M ^ KC B'K AH
AH ~ KL ^^ KC ~ kl'
Cette proportion exprime que les triangles CB'K et BHA sont semblables ; on doit avoir :
angle KCB' = angle HBA ,
donc les droites B'C et BH sont parallèles.
504. Couple isole. —Soient [fig. 232) : ACDE, la ligne des M ; AF , la ligne des M' qu'il s'agit de trouver. Il s'agit de construire un triangle ABF dont le moment autour du point A soit égal à celui du rectangle BCDE. Appliquons la méthode générale (591); portons au point principal H, en HK l'ordonnée moyenne de la ligne ACDE ; joignons AK , on obtient BF en L'L.
INTEGRATION GRAPHIQUE. 563
Le point S est un point d'inflexion ; quand il s'agit simplement de trouver la position de ce point , on peut donner au moment du couple isolé une grandeur quelconque; prenons, par exemple, CD = AB , on a alors: HK =-■ BC. C'est de cette manière que nous avons construit (flg. 233, flg. c) l'épure des points d'inflexion produits par un couple isolé qui se déplace sur la poutre ; nous avons toutefois considéré un moment isolé représenté par / : 2 , alors HK = CB : 2.
505. Force unique luoliile. — On applique la méthode du n'^ 586. Soit (flg. 233 , flg. &) la poutre Bx\ , encastrée en B , appuyée en A. Construisons en ACB l'épure des M renversés, pour le cas d'une poutre sur deux appuis, lesdiverses positions du point C se trouvent sur une parabole. Pour chaque position de la force mobile, on trouve la ligne de repère par la seconde règle du numéro 593.
Cette règle subit une petite modification. On porte 0A = 2BA; on mène CD parallèlement à OÇ',;AD est la ligne de repère cherchée. On redresse alors les M (flg. a); on porte B'D' == BD , HF = CE , A'FD' est la ligne des M rapportée à la ligne de repère A'B'. Si nous appliquons cette construction à une série de positions de la force mobile , on trouve que le point F décrit une courbe, et que le coté FD' enveloppe une autre courbe ; ces deux courbes sont les limites des M. On démontre comme au n° 586 que le point de contact du côté FD' et de son enveloppe est sur la verticale du point d'inflexion produit par un couple isolé qui agirait dans la même section que la force; l'épure des inflexions ( flg. c) donnent tous les points de contact.
Occupons-nous des efforts tranchants. On peut les obtenir en prenant les dérivées de la hgne des M pour les différentes positions de la force. On trouve pour une de ces positions la ligne NHFK (flg. d) ; les points F et H décrivent deux courbes qui donnent les limites supérieures et inférieures des efforts tranchants.
Ces courbes s'obtiennent beaucoup plus facilement par une construction directe. On trouve les extrémités des deux courbes en plaçant la force P aux extrémités de la poutre ;
564 INTEGRATION GRAPHIQUE.
on a AC = P, BD == P. Nous allons démontrer que ces courbes sont des paraboles du troisième degré , qu'elles ont un élément horizontal dans la section encastrée, un point d'inflexion sur l'appui. On pourra alors tracer immédiatement les polygones d'intégration BEC , DGA de ces courbes et en obtenir autant de points et de tangentes que l'on veut.
Cherchons l'équation de la courbe AD. Soit KFHN la ligue des K pour une position de la force; prenons NM pour ligne de repère provisoire et utilisons la valeur de K' qui se trouve à la fin du numéro 591. Soit x = MH; on a : K" = P de 0 à â; ; K" = 0 de ic à ^ ; donc la valeur de K' qui est évidemment l'ordonnée du point H , devient :
K' — = y P [V" - œ^) dx = F {ix — -j •
En supprimant le terme en x'\ on obtient une ligue qui a
en A un contact du second ordre avec la courbe AD ; on
trouve la droite :
s/' K'^-=Flx.
Donc au point A , il y a inflexion. On démontre facilement que pour ^ = ^, on a dK' = 0. Cela démontre les propositions dont nous avons fait usage.
596. Train mobile. — Dans le cas de forces isolées , on peut appliquer le principe de Tindépendance des eff'ets des forces comme au n° 587 ; dans tous les cas , on peut déplacer la poutre sous les forces.
Considérons ( fig. 234 ; le cas d'une charge mobile uniforme ; construisons (fig. c) l'épure des points d'inflexion produits par une force isolée. Soit ACB la ligne des M pour une position de la force isolée ; portons AH = CC : 2 ; menons CB' parallèlement à BH et joignons AB' ; le point S est le point d'inflexion. Nous ferons mouvoir et varier la force de manière que le point C décrive une horizontale ; alors BH est une direction fixe ; la construction revient donc à déplacer la droite CB' sans changer sa direction et à joindre BC et AB' ;
le lieu du point S est une hyperbole. On reconnaît facilement que quand la Ibrce agit au point A , le point d'inflexion vient en S' sur Tune des verticales principales ; entre cette verticale et l'extrémité A, on obtient les limites supérieures des M en chargeant toute la poutre , la limite inférieure est 0 ; on trouve la courbe da et la droite (Va (flg. a). Pour réaliser les limites des M en un autre point s, on cherche sur Tépure des inflexions la position C d'une force isolée qui produirait un point d'inflexion en s ; on obtient la limite supérieure des M en chargeant BC , la limite inférieure en chargeant C'A. Les points limites m et p décrivent les courbes limites bd et gd' : la première est l'enveloppe d'arcs paraboliques , la seconde enveloppe des droites. Elles satisfont à la propriété suivante : la somme algébrique des ordonnées de ces courbes est égale à l'ordonnée de la parabole gda que l'on obtient en chargeant toute la poutre ; en effet , en chargeant BC et C'A on obtient respectivement ms et ps ; donc en superposant les résultats , on arrive au même résultat qu'en chargeant toute la poutre ; donc :
— ms + sp = sn.
On en déduit aussi :
ms ^ pn.
Il suffit alors de déterminer des points de la courbe ad , on en déduit la courbe gd' , si on a soin de tracer la parabole gdb. La relation entre les ordonnées des points 7n,n,p existe aussi pour une position infiniment voisine ; on en conclut que cette relation existe aussi entre les ordonnées des trois tangentes en m, neip; cela permet de tracer la tangente au point ^ connaissant la tangente en m. On voit que toute position BC de la charge mobile donnera un point de chacune des courbes et les tangentes en ces points. Si on suppose que la charge BC vienne jusqu'au point A, le point S vient en S', on obtient le point d ; il doit y avoir contact entre la courbe ad et la parabole gd ; on en déduit qu'il y a aussi contact entre la courbe gd' et l'axe ad. Si on suppose que la charge BC se retire jusqu'au moment où le point C vienne
566 INTEGRATION GRAPHIQUE.
en B , on trouve le point a , et la tangente est la tangente à l'enveloppée qui est évidemment la droite M = 0 ; donc la courbe ad touche l'axe ab au point a ; on en déduit, qu'au point g , la courbe gd' touclie la parabole gdb.
Les tracés graphiques se font rapidement de la manière suivante ; supposons la poutre complètement chargée ; laissons la ligne de repère ah indéterminée et traçons la parabole adg en intégrant deux fois la charge.
Si la poutre était posée sur deux appuis , la ligne de repère serait la corde «^ ; le moment fléchissant au milieu de la poutre aurait une certaine valeur que nous désignerons par ^. Exprimons que le moment du triangle abg est égal à celui de l'aire adg autour du point a ; ou trouve :
d'où bg = [j..
On obtiendra donc la ligne de repère ab en portant bg = fh. On peut facilement disposer Tépure de manière que la ligne de repère ab soit horizontale , si on détermine fh par un calcul ou un tracé préalable.
La parabole adg étant tracée , menons la verticale principale dd' ; on connaît alors les extrémités et les tangentes extrêmes des arcs bd et gd'. Pour avoir un point et une tangente intermédiaire, chargeons, par exemple , la poutre sur la moitié de sa longueur. On trouve (fig. b) la ligne des M en 6'DF ; elle est formée d'une horizontale UD et d'une parabole DF que l'on détermine par ses tangentes extrêmes. On obtient facilement le polj'gone des r, et des y\ on en déduit le pol3'gone des ?/', des // et la ligne des M'. 11 s'agit alors de transporter l'ordonnance m's' et la tangente g^viV de la figure b sur la ligure a; on obtient le point ra et la tangente ^/n. On en déduit le point p et la tangente en ce point à la courbe limite. On obtiendrait de la même manière d'autres points et tangentes.
Occupons-nous des efforts tranchants. On peut les obtenir en prenant les dérivées de la ligne des M pour les différentes
INTEGRATION GRAPHIQUE, 567
positions de la surcharge ; on démontre comme pour le cas d'une poutre sur deux appuis que les positions les [iliis défavorables s'obtiennent en faisant avancer la charge sur la poutre sans la fractionner. Pour une certaine position, on obtient la ligne MEA (fig. d) ; le sommet E décrit la limite supérieure BC des efforts tranchants. On obtiendrait la limite inférieure eu faisant avancer la charge de droite vers gauche. Ces deux courbes limites possèdent la propriété suivante : la somme algébrique des ordonnées limites est l'effort tranchant qui se développe quand la poutre est complètement chargée (même démonstration que pour la ligne des M). Quand la poutre est complètement chargée , on trouve que la ligne des. K est une droite DC , intégrale de la charge et divisant la droite AB dans le rap[)ort 5 : 3. On arrive à ce résultat en utilisant la valeur de K' du numéro 591 ; prenons HC pour axe provisoire ; on a K" = px ; on en déduit :
K' ou AC -= - xjI-
On a d'ailleurs BD -\- AC = pi ,
d'oCi : AD = ^ pL
On en déduit :
BJ^ BD 5
