Généralisation. Loi sapréme de Wronaiii
On donne une courbe y = F(«) ; au point Xo on mène une autre courbe y «=»/(â;) et on calcule les paramètres de cette dernière de telle façon qu'il y ait entre les deux courbes un contact d'ordre n — 1 • En remplaçant la courbe F(x) par f[x), on commet une erreur R == F(x) — f(x); cette fonction R peut être considérée comme l'intégrale de sa dérivée d'ordre n; la condition du contact exprime que c'est l'intégrale moment; on a donc :
On en déduit :
F (X) ==/(«) + \ {X — «')•-« rF^-> (a?') — /^"> (a?')] dm'.
Soient 91, (p« ••• 9», des fonctions données; prenons
f(x) == A|(pi -f- Atcpî ... -|- A«(p« == 2Acp (x) Déterminons les paramètres A de manière à satisfaire à
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la condition du contact; ces paramètres sont donnés par n équations linéaires de la forme :
iAcp<'>(iPo) = F<*>(4?o).
On aura alors le développement
F (x) = 2:A9 (x) + \ (a? — a?')*""' [F<">(a?') — 2Acp<-^ (a?')] *»'•
C'est la loi suprême de Wronski; le reste est Tintégrale moment pour Taire limitée par la courbe
En calculant les valeurs de A, on introduit des déterminants qui sont les Wronskiens; ainsi le dénominateur commun des valeurs de A est le Wronskien des fonctions ?.
Si les fonctions 9 sont des fonctions entières de degré égal au plus an — 1» le reste est celui de la formule de Taylor; le développement est une fonction entière qui doit être identique au développement de Taylor. Si l'on prend
©1=1, (pi = a? — Xoi 9» = {x — XqY »" (pn = {x — XoY~*
l'identité est absolue; dans d autres cas, la forme peut être différente. Prenons, par exemple,
(X — x$\ (x — a?o\"~*"* 1 — ir)\nr) '
Nous devons retrouver comme coeflScients des quantités proportionnelles aux ordonnées du polygone d'intégration de la fonction entière fournie par le développement de Taylor.
La loi suprême de Wronski n'est pas toujours applicable. Nous avons dit que les valeurs de A avaient pour dénominateur commun un déterminant qui est le Wronskien des fonctions cp. Si pour â?09 ce déterminant s'annule, les
valeurs de  sont infinies ou indéterminées. L'indétermination ne doit pas nous arrêter longtemps ; elle ne se présenterait que si les numérateurs des valeurs de A s'annulaient également; comme ces numérateurs dépendent de la fonction F(x) et de ses dérivées, cette fonction cesserait d*être une fonction quelconque. Nous pouvons donc dire que si le Wronskien des fonctions 9 s*annule pour a> » x^^ la loi suprême n'est généralement pas applicable. On est alors conduit à choisir une autre valeur de x^. Mais si le Wronskien dont il s'agit est nul pour toutes les valeurs de â?, il 7 a impossibilité absolue.
Si les fonctions cp ont entre elles une relation linéaire, on peut exprimer Tune des fonctions 7 linéairement au moyen des autres; l'expression 2 A? ne contient en réalité que n — l paramètres. Il est donc impossible d'assurer un contact d'ordre n — 1 , si la fonction F(x) conserve toute sa généralité. On vérifie, en effet, que dans ce cas le Wronskien est identiquement nul.
Réciproquement ce n'est que lorsque les fonctions ont entre elles une relation linéaire, que le Wronskien est identiquement nul et qu'il 7 a impossibilité absolue d'appliquer la loi suprême. En effet, si le Wronskien est nul, on peut résoudre les équations :
2k(f^^{œ) = ideOà« — 1.
Les rapports des quantités A sont déterminés par
les n — 1 premières équations ; la dernière équation sera
une conséquence des autres. Prenons l'une des quantités A
arbitrairement et constante; faisons varier x; les autres
paramètres resteront aussi constants. En effet, si on prend
les dérivées des équations précédentes on trouve que
dA les -y sont fournis par les mêmes équations que les valeurs dx
de A; donc si Tune des dérivées est nulle, toutes les autres
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le sont. Il résulte de là qa'il existe des valeurs constantes de  telle que
G est ce qu*il fallait démontrer.
La démonstration précédente est en défaut lorsque les déterminants proportionnels aux quantités A s^annulent; alors, même en se donnant lune des quantité3 A, l'indétermination subsiste. Supposons que cette circonstance se présente pour quelques valeurs critiques a?i, Xf^x^ ... ; on peut afiSrmer qu'entre ces valeurs il y a une relation linéaire entre les fonctions cp; mais rien ne prouve que pour ces valeurs critiques les coefScients A ne profitent pas de leur indétermination pour subir des accroisseiQents brusques. Dans chaque région, on peut déterminer les valeurs de A en utilisant les équations en nombre infini que l'on déduit de Texistence de la relation linéaire; on a pour m quelconque
Nous pouvons lever l'indétermination aux points critiques en écrivant un certain nombre d'équations de ce genre ; une seule pour m = n suffira généralement. On peut donc affirmer dans ce cas que les variations brusques des coefficients A ne se produiront pas, à moins que les dérivées <p'"(â;) ne soient discontinues. C'est dire que les variations brusques des coefficients de la relation linéaire ne sont pas à craindre pour les fonctions que tout le monde a toujours désignées sous le nom de fonctions analytiques (l).
Il pourrait se faire enfin que les valeurs de A soient toujours indéterminées; mais alors il y aurait d'autres
(1) M. Peano, professeur à PUniversite de Turin, a donné un exemple (Mathesis, 1889, p. 75) où le Wronskien est identiquement nul, sans qu'il y ait de relation linéaire. La relation linéaire existe, mais les coefficients subissent une augmentation brusque provoquée artificiellement par des discontinuités dans les dérivées secondes.
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Wronskiens qui s^annuleraient identiquement et la relation
linéaire existerait entre un certain nombre des fonctions 9.
