' est sur la verticale du point T ; c'est le second point d'inflexion. C'est en utilisant cette règle que nous avons dressé (fig. 229, c- l'épure des points d'inflexion pour différentes positions du couple isolé.

5$G. Force isolée mobile. — En appliquant la construction du numéro 584 , pour chaque position de la force , on obtiendra les M pour chaque cas; mais il convient de modifier légèrement cette construction pour obtenir les lignes des M rapportées à une ligne de repère unique. Pour y arriver,

commençons (flg. 229, &) par tracer la ligne des M pour une poutre sur deux appuis mais en changeant le sens des ordonnées; ou trouve ACB. Quand la charge se meut, le point C décrit une parabole que l'on trace facilement. Appliquons la construction connue à la position C, on trouve la ligne de repère EF. Prenons alors AB comme ligne de repère et revenons au sens habituel des ordonnées M; on reconnaît facilement que les moments fléchissants BE et AF sont portés à partir de AB précisément dans le sens qui convient; on obtient donc la ligne des M en EGF, en portant DG = CK. On obtient de cette manière les M pour toutes les positions; nous les avons transportés sur la figure a. Le sommet G décrit une courbe ; les côtés EG et GF enveloppent deux autres courbes ; ces courbes constituent les limites supérieures et inférieures des M.

Il est utile pour tracer les courbes-enveloppes de déterminer exactement les points où ces courbes sont touchées par leurs enveloppées. Nous allons démontrer que ces points de contact se trouvent sur les verticales des points d'inflexion produits par un couple isolé que l'on substituerait à la force mobile.

Remarquons, en effet , que si la force est dans une position, nous la déplacerons infiniment peu en introduisant un couple isolé dans la section où elle agit; aux points d'inflexion produits par ce couple, il faut ajouter des moments nuls ; donc sur les verticales de ces points se trouvent les points immobiles des côtés de la ligne des M ; ce sont les points où ces côtés touchent leurs enveloppes.

On obtient la ligne des K , pour chaque position de la force, en prenant la dérivée de la ligne des M; on trouve une ligne telle que QPMN (fig. cl) ; les sommets P et M décrivent les courbes AB et A'B' que l'on détermine par points et qui constituent les limites des efforts tranchants.

Ces courbes s'obtiennent plus rapidement par la méthode suivante. Prenons le point B' comme une origine d'abscisse ; soit ic = CB' l'abscisse de la force P = PM. Prenons la droite QR pour axe provisoire , la surface des K" est le rectangle

552 INTEGRATION GRAPHIQUE.

PMNR , on trouve rordonnée K' = PC du point P en appliquant la formule du numéro 580 qui devient :

Ou en conclut que le point P décrit une parabole du troisième degré qui touche la droite AB' au point B' ; comme les cjurbes AB et A'B' sont identiques (MP = P) , la tangente en B est aussi horizontale. Par raison de symétrie, les mêmes propriétés doivent exister en A et A'. On connaît alors les polygones d'intégration des deux paraboles ; on trouve pour la parabole AB, le polygone ACDB ; on peut obtenir alors autant de points de la parabole que Ton veut ; on trouve notamment le iioint H ; on démontre aisément que c'est un centre et un point d'inflexion.

587. Train niol»ile. — Un sj'stème de forces isolées se déplace sur la poutre ; on peut obtenir la ligne des M pour chaque position du système, en utihsant le principe de l'indépendance des effets des forces ; on construit l'épure des M pour le cas d'une force unique mobile ; par un changement d'échelle on obtient les M pour toute autre force ; pour chaque position du système, on superpose les moments dus aux différentes forces.

On peut aussi laisser les charges immobiles et déplacer la poutre sous les forces; on trace pour une poutre indéterminée les lignes des K, des M, des /; et des ?/ ; on a soin de prendre pour effectuer l'intégration des tronçons de poutre égaux à une fraction déterminée de la portée, un cinquième par exemple ; ou place alors la poutre dans diverses positions, en la déplaçant chaque fois d'un cinquième de sa longueur ; on s'arrange de manière que les extrémités de la poutre correspondent aux points de la ligne des y où l'on a tracé les tangentes ; on détermine aisément les hgnes de repère. On peut alors obtenir tous les moments fléchissants et tous les efforts tranchants qui se produisent en chacun des points de la poutre et déterminer leurs valeurs limites.

INTEGRATION GRAPHIQUE. 553

Charge uniforme mobile.— Si la charge uEiforme s'avance en AD sur la i»outre AB (flg. 230 , &), la ligne des M sera formée d'une parabole et d'une droite; traçons ces lignes pour toutes les positions du point D ; faisons ensuite entrer la charge de la gaucho vers la droite ; traqons les enveloppes de toutes les lignes des M; nous obtenons les courbes adfb et gd' f 11 ; ce sont les courbes limites cherchées. Cette méthode est pénible; en outi^e, on peut se demander si, en fractionnant la charge, on obtiendrait pas des positions plus défavorables que celles que l'on a considérées. Nous allons d'abord faire disparaître ces doutes , ensuite nous indiquerons le moyen d'obtenir plus facilement les enveloppes des M.

Construisons (flg. d) l'épure des points d'inflexion produits par une force isolée mobile. Proposons-nous, par exemple , de chercher sur la verticale du point S les moments fléchissants limites. La figure b nous indique que toute charge placée dans l'intervalle HF produit un point d'inflexion situé à gauche de S et par conséquent produit en S un moment fléchissant négatif; toute charge placée dans lintervalle FK produit au contraire en S un moment fléchissant positif. Nous obtiendrons donc le plus grand moment fléchissant négatif en enlevant toutes les charges qui donnent un moment positif en S, et en introduisant toutes les autres; c'est en chargeant AD que nous réaliserons ces conditions. On trouve de la même manière qu'en chargeant DB, on obtient en S le plus grand moment fléchissant positif. Au point F correspond aussi le point d'inflexion T, eu chargeant AD ou DB on obtient aussi les deux limites du moment fléchissant en T. En résumé, les positions les plus défavorables s'obtiennent en faisant avancer la charge continûment de l'un ou de l'autre côté, sans la fractionner; cela justifie la méthode des enveloppes que nous avons exposé précédemment.

Ce raisonnement nous conduit aussi à la détermination des points où les enveloppées touchent leurs enveloppes. Plaçons la charge en AD ; les points m et ;>' de la ligne des M, situés sur les verticales des points d'inflexion produits par une force isolée en D , appartiennent aux courbes limites ; ce

554 INTEGRATION GRAPHIQUE.

sont les points de contact cherché. Cette proposition se démontre aussi en reproduisant le raisonnement du n'* 586 déplacer la charge AD , c'est introduire une force isolée en D or cette force produit aux points d'inflexion des moments nuls donc sur ces points d'inflexion se trouvent les points immobiles des enveloppées : ce sont les points où elles touchent leurs enveloppes.

Avant de passer aux tracés graphiques, voyons de quoi se composent les courbes limites. Si nous déplaçons le point F, nous voyons que le point S ne peut dépasser S' ; on démontre aisément que ce point S' tombe sur l'une des verticales principales ; on démontre de la même manière que le point T ne peut dépasser l'autre verticale principale ; donc dans la région centrale comprise entre les points principaux, il ne se produit que des moments fléchissants négatifs ; on obtiendra donc la limite supérieure de ces moments en chargeant toute la poutre, ce qui donne la parabole clf ; la limite inférieure est la droite cVf.

Si on se place en un point C du premier tiers de la travée, on trouve deux limites ra et p ; la première s'obtient en chargeant AD, la seconde en chargeant DB ; le lieu du point m est une courbe ad, le lieu du point p est une autre courbe g(V. Ces deux courbes satisfont à la relation suivante : la somme algébrique de leurs ordonnées est précisément l'ordonnée de la parabole gd que l'on obtient en chargeant toute la poutre. En effet, si on charge AD, on obtient le moment cm ; si on charge BD, on obtient cp ; superposons ces résultats ; cela revient à charger toute la poutre : on doit trouver en ; donc :

en = ep +■ (— cm).

On déduit de là :

one = np.

Cette relation existe aussi pour un point infiniment voisin du point m : on en déduit aisément qu'elle existe aussi entre les ordonnées des tangentes aux points //t, n et j?;. Supposons la parabole gdf/i déterminée par points et tangentes ;

INTEGRATION GRAPHIQUE. 555

chargeons AD , déterminons les points m et // et les tangentes en ces points des enveloppées; les tangentes aux enveloppées et aux enveloppes coïncident aux points de contact ; delà tangente en m, on déduira la tangente en p (les tangentes en n et eu p se coupent sur la verticale du point g) ; de même, la tangenie eu j;' donnera la tangente eu nV ; mais chacun des 4 points m, p, m\ %}\ donne aussi son symétrique par rapport à la verticale élevée au milieu de la poutre ; donc la position AD de la charge donne 8 points et 8 tangentes des courbes limites.

Déplaçons la charge de manière que le point D vienne en B ; la poutre est complètement chargée ; cherchons les huit points et les huit tangentes qui correspondent à cette position particulière. Lorsque le point D vient en B, le point S vient en S'; donc my vient en dcV ; par conséquent en d, il y a contact entre l'enveloppée gd et l'enveloppe ad ; on en conclut qu'en d^ il y a aussi contact entre gW et l'axe ab. Lorsque le point D vient en B, le point T vient en K, donc «^'p' vient en Wi ; donc en 7U1 y a contact entre l'enveloppe fhet l'enveloppée qui est la tangente au point h defh; on en conclut qu'il y a aussi contact au point b entre l'enveloppe fb et l'axe ab. Les points d, d', b, h donnent leurs symétriques f, f, a, g. On obtient donc les extrémités et les tangentes extrêmes des quatre courbes-enveloppes qu'il s'agit de tracer.

Ces diverses propriétés permettent de construire rapidement l'épure. Traçons d'abord la parabole ^c?/"/? pour toute la poutre chargée; on l'obtient en intégrant deux fois la charge ou de toute autre manière ; nous traçons cette parabole de manière qu'elle soit symétriquement placée par rapport à la verticale centrale. Par raison desj'métrie , la ligne de repère ab doit être horizontale et comme Taire couverte par les M doit être nulle , la droite ab a pour ordonnée l'ordonnée moyenne de la parabole; donc elle divise la hauteur de cette parabole en trois parties égales (18). Traçons ab , divisons cette droite en trois parties égales , menons les verticales principales fWet /■/"' ; l'arec?/" et la droite dJf font partie

556 INTEGRATION GRAPHIQUE.

des courbes limites. Les arcs ad , fb, gd,', f'h sont déjà plus ou moins déterminés par leurs tangentes extrêmes. En chargeant AI), nous obtiendrons deux points et deux tangentes de chacune de ces courbes. Pour y arriver , traçons ( fig. c) la ligne des M en laissant la ligne de repère indéterminée ; nous avons tracé cette ligne en prenant l'horizontale comme ligne des M entre B et D ; de D en A , la ligne des M est un arc parabolique que l'on détermine par deux tangentes extrêmes ; on les obtient par une double intégration de la charge ou en utilisant la parabole ^d/"/j déjà tracée ; nous n'avons [)as représenté ces opérations qui ne présentent aucune difficulté. Intégrons la ligne des M , tous les côtés du polygone des v] sont horizontaux sauf un seul ; le i)ol3"gone des y a une forme du même genre, mais comme la place fait défaut , nous avons opéré sur la ligne des •/] ; le point moyen des y] se trouve facilement par les constructions indiquées sur la figure ; on en déduit les M' principaux et la ligne de repère a'U. Il s'agit alors de rapporter les M de la figure c à la figure a . en prenant ah comme ligne de repère ; on obtient les tangentes aux points ni et p' en rapportant la tangente q'nV que l'on obtient facilement et le côté rectiligne des M ; il suffit de rapporter l'intersection de ces deux droites et les points où elles rencontrent la ligne de repère. On déduit des points on et p' les points p et m' ; on prend ensuite les symétriques des quatre points connus. On connaît alors quatre points et quatre tangentes de chacune des courbes. On obtiendrait d'autres points en plaçant la surcharge dans d'autres positions.

Occupons-nous des efforts tranchants. On démontre , comme dans le cas d'une poutre sur deux appuis, que les efforts tranchants limites en un point D d'une poutre AB s'obtiennent en chargeant AD ou DB. Pour chacune de ces positions de la charge, la ligne des K est formée d'une horizontale et d'une ligne de direction constante. Si on introduit la charge de gauche vers droite, le sommet de la ligne des K décrit la limite supérieure des ■efforts tranchants; on obtient la limite inférieure en introduisant la charge de droite ve rs

INTEGRATION GRAPHIQUE. 557

gauche. Pour chaque position , on trace la ligne des M , on prend la dérivée du côté rectiligne, on obtient l'effort tranchant limite à la tête de lacharge. On trouve ainsi autant de points que Ton veut des courbes limites. Soient (fig. cl) AD la limite supérieure, E'B une partie de la limite inférieure.

Il est facile de démontrer : 1° que l'une des courbes est la symétrique de l'autre par rapport au milieu de la poutre ; 2° que la somme algébrique de leurs ordonnées au même point de la poutre est l'effort tranchant de la poutre complètement chargée. La ligne des K pour la poutre complètement chargée est la droite CD intégrale de la charge ; elle passe par le milieu C par raison de symétrie. Connaissant un point de l'arc AD, on trouve immédiatement un point de l'arc E'B, en utilisant la propriété de la droite CD. On en déduit deux autres points en prenant les symétriques des points connus par rapport au point C. Chaque position de la charge donne deux points de chacune des courbes.

On peut tracer directement ces courbes limites avec beaucoup de facilité. En calculant l'effort tranchant limite par l'analyse ou par une méthode analogue à celle que nous avons suivie pour le cas d'une force isolée, on trouve que ces courbes sont des paraboles du quatrième degré qui ont un contact du second ordre avec les droites AB, CD aux extrémités de ces droites. D'après cela, le polygone d'intégration de l'arc AD n'est autre que AFCHD ; les côtés AF etFC sont sur la droite AB, lescôtés CH, HD sur la droite CD (545, cas particulier; on considère la droite AB et la droite CD prolongée comme des arcs paraboliques du quatrième degré). On obtient alors l'arc AD par points et tangentes ; on en déduit l'autre courbe limite ou on la construit directement par le même procédé.

On peut démontrer sans calcul que l'arc AD a au point A un contact du second ordre avec la droite AB ; en effet, on obtient un point infiniment voisin du point A en chargeant une longueur infiniment petite de la poutre à partir du point A ; cela revient à introduire une force isolée infiniment petite et infiniment voisine du point A. Or si cette force était finie, on obtiendrait déjà un effort tranchant du second

558 INTEGRATION GRAPHIQUE.

ordre (586) ; donc si la force est infiniment petite du premier ordre, l'effort tranchant est du troisième ordre et au point A il y a contact du second ordre. Au point B , il y a aussi contact du second ordre ; en utilisant la propriété de la droite CD , on démontre qu'il y a aussi contact du second ordre en D ; la même propriété existe à l'autre extrémité de la droite CD.

§ 3. Poutrs encastrée à une extrémité, appuyée à l'autre.

588. Solution par répare des ?/. — Reprenons la figure 223 ; soit AB la poutre que nous supposerons encastrée en B , api)uyée en A. Intégrons quatre fois les charges, il s'agit encore de trouver les lignes de repère. Soient : ACD, la ligne des M; EF, la corde des /; ; KSL , les tangentes extrêmes à la ligne des y. Supposons le problème résolu ; soient : AB" , la ligne des M' ; EG'F' et KMN'L' les polygones des // et des y\ La ligne des M' doit passer par le point A , parce qu'en A , il y a simple appui et que M est nul. Nous avons choisi ce point A sur l'axe M" = 0 ; donc le côté des // qui y correspond , est horizontal; donc les côtés N"L et MN" des y^ ont même direction. Supposons l'encastrement horizontal et l'appui au niveau de l'encastrement ; au point K , les tangentes des lignes des y et des y' coïncident: car on a, au point B :

•^ =. y;" ■^' = 0 , d'où r!' = r!.

Au point A , on a :

y = y"—y'^Ç), d'oÙ y" = ij \

donc les polygones des y et des?/' doivent se joindreau pointL.

Il résulte de là que le poh'gone des y' a un côté connu KM dirigé suivant la tangente KS à la ligne des y ; on obtient les deux autres côtés enjoignant ML. On obtient les r} et les M' en prenant les dérivées.

Nous ferons remarquer comme au n" 557 que si nous avions pris pour bases d'intégration / : 2 et Z : 3 , l'une des intégrales secondes de AB" serait B"ee'A , donc on aurait : K6" = B"B.

INTEGRATION GEaPHIQUE. 559

On obtiendrait ainsi le point B" sans prendre les dérivées.

Il est intéressant de clierclier quelle eût été la solution du problème , si nous n'avions pas pris le point A sur l'axe M" = 0. Nous rencontrerons ce cas en cherchant l'état de sollicitation de la même poutre supposée appuyée en B , encastrée en A. Soit KM'NL le polj'gone des y' ; le côté NL est connu , il est dirigé suivant la tangente à la ligne des y ; le côté KM' passe par le point K ; mais KM'N ne forme plus une ligne droite. Si nous avions choisi les bases d'intégration particulières dont il vient d'être question , nous aurions :