K = BD

Cette relation donnerait le point ^/; on joignant &'N, on obtiendrait le côté M'N; le problème est résolu. On peut conclure de là qne si la ligne des M' pivotait autour du point D, le côté intégral .M'N pivoterait aussi autour du point U ; mais cette propriété doit subsister quand on change les échelles ; donc quelles que soient les bases d'intégration , on obtiendra le point &', en menant une droite quelconque par le point D , en construisant son intégrale seconde à partir du point B, en prolongeant jusqu'en V le côté intermédiaire du polygone d'intégration.

Cette manière de trouver K(!/' , connaissant BD, peut s'envisager à un point de vue plus général; il s'agit d'exprimer sur le polygone des 1/ que Tune des ordonnées extrêmes des M' est connue; or on a (69) :

On voit aisément que A\?/' = K&' ; donc on peut trouver K&' par une fausse position consistant à mener par le point connu des M', une ligne des M' quelconque que l'on intègre ensuite deux fois.

Les méthodes que nous venons d'exposer s'appliquent aussi au cas où l'encastrement et rap[)ui ne se trouvent pas au même niveau ; on connaît alors les valeurs de y aux extrémités de la poutre déformée et la dérivée ■/] au point d'encastrement ; ces éléments permettent de déterminer les extré-

560 INTEGRATION GRAPHIQUE.

mités et l'un des côtés extrêmes du polygone des ^/' ; on achève la solution comme précédemment.

5$9. Solution par Tépure des r,. — Nous venons de voir comment on détermine les extrémités de la ligne des y' ; prenons la dérivée de la corde de cette ligne ; nous obtiendrons le point moyen H des /;'. Connaissant l'inclinaison r, ^ y;" — y;' de la fibre encastrée, on peut déterminer l'extrémité E de la ligne des ■/; ; on a sur la figure r^ = rp — r! = 0.

Du triangle EG'F' on connaît alors le sommet E , le centre de gravité H, et la direction du côté G'F' ; on mène la médiane EH que l'on prolonge jusqu'à la verticale qui passe aux trois quarts de AB ; par l'extrémité R on mène le côté G'F' qui est horizontal ; le polygone des r! est déterminé ; en prenant la dérivée, on obtient la ligne des M'.

590. Solution par 1 épure des M. — Joignons EH et prenons la dérivée, nous démontrerons comme au numéro 579 que cette dérivée est le moment principal ; on porte cette dérivée en Pe, on joint AP , on obtient la ligne des M'.

On déduit de là une propriété curieuse dont nous trouverons plus tard une généralisation dans l'étude des poutres à plusieurs travées. Supposons que sur l'appui A nous introduisions un moment d'encastrement variable ; la ligne des M ne change pas, mais nous allons démontrer que la ligne des M' pivote autour de son point principal P. En effet, la corde KL , le point H , le point E ne changent pas ; donc on trouve toujours la même médiane EH , la même dérivée Pe. L'effet du moment d'encastrement est donc de faire pivoter la ligne des M' autour du point P ; si ce moment d'encastrement avait une certaine valeur AA', on retrouverait la ligne B'A' qui correspond au cas de deux encastrements sur une même horizontale.

501. Solutions diverses. — Nous supposerons que l'encastrement et l'appui soient situés sur une même horizontale. Si nous prenons la tangente KS aux lignes des y et des y' comme ligne de repère, les ordonnées de ces deux lignes représentent les moments des aires couvertes respec-

INTEGRATION GRAPHIQUE. 561

tivement par les M et les M' ; or au point L , y ^y' \ donc l'aire ACDB et le triangle AB"B doivent avoir même moment autour du jjoint A ; ces aires sont donc inversement proportionnelles aux bras de levier. Soient h la hauteur moyenne de la ligne ACD , UW la verticale du centre de gravité de l'aire ACDB ; on doit avoir :

D'OÙ BB" = h zà^

AW

On obtient BB"par une quatrième proportionnelle. La formule du numéro 580, qui donne le moment principal Pe, est encore applicable. On en déduit :

K' =Të : \ l.

On peut transformer la valeur de Pe par une intégration, par partie ; on trouve :

K' ^ = y* -^xdx = ~j K {p - x^) dx.

509. Exemples.— Utilisons les figures qui se rapportent à une poutre encastrée à ses deux extrémités ; les lignes des K, des M, des n, des y peuvent être conservées ; les lignes de repère changent; nous repiésenterons les nouvelles lignes de re[ière par un trait mixte.

Forces isolées. — On trouve (fig. 224) la ligne des y' en RP'N"M , la ligne des r, en LK"H', la ligne des M' en G"E , la ligne des K eu C"D".

Charges uniformément réparties. — Soit BA (flg. 225) la poutre encastrée en B , appuyée en A. On détermine le point I, point moyen des •/;; on prend la dérivée de LI, on obtient le point principal S des M' ; on tire la droite ES , c'est la ligne des M'.

562 INTEGRATION GRAPHIQUE.

Charge variable. — Soit (fig. 226) la poutre AB encastrée en A, libre en B ; on trouve la ligne des y' en SR'P ; on obtient la ligne des M' en prenant les dérivées.

593. Force isolée. — Soient (fig. 231 ) : ACB la ligne des M, AB' la ligne des; M'. Les aires ACB et AB'B ont même moment autour de A ; ces aires sont proportionnelles aux hauteurs CC et BB' ; donc :