Ordonnée» moyenne» de dlver» ordre

On donne une courbe quelconque y=/(a?); déterminons l'ordonnée constante qu'il faut substituer aux ordonnées y pour que, autour de l'axe X, le moment d'ordre je? des aires yix prises de â; à X ne soit pas changé ; cette ordonnée est l'ordonnée moyenne d'ordre je?. Elle est donné par l'équation :

lX{^-zfS(z)àz

ou

Cionsidérons les intégrales comme des limites de sommes ; prenons des âa égaux; attribuons aux points de la courbe des poids représentés par (X — zY\ l'ordonnée y^ n'est autre que la limite de l'ordonnée du centre de gravité de ces poids. Lorsque p est nul, on retrouve l'ordonnée moyenne ordinaire; c'est une moyenne arithmétique; les poids des points sont égaux à Tunité.

Nous avons déjà rencontré ces ordonnées moyennes dans la théorie des arcs courbes (790). On les rencontre aussi dans la formule de Taylor. Le reste de cette formule a pour valeur l'intégrale moment

On en déduit la forme de Lagrange en remplaçant f{z) par une certaine valeur constante intermédiaire f\z\)\ f(%\) est évidemment l'ordonnée moyenne d'ordre n — 1 .

Posons dans la valeurs de y^,,

ij = a? [. ^ (X — a?),

INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICK). 99

il vient

yp = (?^ + i)((i~OV[^ + ^(X~a?)](?r

Si X — X est constant, x variable, on a

Si on désigne par y'p l'ordonnée moyenne d'ordre p pour la dérivée y' :=:f(x), on peut écrire

Nous avons appliqué un cas particulier de cette relation à la fin du numéro 767. Il s'agissait de mener la tangente à la ligne de repère spéciale des efforts tranchants. L'ordonnée E' de cette ligne est Tordonnée moyenne du lieu des efforts tranchants; sa dérivée est l'ordonnée moyenne de la charge.