Poutre encastrée on à plnalenra travées
Intégrons quatre fois la courbe des charges, pour chaque position de la poutre et déterminons les lignes de repère. Les différents points de ces lignes de repère décrivent des lignes de repère spéciales à une section. Si on construit en même temps les lignes de repère spéciales pour les dérivées, on pourra déterminer pour chaque section les plus grands moments fléchissants et les plus grands efforts
tranchants. Les opérations graphiques sont très longues, mais les principes qu'il s'agit d'appliquer sont les mêmes que ceux que nous avons exposés précédemment.
777. Polygone» d'Intégration. — Lorsque la charge s'exprime par une fonction entière, on détermine les intégrales par polygones d'intégration; on peut, dans ce cas, déterminer les polygones d'intégration des lignes de repère spéciales, en généralisant la méthode que nous avons déjà employée pour les poutres sur deux appuis.
Lorsque les appuis ou encastrement ne sont pas de niveau, on étudie séparément l'influence des dénivellations ; ce sont des constantes dont nous n'avons pas à nous occuper. Nous supposerons donc les appuis de niveau. Nous supposerons aussi que la poutre repose simplement sur ses appuis ; pour obtenir un encastrement, il suffira d'admettre que deux appuis soient infiniment voisins.
Première métiiode. — Plaçons la poutre dans une position ; soient yi, y«... y»» les ordonnées de l'intégrale quatrième des charges, sur les appuis aîi, aîi... Xn. Les lignes de repère des K, M, y], y, sont complètement déterminées par ces points et les valeurs Mi, M» de l'intégrale seconde aux extrémités de la poutre. Plaçons-nous dans une même section z de la poutre. Les ordonnées K', M', n', y' des lignes de repère sont données par des expressions de la forme :
dz^ ^ dz^ d%^
En effet, la ligne de repère des y, est formée d'une série d'arcs de paraboles du troisième degré dont on donne les
extrémités ; ces arcs ont entre eux un contact du second ordre. Aux extrémités on a
car en ces points M =» M'. Toutes ces conditions se traduisent par des équations linéaires, entre yi, yt ••• y», Mi, M» et les coefficients des équations des arcs paraboliques; ces coefficients s exprimeront donc linéairement en fonction des ordonnées connues, et on sera conduit à une expression de la forme que nous avons indiquée en calculant Tordonnée d'un point de la ligne de repère des y. Les quantités <xi, <xt *•• ««,, |3, y sont des fonctions entières du troisième degré de l'abscisse z de la section considérée. On obtient Yi\ M\ K' en prenant les dérivées de y' par rapporta ip.
Déplaçons la poutre sous les charges. Soit u le déplacement variable; les points (â^iyi) (â;iyfl)--(fl^»y») (xMi) {XnU») décrivent des paraboles; supposons que ces paraboles soient déterminées par leurs polygones d'intégration, que ces polygones aient le même nombre de côtés et la même projection horizontale A; on a :
La valeur de y' devient alors :
Si ToD pose :
Ao = I,a^ao 4- |3/o + ywo
Al = 2aifli -|^(3/i -}-yi»j etc...
U résulte de là que les ordonnées Ai» As etc., des sommets du polygone d'intégration de Tare y' se trouveront de la même manière que l'ordonnée Ao du premier point. Ainsi
par exemple, on trouvera Ai, en déplaçant la poutre de -. j
et en supposant que les ordonnées de l'intégrale quatrième sur les appuis soient ai, bi^ d ... et que les ordonnées de l'intégrale seconde aux extrémités soient It et Ma. En d'autres termes, on opère comme si les polygones d'intégration étaient les intégrales elles-mêmes. On place la poutre de telle façon que les appuis viennent successivement sous les sommets de ces polygones. Pour une section z^ on trouve i + 1 points de y' ; ce sont des points inexacts sauf les extrêmes, mais ils coïncident précisément avec les sommets du polygone d'intégration de la ligne de repère des y, spéciale à la section z. La même démonstration s'applique aux lignes de repère spéciales des K, M et yi.
Il importe de remarquer qu'avant d'appliquer cette règle, tous les polygones d'intégration doivent être transformés de manière à présenter la même projection horizontale et le même nombre de côtés. S'il s'agit par exemple, d'une poutre encastrée à ses deux extrémités, la ligne de repère des y est déterminée par deux points yi,ys et deux inclinaisons y)i, y^a. Avant d'appliquer la règle, il faudra transformer les polygones d'intégration des courbes des yii et yi^ de manière qu'ils présentent le même nombre de côtés que les polygones des yi et des yt. On arrive au même résultat, en prenant comme extrémités de la ligne des y' (ligne de repère des y) les sommets des polygones d'intégration des y A et des ys, et comme inclinaisons extrêmes, les directions des côtés des nouveaux polygones des yi et des yt que Ton
62 INTEGRATION GRAPHIQUE (APPBNDICB).
obtient en augmentant d'une unité le nombre de lears côtés.
Deaxlème métliode. — On peut aussi déterminer la ligne de repère spéciale à une section en plaçant la poutre dans une position unique et en construisant Tordonnée d'un point de cette ligne et un nombre suffisant de dérivées. Soit par exemple à construire la ligne des M dans une section :
on obtient-?— en étudiant l'effet de la cbartre Active -r-; on du ^ dx
obtiendra de même -=-1 » -tt » • • • en étudiant l'effet des
du^ du^
éPp d^p charges -7— > ^ » . . On peut donc construire la courbe
M (1^) par intégrations successives d'une constante; car si la fonction M est de degré i, sa dérivée d'ordre i est constante. Lorsque l'on adopte la méthode des lignes de repère,
les ordonnées M, --—> -; — ... sont comprises entre deux
du du*
lignes; les unes sont déjà construites: ce sont les intégrales
et dérivées de la charge p ; les autres se déduisent donc
aussi les unes des autres par intégration. La ligne de repère
des M dans une section et celles des-r- , des -= — etc. s'ob-
du du*
tiendront donc en intégrant l'ordonnée constante de la
ligne de repère des -j-^ et en utilisant les points initiaux
obtenus au moyen des épures des dérivées pour la position initiale de la poutre.
Trolftlème méthode. — On peut aussi combiner les deux méthodes précédentes. Soit à construire les lignes de repère spéciales pour un déplacement A de la poutre. Plaçons la poutre dans les deux positions extrêmes; nous déterminerons les extrémités de la ligne parabolique qu'il s'agit de construire. Au moyen des épures des dérivées, nous obtien-
drons les dérivées aux extrémités de cette ligne ; nous en construirons un nombre suffisant pour que Tare parabolique soit déterminé.
Si, par exemple^ la charge est formée de forces concentrées, la quatrième intégrale de la charge est formée d'arcs paraboliques du troisième degré; donc les lignes de repère spéciales des M, des K, des y], des y sont aussi des paraboles du troisième degré. On déterminera l'une de ces lignes par deux points et deux tangentes ; on y arrivera en plaçant la poutre dans deux positions et en traçant pour ces deux positions les lignes de repère des éléments et de leurs dérivées premières.
77S. Application». — !<> Prenons comme première application le cas d'une poutre encastrée à ses deux extrémités, sollicitée par une force concentrée mobile. Soit ABC (fig. 332, fig. a) l'intégrale seconde de la force ou lieu des M. Déplaçons la poutre sous la force; pour une position Kl^ la ligne de repère des M est la droite KL; les points K et L décrivent des paraboles du troisième degré que nous nous proposons de construire. Nous allons démontrer que le polygone d'intégration de la parabole du point L est ADEB et que le polygone d'intégration de la parabole du point E est BFHC. Ces courbes se construisent alors de bien des manières : multiplications, intégrations ou inscriptions de tangentes.
Pour démontrer cette proposition, plaçons la poutre dans les positions db et Vc\ ce sont les positions où la force agit sur l'un des appuis; tous les moments fléchissants sont nuls; la droite KL passe donc de la position AB à la position BC et par suite les points A et B sont les extrémités de la courbe décrite par le point L et les points B et C sont les extrémités de la courbe décrite par le point K. Nous obtiendrons les tangentas extrêmes de ces courbes par la considération de la charge dérivée.
Nous savons que cette charge dérivée est un couple isolé
64 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDIGE).
dont P serait le moment. Pour la position ai^ le couple isole agit à l'extrémité gauche de la poutre ; les moments
fléchissants sont nuls; donc -j- :=0 au point A; il faut
au
pour cela que l'arc AL touche au point A la ligne des M;
donc AD est le premier côté du polygone d'intégration. Mais
on a -7- >= pour toutes les sections de la poutre ; donc
toutes les lignes de repère spéciales touchent la droite AB ; il en résulte que l'arc BK doit aussi toucher la droite AB prolongée. On démontre de la même manière que la droite GB touche les arcs GK et BL ; nous avons donc déterminé les arcs paraboliques par leurs extrémités et leurs tangentes extrêmes; cela démontre la proposition que nous avons avancée.
Nous avons trouvé les tangentes extrêmes aux lignes de repère spéciales par un raisonnement particulier applicable seulement au cas que nous venons d'examiner. On peut aussi les obtenir par la méthode générale fondée sur la considération de répure des ^— • Dans cette épure, que nous avons
représentée par la figure 332, fig &, la ligne des moments fléchissants est l'intégrale première de la force ou A'B'G'D'.
Pour une position kl de la poutre, la ligne de repère des —
est une certaine droite KX' ; les points L' et K' décrivent des paraboles du second degré dérivées des courbes du troisième degré décrites par les points K et L. Pour les positions extrêmes ab et b'c de la poutre, la droite K'L' prend les positions A'B' et G'D'; les extrémités de la courbe décrite par le point L' sont donc A' et G'; c'est en intégrant les ordonnées de ces points que nous trouverons les côtés AD et BE du polygone d'intégration de la courbe ALB ; on retrouve évidemment le résultat que nous avons déjà obtenu
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPBNDIOB). 65
d'uD6 autre façon* Le même raisonnement s'applique au courbes D'K'B' et BKC.
Pour achever Tëpure des -j- , il suffit de tracer les polygones d'intégration A'E'C' et B'F'D' des courbes décrites par les points L' et K'. En prenant les dérivées des côtés DE et FH, on obtiendra les ordonnées des points E' et F' ; le problème est résolu.
On peut aussi déduire l'épure des -=- de l'épure des -j— •
au au*
Pour dresser cette dernière, nous devons considérer Finté-
grale seconde ABC comme la ligne des y ou l'intégrale
quatrième de la charge fictive qui engendre les dérivées
secondes. La charge P représente alors un accroissement
brusque de Finclinaison y) ; cet accroissement brusque peut
être considéré comme l'efiet d'un système concentré de
trois forces infiniment grandes en équilibre. La ligne des
moments fléchissants est alors l'horizontale A"B"D"; mais
il faut supposer en B"C" une surface des M égale à P
concentrée sur une même ordonnée infiniment grande. Pour
la position ab de la poutre, la ligne des repère des -^-j est
une droite E'^C; elle satisfait à la condition que les poids de l'aire concentrée P et de l'aire C"L"E"A"B" se font équilibre. Nous l'avons déterminée par la construction du numéro 579; l'un des moments principaux est nul. Pour la position i'c, on trouve pour ligne de repère la droite C"F", symétrique de la précédente. Pour une position quelconque on trouverait une certaine droite K"L". Les points L" et K" doivent décrire des droites ; ces droites sont déterminées par deux points; ce senties droites E"C" et C"F". En intégrant deux fois ces droites, on retrouverait les courbes A'L'C', ALB, B'K'D' et BKC.
L'épure des efiPorts tranchants se déduit immédiatement de
60 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE).
celle des moments fléchissants. Pour une position quelconque kl de la poutre, on prend la dérivée de la ligne des M' qui est KL, on trouve la ligne des E' qui est K"L'^ II faut déterminer les courbes décrites par les points h" et E". Appliquons la première méthode du numéro 777. Opérons comme si les points L et E décrivaient les polygones d'intégration ÂDEB et BFHC ; prenons les dérivées des positions fausses de la droite EL qui résultent de cette hypothèse, c'est-à-dire les dérivées des droites AB, DF, EH, BC; nous obtenons les ordonnées des polygones d'intégration des paraboles du troisième degré décrites par les points L" et E" ; on trouve ces polygones en A'D"E"C' et en B'F"H"D'.On pourrait aussi trouver ces polygones directement ; en plaçant la poutre dans les positions extrêmes, on
dK
reconnaît immédiatement que l'on a E = -7- = 0, ce qui
détermine les extrémités et les tangentes extrêmes des lignes de repère spéciales. Remarquons aussi que ce tracé des efforts tranchants est au fond le même que celui da numéro 586.
2*" Prenons comme seconde application le cas d'une force isolée mobile sollicitant une poutre posée sur trois appuis de niveau. Soit (fig. 333) ABC l'intégrale seconde de la force ou ligne des M. Pour une position quelconque khf de la poutre, la ligne de repère des M ou ligne des M' est le polygone FIIE; les points F et E décrivent les droites AB et BG; mais le point H décrit une parabole du troisième degré. Nous allons démontrer que le polygone d'intégration de cette parabole est BDE; on l'obtient en menant BD parallèlement à AC et en joignant DE; les abscisses des points B, D, N, E sont suffisamment connues.
Choisissons comme positions extrêmes de la poutre les positions abc et a^b'c' ; on les obtient en plaçant successivement les extrémités de la travée de droite sous la force concentrée. Pour ces deux positions les moments fléchis-
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDIOE). 67
sants sont nuls; pour la première, la ligne des M' est ABC ; pour la seconde, c'est BEL; on obtient ainsi les extrémités B et E de la courbe décrite par le point H.
Nous trouverons les tangentes extrêmes en traçant
répure des -r— (fig. c). L'intégrale première de la charge
est A'B'B"L'; nous devons la traiter comme un lieu de moments fléchissants. Pour la première position abc de la
poutre, la ligne de repère des -r- ou ligne des ^y^ est le
au <m
poljgone Â'E'C'; on peut l'obtenir de bien des manières.
La méthode des transformées droites donne immédiatement
la fausse solution C'B"D' et le pivot P qui détermine le
côté A'E'. Pour la position a'l*c* de la poutre, la ligne de
repère des -r— ou ligne des -7— est L'F'B' ; pour l'obtenir du du
on trace la fausse solution L'B'' qui donne le pivot Q ; ce
pivot détermine le côté B'F'. En intégrant les ordonnées
des points E' et F', on trouve les directions des côtés BN
et NE.
Nous avons résolu complètement le problème proposé,
mais nous n'avons pas démontré les propriétés que nous
avons annoncées. C'est ce que nous allons faire. Les côtés
EN et ND sont en ligne droite parce que au point E, on a
- — = 0. En effet, on obtient les dérivées secondes en du^
supposant que la force P représente un Ayi brusque;
mais pour la seconde position a'h'c* de la poutre, ce Ay] ne
produit pas d'effet; car le point angulaire est à l'extrémité
de la poutre, sur l'appui de droite; tous les éléments sont
nuls; donc -j-j-= 0. Il nous reste à prouver que le côté BD
est parallèle à AC. Considérons la charge dérivée; ABC est
df\
la ligne des yj ou plus exactement celle des -j- . Supposons
68 INTÉORATION GRAPHIQUE ( APPENDICE).
la poutre dans la position a&c. La ligne de repère ou ligne
des -T- ost déterminée par un polygone de trois côtés.
Si nous partons de l'appui de droite, nous trouvons la fausse solution AB; le pivot Q du second côté est aux deux tiers de AB. Si nous partons de 1 extrémité gauche, nous obtenons de même la fausse solution CB
et le pivot P du même côté. Ce côté de la ligne des j- est
donc PQ. Ce côté est l'intégrale de l'ordonnée -^ au
point B, donc ce côté PQ donne la direction du côté BD. Or il est évident que PQ est parallèle à AG ; BD est donc parallèle à AG.
L'épure des efforts tranchants, et celle des -r— se dé-
du
duisent immédiatement de celles des M et des -j- en appli-
quant comme précédemment la première méthode du numéro 777 .
3® Un train de forces concentrées passe sur une poutre à plusieurs travées ; on demande de construire les épures des
M, des K, des -=- , des — . On trace les quatre intégrales
des charges; on déplace la poutre sous les charges. Les lois
de variation des éléments changent toutes les fois que l'un
des appuis passe sous une force. On placera successivement
la poutre dans ces positions particulières et on déterminera,
/7M' par les méthodes connues, les lignes des M', et des -r- •
du
Les sommets de la ligne des M', décrivent des arcs paraboliques du troisième degré déterminés par leurs tangentes
extrêmes ; les sommets de la ligne des •-— décrivent des
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe). 69
arcs paraboliques du second degré déterminés de la même façon. Une simple dérivation détermine les polygones d'intégration des courbes décrites par les sommets des
lignes des K' et des -r— •
du
Les opérations graphiques qui permettent de déterminer
les lignes des M' ou des -3— sont assez longues ; mais un
du
certain nombre de ces opérations ne se font que pour une position de la poutre; telles sont la détermination des pivots et le tracé des directrices de continuité. Les opérations qui restent à effectuer sont alors assez simples. On peut, par exemple, appliquer la méthode des points invariables des M' (602) ; on les obtient en prenant deux fois la dérivée d'un polygone inscrit dans l'intégrale quatrième; on trace alors le polygone des pivots des M', on y circonscrit la ligne des M\ Lorsqu'il y a des travées égales, les mêmes points invariables peuvent servir pour toutes ces travées. 4** Une suite de charges uniformes passe sur une poutre à plusieurs travées; on demande de tracer les épures
des M, des -^— , des K et des -7- . On trace les quatre
du du
intégrales de la charge; la quatrième est formée d'arcs
paraboliques du quatrième degré ; on déplace la poutre sous
la charge. Les lois de variation des éléments changent
lorsqu'une discontinuité passe sur un appui. On placera
successivement la poutre dans ces positions particulières et
on déterminera par les méthodes connues les lignes des M%
des -^- et des -7— . Les sommets de la ligne des M' décrivent du du*
des arcs paraboliques du quatrième degré, dont on peut
trouver les polygones d'intégration ; on connaît, en effet, les
extrémités de ces arcs et deux dérivées en ces extrémités.
Il y a un élément surabondant, ce qui prouve que l'épure
des -^-7-^6 doit être tracée que pour la moitié du nombre
des positions particulières de la poutre. Les sommets de la
ligne des -=— décrivent des arcs paraboliques du troisième du
degré, qui sont les dérivées des courbes décrites par les
sommets de la ligne des M'. Une simple dérivation détermine
les polygones d'intégration des courbes décrites par les
dK!
sommets des lignes des K' et des -^ •
779. moments fléchissants et efforts tranchants mazima. — Traçons pour une position de la poutre les
dW dW
lignes des M' et des -j— • Le polygone des - coupe l'intégrale première des charges en certains points où Ton
a -T- = 0. Dans ces sections les moments fléchissants du
passent par un maximum ou un minimun. Plaçons la poutre dans des positions suffisamment rapprochées ; prenons au compas les valeurs maxima ou minima; portons les, en ordonnées, dans les sections où elles se développent, ces sections étant prises dans une position fixe de la poutre; en d'autres termes imitons, en tout point, la méthode du numéro 770. Nous obtiendrons une série de courbes dont quelques-unes seront peut-être inutiles, mais qui détermineront d'une manière complète les limites supérieures et inférieures des moments fléchissants.
dK.
On opère de même pour l'épure des K et celle des — ; on
obtient les limites supérieures et inférieures des efforts tranchants.
Lorsque la courbe des charges est tout-à-fait quelconque,
il faut déterminer les lignes des M', des -j- > des K\ des
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICê). 71
-T-, pour des positions trës-rapprochées de la poutre.
Lorsque la charge est formée de forces concentrées, de forces uniformément réparties ou plus généralement quand la charge est parabolique, on peut utiliser les polygones d'intégration.
On peut alors prendre des positions de la poutre moins nombreuses et plus espacées; on trace les paraboles décrites par les sommets des lignes de repère; les positions intermédiaires de ces lignes de repère s'obtiennent alors sans aucune peine.
Lorsque la courbe des charges est quelconque, les courbes limites sont, dans le sens mathématique du mot, les enveloppes des lignes des M et des K pour les différentes positions de la charge sur la poutre fixe. Mais il y a des exceptions et ces exceptions sont précisément les cas les plus fréquents.
Lorsque les charges sont concentrées, la ligne des K est
une ligne à gradins; le polygone des -r— coupe certains côtés
verticaux; le moment fléchissant passe par un minimum ou maximum négatif dans une section située sous une force. La courbe limite qui correspond à cette section mobile est une courbe spéciale à un point de la charge; ce n'est pas une enveloppe : c'est le lieu décrit par un sommet du polygone des M. Il est facile de démontrer que ce lieu est une parabole du quatrième degré. En effet, le moment fléchissant sous une force est donnée sur l'épure où l'on suppose la charge fixe et la poutre mobile, par une différence M" — M'; M" est constant; M' est l'ordonnée d'une droite. Soient : Â, B, les ordonnées des extrémités de cette droite; l, la longueur de la travée; ^, la distance de la force à Tune des extrémités; on a :
72 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe).
Or, À et B sont des fonctions entières du troisième degré en z; donc M' et par suite M" — M', est une fonction du quatrième degré en z; c'est précisément ce qu'il fallait démontrer.
Au contraire^ les valeurs de M dans les sections où la
ligne des -^ coupe les côtés horizontaux du lieu des K sont
les ordonnées des enveloppes des côtés de la ligne des M. Toutes ces enveloppes et tous les arcs de paraboles décrits par les sommets du lieu des M ne sont pas des courbes qui font partie des limites des moments fléchissants. Au moyen
des courbes de repère spéciales des -z- , on peut en imitant
ce qui a été dit pour la poutre sur deux appuis ne tracer que les courbes limites. Toutefois il n*est pas aussi facile de déterminer les points de passage où une tbrce se substitue à une autre dans la production des maxima négatifs. Ces points dépendent d'équations du troisième degré et quelquefois du quatrième. Au lieu de chercher directement ces points, on tracera quelques segments inutiles des arcs paraboliques du quatrième degré et par leurs intersections, on obtiendra ces points de passage.
Les courbes limites des efforts tranchants sont toujours des courbes spéciales à un point de la charge; on démontre facilement que ce sont des arcs paraboliques du troisième degré.
Lorsque la charge est formée d'une suite de charges uniformes, les sommets du lieu des K décrivent aussi des courbes parmi lesquelles se trouvent les courbes limites ; ce sont des arcs paraboliques du quatrième degré. En effet, Teffort tranchant s'obtient sur Tépure où Ton suppose la charge fixe et la poutre mobile par une différence K" — K' ; K'' est constant, K' est une fonction du quatrième degré.
7§0. Problèmes pratique». — Dans l'étude de la
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). 73
stabilité d'un pont, on est conduit à examiner Tinfluence d'une charge mobile formée d'un certain nombre de personnes; c'est le cas d'une charge uniforme qui peut se fractionner indéfiniment. Dans le cas d'un pont pour chemin de fer, il faut étudier l'influence du passage d'un train; mais comme il peut se produire des ruptures d'attelages, on n'obtiendra pas la fatigue maxima en déplaçant la poutre sous le train supposé invariable. II est plus rationnel d'assimiler le train à une charge uniforme que Ion déterminera avec discernement, et de supposer que la charge puisse se fractionner indéfiniment. Lorsque la charge mobile est une charge uniforme p^ la charge dérivée est une force isolée placée à la tête du train ; c'est en effet, par l'étude de l'influence d*une force isolée mobile que nous avons obtenu la fatigue maxima provoquée non seulement par le passage d'une charge uniforme, mais aussi par le fractionnement indéfini d'une charge de cette espèce
Nous avons vu avec quelle facilité on dresse une épure qui donne les points d'inflexion de la poutre, déformée sous l'action d'une force isolée. Cette épure permet aussi de déterminer rapidement les moments fléchissants produits par le passage d'un système de forces isolées. Soit (flg. 334) LMN l'intégrale seconde de la charge; l'épure des inflexions donne immédiatement la ligne de repère ET', pour le cas d'une force unique; en redressant la ligne de repère et en superposant les effets des diverses forces, on obtiendrait l'effet du système donné.
Cette méthode peut être recommandée pour le cas d'un pont tournant pour route. L'épure des inflexions est indispensable pour étudier l'effet de la charge vivante. On en déduit immédiatement l'influence du passage d'un chariot mobile.
Dans le cas d'une poutre encastrée, l'épure des inflexions est formée de deux droites (584) ; de là résulte, pour ce
cas, un trace trës-simple des moments fléchissants produits par une ou plusieurs forces mobiles.
§ VIL — Poutres a sections variables.
7§1 . — Lorsque le moment d'inflexibilité de la poutre est variable, la méthode de la poutre mobile conduit à des opérations trës-laborieuses. On intègre deux fois les charges ; mais les deux autres intégrations doivent être recommencées pour chaque position de la poutre. Si Ton intègre par éléments très-petits, les opérations sont presque inabordables. La méthode des polygones d'intégration simplifie les constructions. Il sufSt de tracer les intégrales successives de 1 : e pour les différentes travées: on est à même de trouver rapidement les directrices des polygones d'intégration pour tous les segments de la poutre; on peut quelquefois remplacer, par des polygones, des arcs très-étendus des intégrales. Cela s'applique aussi à l'épure des dérivées. Il faut remarquer cependant que les lignes de repère spéciales doivent être tracées par points; la méthode des polygones d'intégration n'est plus applicable; ces lignes ne sont plus des paraboles.
789. Problèmes pratiques. — Le cas d'une charge uniforme qui se fractionne par travées donne lieu aux mêmes tracés que si la poutre était prismatique, sauf en ce qui concerne la position des directrices d'intégration et les bases d'intégration des >7. Lorsque l'on suppose que la charge peut se fractionner indéfiniment, on est conduit à tracer certaines courbes de correction (629, 634); ces courbes ne sont déterminées que par leurs tangentes extrêmes ; en chargeant des fractions de travées, on trouverait des enveloppées de ces courbes ; mais pour les déterminer avec plus de précision, il est nécessaire de tracer^ comme pour les poutres prismatiques, l'épure des inflexions dues à une force isolée.
Nous allons exposer une nouvelle méthode de résoudre
tous ces problèmes ; elle consiste à utiliser les intégrales successives de la courbe des inverses du moment d'inflexibilité; on parvient ainsi à éviter toutes les intégrationjs qui ne s'appliquent qu'à une position de la charge et que l'on serait obligé de recommencer un grand nombre de fois.
7§S. Force isolée mobile. — Prenons d'abord le cas d'une poutre encastrée à ses deux extrémités. Soient : AB (âg. 335, âg. a) la poutre donnée, C le point d'application de la force. Si la poutre était libre en B, la ligne des M serait BCD ; on tiendra compte de l'encastrement B en rapportant cette ligne à une ligne de repère EF à déterminer par les conditions de la déformation.
Prenons le point  comme origine des coordonnées; soient a l'abscisse d'une section quelconque, u l'abscisse du point d'application de la force. Les déformations de la poutre, dans l'hypothèse où la section B est libre, sont données par les formules :
eg-=P(«-^)
y,==pl Z -îdX (1)
dx \ ds.
'o ' Nous pouvons aussi considérer l'intégrale seconde qui
donne y comme un moment statique et écrire (104):
Si en particulier, nous nous plaçons au point d'application de la force, nous trouvons :
-=pI {x — x')^-^ ix' . (2)
-^dx (3)
"^a^n^dx. (4)
Traçons les intégrales successives, à partir de l'origine,
delà conrbe dont Tordonnëe est l'inverse de e ; soient Ii, II, II, ces intégrales; on a, d'après le théorème du numéro 104:
Jo ' 2I,(«) = \ ^ — '^dx.
En comparant ces valeurs aux formules (3) et (4), on a, en prenant la force P comme unité :
'fiu = U{u) (5)
yu = 2h{u). (6)
Cela va nous permettre de déterminer immédiatement pour une position donnée u de la force, les éléments des courbes des >7 et des y qui suffisent pour trouver la ligne de repère EF. Soient A'C'I», A"C"l5 les intégrales Ii et L; y]i*est l'ordonnédu point Cet comme la partie CB de lapoutre n'est pas déformée, l'horizontale CB' est une partie de la ligne des in. D'après la formule (6), y» est le double de l'ordonnée du point C'; nous tiendrons compte du coefficient 2 en réduisant de moitié Téchelle des y. Le point C' est donc un point de la ligne des y. Pour la partie non déformée la ligne des y est d'ailleurs une droite C"B" dont la dérivée est yj». Nous trouverons cette droite C"B" en intégrant C'B' avec une base double pour tenir compte du coefficient 2.
Remarquons que la droite C'B" n'est pas tangente à la courbe Is; la tangente au point G" de la courbe L a un coefficient angulaire double de la droite C'B". Cette dernière touche la courbe des y représentée par l'équation (2); nous avons figuré cette courbe en pointillé; mais il est inutile de la tracer.
Nous connaissons maintenant les extrémités A', B', A", B" des lignes des >î et des y pour la position C de la force; nous obtiendrons les lignes de repère en appliquant
l'uue OU l'autre des méthodes des numéros 636 à 639. Appliquons, par exemple, celle du numéro 638. Le point moyen N' des rf a pour ordonnée la dérivée de la corde A"B"; les moments principaux M et N s'obtiennent en prenant les dérivées des pseudo-médianes A'N' et N'B' ; la droite EF est déterminée par deux points M et N. En effectuant ces constructions pour une série de positions de la force, on obtient tous les points d'inflexion analogues à H et E. On donne à l'épure des inflexions sa forme ordinaire, en rapportant dans la figure d les points obtenus dans la figure a.
Dans le cas d'une poutre à plusieurs travées, on commence par dresser pour chaque travée l'épure des in'flexions en supposant la travée encastrée à ses deux extrémités. On peut alors opérer comme au numéro 626. Pour chaque position de la force sur une travée, on trouve immédiatement la transformée droite, on trace la ligne des M' et on obtient les véritables points d'inflexion. Connaissant les véritables courbes des inflexions, on obtient facilement les moments fléchissants et les efforts tranchants (par dérivation) produits par une ou plusieurs forces isolées mobiles (780). On en déduit aussi la position qu'il faut donner à une charge uniforme pour réaliser dans une section les moments fléchissants limites.
7§4. Charge anirorme mobile. — Soient (fig. 336, fig. a) : AB la travée que nous supposons d'abord encastrée à ses deux extrémités, u la longueur AB sur laquelle agit une charge uniforme égale à l'unité. Prenons comme ligne des M, la ligne BCE que l'on obtiendrait si l'extrémité B était rendue libre. On trouve en raisonnant comme au numéro précédent :
yîi, = i
'" (u — xY dx
r« (^ — /p)5 ix
Od voit qu'au moyen des intégrales de la courbe des inverses du moment d'inflexibilité, on peut trouver facilement les extrémités des lignes des ri et des y pour une position de la charge. On en déduit alors la ligne de repère F6 des moments fléchissants.
Supposons que l'on donne la charge p ou ce qui revient au même, la parabole ACB (flg. 336, fig. b) qui représente les moments fléchissants lorsque la travée est posée sur deux appuis et complètement chargée. Si le segment Ac est seul chargé y on prendra comme ligne des M la ligne B'CA; la transformée droite F6 est déterminée par les points H et K que Ton obtient en utilisant la figure a ; on en déduit immédiatement la ligne de repère F'6' pour la poutre à plusieurs travées. On peut de cette manière et en reproduisant les opérations du numéro 629 déterminer les courbes limites des moments fléchissants dans le cas d'une charge qui se fractionne indéfiniment.
7S5. Charges paraboliques mobiles. — On peut étendre la méthode précédente au cas d'une charge mobile, couvrant la poutre sur une longueur u et s'exprimant par la formule
^ 1.2.3...(t — 3)' On trouve, en effet :
(u — a?)*"* dx
C^ (û) — a?)* àx ^ , .
Au moyen des intégrales I, et I»L^.l, on trouve les extrémités des lignes des y\ et des y et on en déduit la ligne de repère des M.
Une charge parabolique dont la tête a pour abscisse u s'exprime par une formule de la forme :
On peut la décomposer en plusieurs charges analogues à celle que nous venons d'examiner et appliquer le théorème de l'indépendance des effets des forces. Cette méthode s'applique aussi au cas d'une suite de charges paraboliques accompagnées de forces isolées.
§ VIII. — Poutres en arc^
7^6. Pour une position de la charge, traçons la ligne
des pressions; traçons aussi la ligne des pressions pour la
charge dérivée. Les tensions moléculaires des fibres
extrêmes passent par un maximum ou un minimum dans
les sections où les dérivées de ces tensions s'annullent. Or,
la tension d'une fibre extrême s'annuUe lorsque la pression
passe par l'extrémité opposée du noyau central. Traçons
donc les lieux des extrémités du noyau central ; ces lieux
sont coupés en certains points par la courbe des centres de
pression pour la charge dérivée; ces points déterminent les
sections où les tensions des fibres extrêmes passent par an
maximum ou un minimum. Pour chaque position de la
charge, nous pourrons donc calculer les tensions maxima
et minima et les représenter par des courbes. De même la
force tangentielle passe par un maximum dans la section
dk où la dérivée — de l'effort tranchant passe par zéro, c'est-
au
à-dire dans les sections où la pression dérivée est normale à la section qu^elle sollicite; on peut aussi construire la courbe des forces tangentielles maxima.
Lorsqu'il s'agit d'une charge uniforme qui peut se fractionner indéfiniment, on commence par étudier l'effet de la charge dérivée qui se réduit à une force isolée. On opère comme pour les poutres droites. Pour chaque fibre extrême,
80 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE).
on dresse une ëpure qui donne pour chaque position de la force les sections où la tension s'annulle. On en déduit le mode de sollicitation qui provoque dans chaque section la fatigue maxima de l'une ou l'autre fibre extrême. Pour pouvoir calculer les dimensions il faut déterminer les plus grands moments de la pression autour des extrémités du noyau central.
Les méthodes que nous avons exposées dans notre mémoire permettent de résoudre graphiquement tous ces problèmes. Mais les opérations à faire sont trës-laborieuses parce que pour chaque position de la charge ou de la charge dérivée, il faut recommencer la plupart des intégrations. Gomme pour lea poutres droites à sections variables, nous allons exposer une méthode qui permet d'utiliser les mêmes intégrales pour toutes les positions de la charge.
787. Charge Isolée moMle. — Soit A6 l'arc courbe encastré à ses deux extrémités. Rendons d'abord Textrémité 6 entièrement libre; la force P produit une rotation de la section B autour d'un point D ; ce centre de rotation D est le centre de percussion de l'arc AG conjugué à la force P. Si la section 6 est encastrée, il doit se développer dans cette section une réaction capable d'annuler la rotation D. Nous avons vu au numéro 677 que cette réaction s^obtient facilement quand on connait le point D. Le problème est donc ramené à trouver le point D en utilisant des courbes intégrales indépendantes de la position de la force P.
Prenons un axe des y passant par le point A, un axe des X horizontal; dans une section x^ y, le moment fléchis* sant M, l'effort longitudinal N et l'effort tranchant K sont donnés par les formules :
M=rP(tt — «)
K = p!^ di
Le déplacement de la section (os -{- xd^ y + dy) par rapport à la section Xy y se compose d'une rotation d^ et des deux translations dues à la compression et au glissement. Nous considérons ces translations comme des couples de rotation. La rotation résultante ^ est la somme des composantes. Le centre de la rotation résultante (^", y") s'obtiendra en prenant deux équations de moment. Nous prendrons comme axe des moments la ligne d'action de la force et Taxe des x ; nous trouvons :
Introduisons une fonction de x déterminée par l'équation
EX dx ^^
Soient Ui, Ut, ... les intégrales successives de cette fonction prises de zéro à u.
Posons aussi :
V ds
et soient V<, Vt ••• Xi, Xt ••• Yi Yt ••• les intégrales successives de ces fonctions depuis zéro jusque u. Si nous prenons la force P comme unité, les équations
82 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe).
(1) (2) (3) deviennent, en remarquant que les moments de divers ordres sont des intégrales,
^(tt — a?") = 2U3 + Xi (9)
Toutes les intégrales des seconds membres peuvent être représentées pour u variable, sans faire d'hypothèse sur la position de la force. Les courbes intégrales seront disposées de manière à obtenir immédiatement les sommes 2U5 + Xi, Vi +Yi (flg. 338). Pour une valeur de u donnée, on a BC=2U5 + Xi ; si CD est l'intégrale de l'ordonnée Ut, c'est-à-dire une droite dont le coefficient angulaire est deux fois plus petit que celui de la tangente à la courbe 2Us, on aura BD = w — a?". On trouvera de même B'C = V, + Y,,et en menant CD' parallèlement à CD, CD' == y".
Plaçons la force dans une série de positions; nous obtiendrons les différentes positions du centre D. Pour chacune de ces positions, appliquons la construction déjà rappelée du numéro 677, nous obtiendrons la réaction qui se développe dans la section B ; ou en déduit facilement la ligne des pressions qui est formée de deux droites.
Pour pouvoir appliquer cette construction, il est nécessaire de connaître le centre de gravité de l'arc et deux centres de percussion. Le centre de gravité ai yi est déterminé par les formules suivantes où l est la projection horizontale de Tare ÂB :
formules qui peuvent aussi s'écrire :
{} — Xk) u, = U,
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). gâ
Les intégrales sont prises pour u=^L Les tangentes aux extrémités de la courbe Us se coupent sur la droite x = Xi. L'ordonné yi s'obtient en menant par lextrémité de la courbe Vi, une parallèle à la tangente extrême de Ut.
La position du point D pour u=s l^ donne l'un des centres de percussion; c'est le centre de percussion conr jugué à la verticale du point B.
Pour en trouver un autre, prenons l'axe des x comme axe de rotation. Il suflSt (260) de calculer l'ordonnée yz de ce centre de percussion; on l'obtient par la formule (14) du numéro 670. On peut aussi considérer ce point comme le centre de la rotation produite par une force dirigée suivant l'axe ox et sollicitant la section B. En raisonnant comme au numéro 787, on trouve :
'•j^-j'^+$[(ë)'+i(iy]Ê-
D'où l'on déduit :
Il sufSt d'effectuer deux nouvelles intégrations.
7SS. Chargée anlformeoa parabolique. Une charge uniforme s'étend de l'abscisse o à Tabscisse u; nous pouvons encore appliquer les formules (1) (2) (3) du numéro précédent, mais nous devons supposer P ^=p(u — x), et dans les moments P(u — x) introduire le dénominateur 2 pour tenir compte de la réduction du bras de levier. Prenons la charge jo comme unité, remplaçons les moments de divers ordres par des intégrales, nous trouvons :
On est conduit à des constructions du même genre que celles que nous avons rencontrées dans le cas d'une force isolée. En reproduisant les considérations du numéro 785,
84 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE).
on étendrait la méthode au cas d'une charge parabolique ou d'une suite de charges concentrées et paraboliques.
7§9. Wtkumme position. — Avant de commencer les calculs d'une poutre en arc, on ne connait pas la loi de variation des sections transversales. Généralement on suppose d'abord la poutre prismatique ; on détermine l'état de
sollicitation dans cette hypothèse et ou calcule les dimensions. Il faut alors, et c'est ce qui n'a pas toujours lieu, recommencer les calculs en introduisant les dimensions vraies dans les formules de déformation. C'est, en définitive, employer la méthode des fausses positions ou des approximations successives.
Au lieu de supposer la section prismatique dans les premiers calculs, il est plus rationnel de se rapprocher autant que possible de la loi de variation des sections. On ne connait pas cette loi, mais on peut s'en rapprocher et profiter de l'indétermination qui subsiste pour simplifier les intégrations.
Supposons que l'arc soit chargé complètement et que la ligne des pressions coïncide avec la fibre moyenne; si l'arc a une section d'égale résistance, la section o sera proportionnelle à l'eâbrt longitudinal N. Cet efibrt est la pression ; si les charges sont verticales, la projection horizontale de la
pression est constante; donc le produit N -r- est constant.
Il en est de même du produit w -j- ; donc — est propro -
tionnel à da. Supposons, en outre, que le rayon de gyration r varie assez peu pour être supposé constant; on pourra admettre ;
ds ds ,
ou -— = ax'
Ewr* El
En réalité les deux quantités que nous réunissons par le signe d'égalité sont simplement proportionnelles; mais
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe). 85
comme le coefficient E est un facteur commun dans tous les termes des déformations on peut prendre E arbitrairement; cela revient à multiplier toutes les rotations par un facteur constant; le centre des rotations ne change pas.
Cette formule donne une loi de variation des sections qui se rapproche plus de la réalité que l'hypothèse d'une section prismatique; elle a d'ailleurs le grand avantage de simplifier considérablement les calculs. On trouve, en effet,
U = l, U,=v Uî=~...;
on a aussi V == y, donc les intégrales V<, Vt, ... sont les intégrales de la fibre moyenne. On a enfin :
3r* dy ix
2 ds ds
La valeur de X peut aussi se mettre sous la forme :
790. Ca» partiealier. — L'hypothèse que nous venons d'admettre conduit surtout à des constructions simples lorsqu'on néglige l'influence des compressions et des glissements. Il faut alors supprimer les termes qui dépendent des fonctions X et Y. Dans le cas d'une force isolée, on trouve en appliquant les formules (8) (9) et (10) du numéro 787,
Il est facile de voir que l'ordonnée y" est l'ordonnée constante qu'il faudrait substituer aux ordonnées y pour que le moment statique des aires ydx autour de la droite xss^une soit pas changé. En efiet, le moment statique du
86 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPBNDICE).
rectangle uy" a pour valeur y" -^ et Tëquation qui donne
la valeur de jf' exprime précisément que ce moment est égal à Vt, moment statique des aires yàta.
Lorsque Parc a la forme d'une parabole du second degré, on peut trouver tr&s-simplement le centre de rotation sans construire l'intégrale Vt. Soit E (flg. 337) le point de la parabole situé à égale distance de la force et de Taxe oy ; le point {(Kf\ y'^) se trouve aux deux tiers de la droite AE. Cette construction résulte immédiatement d'une propriété de la transformée droite d'un arc parabolique (618, Variante I). Quand la force se déplace, le point D décrit une parabole; Tantipolaire MB' enveloppe une conique.
Le cas d'une charge uniforme se traite avec la même facilité; on trouve :
L*ordonnée y" est l'ordonnée constante qu'il faut substituer aux ordonnées y pour que le moment d'inertie autour de la droite â? «» i^ des aires ydx prises de o à i^, ne soit pas changé.
On arrive à des résultats analogues pour une charge p donnée par Téquation
'^ 1.2.3...i— 3 On trouve
L'ordonnée y" est l'ordonnée constante qu'il faut substituer aux ordonnées y pour que le moment d'ordre i — 1 , autour de la droite x = u, des aires ydss prises de o à «, ne soit pas changé.
Lorsqu'on a déterminé le centre de rotation en négli-
INTÉGRATION GRAt>HlQUE (aPÎ^ENDICÈ). gï
géant les compressions et les glissements, on peut déterminer le déplacement quMIfaut faire subir à ce point pour obtenir la position exacte du centre de rotation. Dans le cas d'une force isolée, on a :
2Xi
Aa?" =
791 . Tiléorème. On néglige les compressions et les glissements ; on considère la ligne des pressions comme la ligne des moments fléchissants d'une poutre droite qui serait la projection horizontale de Tare. Si on prend comme ligne de repère la transformée droite de l'arc, ces moments fléchissants appartiennent à une poutre encastrée à ses extrémités.
En effet, la rotation élémentaire d^ d'une section de l'arc s'exprime par la formule (16) du numéro 672
d^ = qcdm = qcdw.
Exprimons que ces rotations se composent en une rotation égale à zéro ; nous trouvons :
^cdx ~ ^Civdx = ^cydw = 0.
L'excentricité c est la partie d'ordonnée verticale comprise entre la ligne des pressions et la fibre moyenne; on peut considérer cdx comme l'élément d'aire comprise entre ces deux lignes ; les deux premières équations expriment que les poids de ces aires se font équilibre. On peut dire aussi qu'entre les verticales des extrémités de l'arc et une droite quelconque, la fibre moyenne de l'arc et la ligne des pressions déterminent deux aires dont les poids sont égaux et tombent sur la même verticale. On trouve là transformée droite de Tune ou l'autre de ces lignes en transformant ces aires en un trapèze ayant même poids et tombant sur
la même verticale. Or on sait que si la poutre est encastrée
à ses extrémités, c'est la transformée droite de la ligne des M
qu'il faut prendre comme ligne de repère. Cette transformée
droite est aussi la transformée droite de l'arc; cela démontre
le théorème.
On peut appliquer ce théorème à la détermination de la
ligne des pressions. On commence par tracer la transformée
droite de Tare et le lieu des moments fléchissants d'une
poutre encastrée. Prenons la transformée droite comme
ligne de repère; soit M l'ordonnée de la ligne des M tracée;
l'ordonnée de la ligne des pressions inconnues est % = ^M.
On a donc
Nous déterminerons le coefficient de réduction a au moyen de l'équation
qui donne
Cette méthode ne convient pas pour une charge mobile, parce que l'intégrale du dénominateur doit être recommencée pour chaque position de la charge. Dans ce cas, il vaut mieux se contenter de déterminer par l'épure des moments fléchissants, les points où les réactions des sections extrêmes coupent la transformée droite. On construit un autre point de l'une de ces réactions en déterminant T antipôle d'une droite passant par le centre de rotation déterminé par les méthodes précédentes .
Prenons, par exemple, le cas d'une force isolée ; Tépure des inflexions de la poutre encastrée est formée de deux droites. En rapportant ces points d'inflexion sur la transformée droite de l'arc, on trouve les points F et H de la ligne des pressions. En prenant l'antipôle de la droite ÂE, on trouve un autre point K de la droite MB'; le problème est résolu. Si l'arc courbe est parabolique, les droites AE
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). 89
forment on système du premier degré en u; les point E forment une échelle homographique de la variable u.
Bemarqaes. — !<> La transformée droite de l'arc est aussi le diamètre de l'ellipse centrale d'inertie de Tare conjugué aux cordes verticales. On peut vérifier cette propriété par l'analyse. Mais on y arrive aussi de la manière suivante: supposons la poutre encastrée à l'extrémité gauche; introduisons à l'extrémité droite la réaction et le couple qui se développent dans le cas de la poutre droite encastrée. Le moment fléchissant M dans une section de l'arc sera le moment fléchissant de la poutre encastrée. Composons les rotations. La rotation résultante est donnée par la formule :
Elle égale à zéro. Donc les rotations se composent en une translation. La translation verticale a pour valeur
JM (l — œ) dx.
Elle est aussi égale à zéro. Le seul déplacement de la section extrême est une translation horizontale
e = ^Mydx.
Pour annuler cette translation, il faut introduire dans la section extrême une force passant par le centre de gravité de Tare. Cette force (676) est conjuguée aux perpendiculaires à la translation ; elle est donc conjuguée aux cordes verticales de Tellipse centrale d'inerjtie. Elle est donnée par la formule (20) du numéro 676 qui devient :
^ cos f = F . Jy'ete . cos* f .
Dans cette formule i est l'angle de la force F avec l'horizon; nous avons remplacé R' dm par sa valeur; cette valeur est l'intégrale des y^dx cos' ij si on prend la direction de la force comme ligne de repère des y. Nous ferons la même hypothèse dans l'intégrale qui donne la valeur de e et nous trouverons :
. ^Mydar
Nous obtiendrons l'état de sollicitation de l'arc en composant les forces verticales de la poutre encastrée avec la force F; nous obtiendrons ainsi une ligne des résultantes ou des moments fléchissants; la ligne d'action de la force F est la ligne de repère. Cela démontre la propriété que nous avons avancée. Remarquons aussi qu'en prenant la force F comme force auxiliaire, on réduit les moments fléchissants dans le rapport 1 : F cos i ; ce rapport a pour valeur
C'est la valeur que nous avons trouvée précédemment.
2* Le théorème précédent est encore applicable au cas où la section transversale varie d'une manière quelconque. Il faut alors supposer que la poutre encastrée ait pour moment d*inflexibilité
dx
Les formules et les démonstrations ne subissent que de légères modiflca tiens.
3« On peut même étendre le théorème au cas où Ton tient compte des glissements et des compressions. Mais alors il faut dans la poutre encastrée tenir compte des glissements verticaux. On doit attribuer à la poutre encastrée
non seulement le moment d'inflexibilité s = ËL-=- » mais une
as
section conventionnelle donnée par la formule
w' fù[\dsj '^^\dsj ]'
Il est évident qu'alors la ligne de repère de la ligne des pressions considérée comme lieu des moments fléchissants de la poutre encastrée est conjuguée, aux cordes verticales, dans l'ellipse centrale d'inertie des éléments de l'arc décomposés en leurs points fictifs (671).
NOTE m.
Sur 166 mom6nt6 d66 diV6r6 ordr66.
TM. liitécrale6-moiiieBl6. — Soient: y^=if(x\ réquation d'une courbe; Xo^ une abscisse initiale; x^ une abscisse variable; M«, le moment d ordre 6 autour de Taxe Xj des aires ydw^ prises de â^o à â;. On a (104) la formule
= ( f{x')ix'(x — xy.
Appelons 1^, It, Is... les intégrales successives de la fonction y, prises de Xq à x. En appliquant les formules des numéros 104 et 105, nous trouvons :
Mo = ( f{x')dx'^li
Ml = l Morf^ = If
M,»» 31 Mt<2â;=== 1.2. 3.14- En continuant de la même manière, on trouve :
Mm = 1.2»3... MIh^.! •
D'où Ton tire :
En remplaçant les intégrales L+t et M» par leurs valeurs, on retrouve une formule d'analyse
-a? 0X ^x ,x px (x — X^Y
\ dx\ dx{ ... f{x)ix^\ ^___L./(fl,)àr'. (1)
• aî0 *û?Q •'a?Q ^Xq ^Xn
92 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPBNDICE).
Réciproquement, en partant de cette formule d'analyse, |
nous aurions pu démontrer d'une autre manière les propriétés que nous venons de rappeler.
Nous désignerons le second membre de la formule (1) sous le nom dMntégrale moment. C'est le moment d'ordre n à un facteur constant près. C'est une intégrale particulière de Tordre w + I ; Tintégrale générale contient w + 1 constantes; dans l'intégrale moment les constantes sont déterminées par la condition, qu^au point â^, la courbe intégrale ait avec Taxe des x un contact d'ordre n; on peut dire aussi, dans un langage figuré, que l'intégrale moment est rintégrale qui passe par n + l points (Xo^ o). Rappelons aussi (106) que si on trace une intégrale quelconque d'ordre it-f- 1, on trouvera l'intégrale moment en prenant, comme ligne de repère, une parabole de degré n oscaiatrice à la courbe.
Notations. — Nous rencontrerons souvent dans ce qui suit des expressions de la forme :
Pour simplifier les écritures nous les représenterons par les symboles
Nous écrirons, par exemple,
x"'dx = x"*^^.
Comme application, proposons-nous de calculer
\ {h — xy*^x"
**dx.
Cette expression est l'intégrale moment de x"*; nous
INTEGRATION GRAPHIQUE ( APPENDICE). 93
l'obtiendrons en effectuant m-^l intégrations snccessiTes ; nous trouvons
On a donc :
-h (A — x)"^X'"dx == A-"*+"+*. (2)
En mettant cette formule sous la forme ordinaire^ on a :
r ,, V , 1.2.3 ..wt X 1 «^.S... w , .,
JQ ^ 1.2.3...(w-|-^+l)
Si dans la formule (2), nous posons a?==» 1 -j-j2?, A ==2^ il vient
(1 — -5)- (1 -f 2)-« dz = 2-^«+*. (3)
L'expression générale d^une intégrale moment devient alors
Par un changement de variable, on peut ramener cette intégrale à une autre intégrale prise entre les limites et 1 , posons
flj' c= fljo + ^ (a? — Xo) il vient
I^^4 ={x— a?o)" \ (1 — O*""*/ [^0 + < (iz? — a?o)] ^/. , -^
793. f ormnle de T^ylor. — Une fonction ¥{x) peut toujours être considérée comme une intégrale d'ordre n de sa dérivée F^"^(a?). Menons au point a?o de la courbe F(a?) la parabole osculatrice de degré n — 1 ; cette parabole a pour équation
94 INTEGRATION GRAPHIQUE ( APPENDICE).
Nous savons qae F(x) — y représente l'intégrale moment de F*->(fl?); on a donc
Bn remplaçant y par sa valeur, on trouve
F(x) = F(a?«)4- (a? — a?o) P'(aîo) -I h (û? — a?o)-"-* F<"" * W
C'est la formule de Taylor; le reste a la forme donnée par Laplace; c'est une int^rale moment.
