COURBES HARMONIQUES
S04- Parabole harmonlqae. — Etant donnée une courbe dont l'équation contient un certain nombre de paramètres arbitraires, on peut déterminer ces paramètres de manière à former entre xq et X un accord d'ordre le plus élevé. Nous dirons alors que c'est la courbe harmonique de l'espèce donnée. ***'
Proposons-nous de déterminer la parabole harmonique de degré n; son équation est de la forme :
Cette équation paraît contenir n -{- 1 paramètres arbitraires; mais il faut remarquer que faire varier le coefficient
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe). KH
A c'est augmenter ou diminuer récheiie des ordonnées; cela n'exerce aucune influence sur le degré de l'accord. Nous ne pourrons donc exprimer que n conditions, et déterminer un accord de degré 9» -f- ^ * Remarquons aussi que la parabole ne peut présenter que n changements de signe; il en résulte, d'une autre manière, que le degré le plus élevé de raccord est n +1 et que dans ce cas Taccord sera parfait.
Au lieu de déterminer analytiquement les paramètres p^ nous chercherons l'intégrale d'ordre n de la parabole en admettant qu'il y ait accord d'ordre n+\. L'intégrale d'ordre n est une fonction entière de degré 2n; elle s'annule aux deux limites â?o et X ; de plus en ces points les n — l premières dérivées s'annulent également ; l'équation que l'on obtient en égalant cette fonction entière à zéro a donc n racines égales àxoetn racines égales à X; il n'y a pas d'autres racines ; on a donc :
I, (x) = N (a? — XoY (X — X)*
On en déduit :
/ {x) = ND- [{x — aro)* (x — X)«]. (3)
Le coefficient N peut être pris arbitrairement.
Il est évident que toutes les conditions de l'accord sont satisfaites, car nous avons exprimé que L, I«...In s'annulent aux deux limites. Il en résulte immédiatement que Téquation que l'on obtient en égalant la fonction (3) à zéro a n racines inégales comprises entre xo et X, car il doit y avoir n changements de signe. La fonction Ii présente n — 1 changements de signe qui s'intercalent entre ceux de/(â;); il y a en outre les racines Xo et,X; il n'y a pas d'autres racines. La fonction h présente n — 2 changements de signe qui s'intercalent entre ceux de In ; il y a en outre deux racines Xo et deux racines X. On continue de même. La fonction I» présente n — i changements de signe qui
108 INTEGRATION GRAPHIQUE ( APPENDICE).
s^ntercalent entre ceux I«i ; il y a en outre i racines mo et i racines X ; il n'y a pas d'autres racines ; les racines comprises entre xo et X exclusivement sont des racines inégales . Prenons l'origine au milieu de llnteryalle X — Xo; prenons la moitié de cet intervalle comme unité ; nous aurons X = 1 a?o = — 1 ; réquation (3) devient
/(a?) = ND«(aî» — 1)«. (4)
Les polynômes que l'on obtient en donnant à n différentes valeurs se rencontrent dans un grand nombre de questions d'analyse. On les appelle les polynômes de Legendre.
Théorème. — Si on fait passer une parabole de d^ré n + i par les points où la parabole harmonique de degré n coupe l'axe des a?, on obtient un accord de degré «+ 1 — *•
En effet l'équation de cette parabole de degré n + i est de la forme
si/{x) est l'ordonnée de la parabole harmonique et 0» une fonction entière de degré i. Or quand on multiplie une fonction par une fonction entière de degré i le degré de l'accord diminue de i (799, corollaire) Cela démontre le théorème.
Si en particulier on prenait i = w — 1, ou n+i = 2n — 1, l'accord se réduirait au deuxième degré; il y aurait simple compensation des aires.
Appllcallou. — Une poutre prismatique encastrée à ses extrémités supporte une charge uniforme. Le lieu des moments fléchissants est une parabole du second degré ; elle forme un accord du troisième degré; donc c'est la parabole harmonique.
L'équation de Télastique est de la forme :
Le moment fléchissant s'exprime par :
M = ND« (œ* — 1)« = N (12a?« — 4).
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICB). 109
Nous avons dû prendre comme unité la demi-longueur de la poutre ; en rétablissant l'unité arbitraire, on a :
Si jo est la charge, le terme en Zc'est^; on a donc :
Les points d'inflexion s'obtiennent en posant M == 0; on a
a? = db •
§3. — Facteurs harmoniques.
805. — On donne une fonction quelconque F (a?); on demande de déterminer un facteur/(a?)qui contient des paramètres arbitraires de telle façon que la courbe y "=/[('>) F(x) détermine entre Xo et X Taccord de degré le plus élevé. La fonction /(a?) est alors le facteur harmonique de l'espèce donnée.
Supposons que la fonction donnée F(«) soit entière et de degré w, que la fonction f{x) soit entière et de degré n. Nous pourrons comme précédemment déterminer les paramètres de la fonction f{x) de manière à réaliser un accord de degré w + 1 • La courbe intégrale d'ordre n de la fonction y =/{^) P(^) 2t encore n racines xo et n racines X; donc on peut écrire ;
I« ^ (a? — aîo)" {x — X)» ^1^ (a?).
On a donc
f(x) ¥[x) = D» [{X — XqY {X — X)» ^ (â?)]. (5)
110 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE).
La fonction y est de degré w + tt, I» est de degré m + 2n, ^(â?) est une fonction inconnue de degré m. On la déterminera par la condition que le second membre de réquation (5) soit divisible exactement par F (x) et on aura :
Remarquons que la fonction y doit présenter au moins n changements de signe entre â?^ et X ; si la fonction donnée F (x) ne change pas de signe, la fonction f[x) doit présenter n changements de signe; donc Téquation f{x) = Q a n racines inégales entre x^ et X. L accord est alors parfait et les racines des intégrales de y comprises entre x^ et X se disposent comme dans le cas de la parabole harmonique :
Prenons comme application
On demande le facteur harmonique de degré n pour a?o = — 1,X = + 1. Soit Tn ce facteur; la courbe
doit former un accord de degré n + 1 • L'équation y = a déjà a racines a? = — 1 et (3 racines a; = + 1 . A chaque intégration on ajoute une racine â? = — 1 et une racine a? = + 1 ; donc I» = a » + a racines «= — l,et» + |3 racines a? = + 1 . Comme L est de degré 2n + a + (3, il n'y a pas d'autres racines, on a donc
In = N (a? + !)»+« (x — 1)«+^.
On en déduit
(fl. -j- i)« (^ l;/s ^^ ^ ND- ^(^ ^ !)«+« (^ i)n+^].
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). 111
D'où:
ND« [(^ + !)-+« (aï — l)»+iS]
Tu'^
Les polynômes r„ possèdent des propriétés analogues à celles des polynômes de Legendre(^).
§ IV. — Accords de systèmes concentres.
ft06. Systèmes concenÉrés. — Nous avons précédemment (797) cité comme exemple d'accord la courbe des charges qui sollicitent une poutre sur deux appuis (fig. 339) et une poutre encastrée (fig. 340); la charge pourrait comprendre des forces isolées, des couples isolés ; en appliquant le théorème des charges dérivées, nous avons été conduits à examiner des Ayi et des Ay concentrés. Nous allons exposer d'une manière générale les systèmes d'aires concentrées que l'on peut imaginer sur des verticales ; nous étudierons les discontinuités qu'elles engendrent dans les intégrales et les accords que l'on peut former entre des aires continues et concentrées.
Traçons d'abord entre les verticales a? = et a> = 1, une courbe qui détermine une aire Ji; au-delà de l'abscisse 1, l'intégrale première est une constante Ji. Réduisons les dimensions horizontales de l'aire Ji dans le rapport 1 : e de manière à introduire cette aire entre les abscisses aeta'\'^; mais en même temps augmentons les dimensions verticales dans le rapport inverse e à 1 ; l'aire aura toujours la même valeur Ji. Supposons que la quantités décroisse indéfiniment, nous aurons introduit à la limite une aire Ji concentrée sur la verticale (ô = a. Supposons que l'on donne une
(1) Voyez Possé, sur qmlques applications des fractions continues, St-Pétersbourg, 1886.
112 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe).
courbe contitiue y = /(a?), et qu'on ajoute à y les ordonnées de Taire que nous avons introduite entre âJ et âJ + ^î au-delà de Tabscisse â( + e Tintegrale L sera augmentée d'une constante Ji; en passant à la limite, cette augmentation se produit brusquement sur la verticale a? = «. L'intégrale I« présentera un point angulaire, mais néanmoins variera continûment. En effet, reprenons l'aire finie comprise entre l'abscisse et I ; soit Js l'intégrale seconde au point I ; après les réductions d'échelles on trouvera au point â5 + e une intégrale seconde
Cette quantité a pour limite zéro. Il en est de même des intégrales d'ordre supérieur.
Nous pouvons en raisonnant de la même manière introduire on accord concentré de degré quelconque i + 1* Construisons d'abord un accord de cette espèce de l'abscisse à l'abscisse 1. Toutes les intégrales Ji, Js, ... J^ sont nulles pour â? = 1 et au-delà, tandis que l'intégrale J^^^i est constante. Réduisons les dimensions horizontales dans le rapport 1 : e de manière à introduire l'accord entre les verticales â( et ^ + e ; en même temps augmentons les dimensions verticales dans le rapport e*+* à 1 . LMntégrale J,^^.! conservera sa valeur. Supposons que la quantité s converge vers zéro, à la limite nous aurons introduit un accord de degré i-^\ concentré sur la verticale x =^ a ^i l'intégrale constante d'ordre i+ l est toujours J»-4.i. Ajoutons les ordonnées de l'accord compris entre les verticales aeXa-^-t aux ordonnées de la courbe donnée et voyons quelles sont les modifications que les différentes intégrales subiront. En dehors des verticales â^et^-j^e, les intégrales L, Is ... I» ne sont pas modifiées; entre ces limites les courbes intégrales subissent, il est vrai, des évolutions vers Tinfini positif et
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). 113
négatif; mais toutes ces évolutions finissent par se concentrer isur une mémo verticale ; on peut dire que les intégrales Il I2, li ne sont pas modifiées. L'intégrale I«>i au contraire, est augmentée au-delà de la verticale a + e d'une constante Jt-fi ; à la limite, cette augmentation se produit brusquement sur la verticale a. L'intégrale Ii^% ne présente pas de discontinuité; en effet, reprenons l'accord construit de à 1; soit Ji+i l'intégrale d'ordre i -{-2 au point 1 ; après la réduction des échelles on trouve :
Cet accroissement de !«> s a pour limite zéro et il en est de même des intégrales d'ordre supérieur. En résumé, l'influence d'un accord concentré d'ordre i -|- 1 est de produire une augmentation brusque de l'intégrale d'ordre i -f- 1 .
Nous pouvons ainsi introduire un système d'aires non accordées et concentrées sur une même verticale. Construisons d'abord entre les verticales et 1 : 1® une courbe z déterminant une aire Ji» 2° une courbe u déterminant un accord du second degré caractérisé par son intégrale constante Js, S^* une courbe v déterminant un accord du troisième degré caractérisé par sa troisième intégrale constante Jz et ainsi de suite. Introduisons ces courbes entre les verticales aeta + e en leur faisant subir les réductions d'échelles que nous avons expliquées précédemment. Ajoutons toutes les ordonnées en y comprenant l'ordonnée /(a?) de la courbe donnée ; nous trouverons :
En passant à la limite nous introduirons dans les intégrales les discontinuités Ji, Jt, ... J»>i. Remarquons si e est suffisamment petite c'est w qui donne son signe à la valeur de y;
114 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE).
nous supposerons que l'accord w est parfait ; il y aura donc i changements de signe. Par conséquent il y a entre les verticales aeta-^snn système dei + l surfaces dont les signes sont alternés. Â chaque intégration le degré de l'accord m diminue, il y a un changement de signe qui disparaît. Outre les changements de signe qui se produisent entre aeta-^-e^ il peut y avoir aussi des changements de signe sur les verticales aeta + ^siwoet f{a) et wi et f(a) sont de signes diflférents. Toutes les règles que nous avons exposées sur les changements de signe sont évidemment applicables avant de passer à la limite; elles sont encore applicables à la limite si Ton tient compte des changements de signe cachés sur les verticales où les aires sont concentrées.
807. Accord parfait de forces on de surfaces concentrées. — On concentre n surfaces sur des verticales données â^i, â?t ... â?»; on demande de déterminer ces surfaces de manière à former un accord parfait. On peut supposer que les surfaces soient pesantes, les surfaces concentrées deviennent des forces ; le problème proposé est la généralisation du problème de l'équilibre des forces parallèles.
S'il n'y avait que trois forces, il ne pourrait y avoir que deux changements de signe; l'accord serait du second degré. Il faut pour cela que les deux premières intégrales s'annulent; la première est la somme des forces, la seconde est le moment statique ; ces intégrales s'annulent lorsque les trois forces se font équilibre. Dans le cas de 9t forces il peut y avoir n — 1 changements de signe; Taccord sera parfait si les n premières intégrales s'annulent; non seulement les forces se font équilibre, mais le moment d'inertie et les moments d'ordre égal ou plus petit que n — l s'annulent ; le moment d'ordre n est constant, le moment d'ordre n-^l a un centre.
Soient Pi , P« . . . Fn les forces inconnues ; pour une force les intégrales successives sont :
Pi P4(X — a?i) P,(X~a?i)-«... f>i (X — arO'""'-
Les équations de condition sont donc de la forme :
pour A =0, 1, 2, ... w — 2. Ces équations ne déterminent que les rapports des forces; nous déterminerons leurs grandeurs en nous donnant l'intégrale constante I„ ; posons
Nous avons vu que Ton pouvait prendre les moments par rapport à toutes les verticales; prenons X==0 et supprimons les facteurs communs, on trouve :
Pi + Pî + Ps-I HPn =
Piflîi + PiXi -|- Psa?» •■] h P«a?n ==
On peut résoudre ces équations par les déterminants ; tous les déterminants contiennent comme facteurs communs les différences d'abscisse élevées à certaines puissances ; des simplifications considérables se produisent. Nous nous contenterons d'écrire les résultats parce que nous les vérifierons d'une autre manière. Posons ;
/(x) = (a? — Xi) {X — Xi) [X --Xi) . . (a? — Xn).
On trouve
Si comme au numéro 799 nous mettons les équations de l'accord sous forme d une équation unique, nous trouvons :
On retrouve ainsi un théorème d'algèbre. Réciproquement si on démontre i* équation (8), on en déduira la formule (7). C'est cette voie que nous allons suivre; elle nous permettra de déterminer en même temps l'intégrale constante et le centre de Taccord.
Reprenons la formule de décomposition d'une fraction rationnelle (758)
Multiplions par x et désignons par E la partie entière; il vient :
car la partie entière de (a? : « — Xij est 1 . Faisons « = et appelons Eo la valeur de la partie entière dans cette hypothèse; on a :
^FJ^ xF{x) ir(Xi) " f{x)
Si on prend pour F(a?) \ine fonction 0»^« de degré n — 2, la partie entière qui forme le second membre de cette équation n'existe pas ; on a donc :
Il est donc démontré que les forces représentées par les inverses des dérivées f(x,) forment un accord de degré n. Faisons
F (a?) = ar+/^-* ;
on trouve
En divisant â?*^'* par/{â?) on trouve pour partie entière
soit
/*(aj)==a?»-|-p,aj»-«+^2aî""'* ••• +?"•
Les coefScients gty ^s, Çs^ ... sont donnés par les équations suivantes que l'on obtient en exprimant que le produit E/(«) est égal à aT'*''* moins le reste de degré n — 1 ; on a
qt + q^pi + Pî = ?» + ?8jP* + ?«i^*+i^» = ^> etc.
On a alors :
Cette formule nous permettra de trouver l'intégrale constante L; on a :
Puisque cette intégrale est constante, faisons X = ; il vient :
L'intégrale L+i a pour valeur
En faisant X =b 0, on trouve :
„^,(0) = (-l)-?, = (-l)-(-^Î^O. ' Soite; l'abscisse du centre de Taccord; on a aussi
Inf 1 = An ^X C).
118 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE).
Faisons X = 0, nous trouvons :
Or on a jDi = 2 â^, on a donc
Il résulte de là que le centre de l'accord est le centre des moyennes distances des points d'application des forces.
On peut aussi trouver l'équation d'une courbe intégrale quelconque prise au-delà des forces et prolongée au besoin de part et d'autre. On a :
Développons le numérateur par la formule du binôme qui devient en acceptant nos notations
(X — a?,)-''+/*-'* = 2X-* (— a?..)-+/*-« -* ; remplaçons les sommes par leurs valeurs
on trouve :
On retrouve :
et
I„+.=(-l)--*X + (-l)-^,=(-l)— Yx~^)
Le centre de Taccord est :
valeur déjà trouvée.
SOS. Accord parfait de systèmes concentrés. —
On concentre sur la verticale (Vt un système de a surfaces non accordées ; ce système est caractérisé par un accroissement brusque de rintégrale première égal à Pi, un accroissement brusque de l'intégrale seconde égal à Mi, un accroissement brusque de l'intégrale troisième égal à Ni, et ainsi de suite jusqu'à Tj qui est l'accroissement brusque de l'intégrale d'ordre a. On concentre de même sur les verticales â;s, Xzy Xk 9 des systèmes de (3, y ••• et A surfaces caractérisés par les accroissements brusques d'intégrales représentés par Pf, Ps ... M2, Ms ... etc. On demande de déterminer toutes les quantités P, M, N ... T de manière à réaliser un accord parfait.
Le nombre de surfaces est
L'accord parfait sera de degré n ; il faut exprimer que les w — 1 premières intégrales s'annulent.
Pour un système concentré quelconque, les intégrales successives sont données par les formules ;
Ii=Pi
I, = p, (X — Xi) + Ml
U = Pi (X - Xi)' + M^ (X - a?i) + Ni
I„. =Pi (X — a?,)--*+M*(X— a^O'"""' •••+Ti (X— a?i)— ■«. Les équations sont donc
2Pi =
2 [P4 (X .- a?,) + Mi] =
2[P,(X— a?i)—«+Mi(X — a?i)-»-»...-|-Ti(X— a?*)— «-*]=0.
Au lieu de résoudre ces équations, nous suivrons une voie analogue à celle qui nous a conduit au but dans le cas d'un accord de forces. Remarquons qu'introduire « surfaces
concentrées sur la verticale Xi^ c'est introduire a forces dont les points d'application coïncident à la limite. Nous sommes amenés ainsi à considérer le cas qui nous occupe comme le cas particulier d'un accord de n forces ; c'est le cas où il y a a points d'application qui convergent l'un vers l'autre, et où d'autres groupes de p, y ,.. A points subissent une évolution de même genre. Ces considérations nous amènent à poser
/(a?) = (a? - a?i)« (a? — x^y ••• {x — Xk)^
et nous donnent Tespoir de trouver les quantités qui satisfont aux conditions du problème en cherchant comme précédemment
xF{x)
Ei
En appliquant la formule (4) du numéro 759, on trouve en effet
formule où l'on pose :
^ (^^ {X — Xi)<^
^^^ cp(a?) Si par exemple, nous prenons
La partie entière Ëo n'existe pas et l'on a
Mais alors on a
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). 121
En appliquant la règle de Leibnitz pour la dérivation d'un produit, on trouve :
Prenons :
N, = <(— i)-n-«-' otc... )
L'équation (9) devient :
2 [Pi (X — a?,)-»- « -I- M, (X — a?,)— « +...]= 0.
Comme nous aurions pu prendre F(a?) = (X — a?)-* pour i=sOf 1 ,2 ... n — 2, nous avons démontré que les quantités fournies par les équations (10) et leurs analogues pour Xt^ Xz^ ... Xjc satisfont à toutes les conditions de l'accord. En résumé on obtient les éléments de Taccord en prenant les dérivées des quantités analogues à v^ ou
(X — a?i)« (x — Xi)P {x — XhY
en y faisant x = Xi^ «».. ou aj*, et en multipliant ces dérivées par les coefBcients numériques indiqués par les formules (10).
On trouverait les intégrales successives de l'accord en
posant
On trouve encore :
Le centre de l'accord est encore le centre des moyennes
distances des points d'application ; mais il faut supposer qu'il y a a points en â?i, |3 points en Xi et ainsi de suite.
809. Résultantes de divers ordres. — Nous avons dit plus haut que la théorie des accords était la généralisation du problème de l'équilibre des forces parallèles. On peut aussi généraliser la notion de la résultante. La résultante statique ou du premier ordre réalise la même intégrale première et la même intégrale seconde. On peut déterminer un système concentré qui réalise les mêmes intégrales d'ordre 1 à i; on aura un système résultant d'ordre i — 1. Si on prend le système résultant en sens contraire, c'est-à-dire si on change le signe de tous ses éléments et si on l'ajoute au système proposé, on forme un accord d'ordre i + 1 ; la réciproque est vraie. Il est donc facile de résoudre les problèmes nombreux que l'on peut proposer au sujet des résultantes d'ordre supérieur. Nous laisserons ce soin au lecteur parce que nous serions entraînés très-loin si nous voulions épuiser ce sujet.
Bornons-nous à citer une petite application. Dans le cas d'une poutre sur deux appuis, on peut remplacer les charges par leur résultante statique; les réactions des appuis ne sont pas modifiées. S'il sagit d'une poutre prismatique à plusieurs travées, cette composition n'est plus permise car les réactions des appuis dépendent des intégrales troir sième et quatrième. Mais pour chaque travée, on peut remplacer les charges par un système résultant du troisième ordre. La méthode des transformées droites que nous avons préconisée dans notre mémoire, revient à une composition de ce genre; on peut dire que pour chaque travée on remplace les charges par deux systèmes concentrés aux extrémités ; chacun de ces systèmes est de deux aires ; l'ensemble est un système résultant du troisième ordre.
SflO Aeeords dérivés. — Considérons l'une des verticales de concentration comme mobile; soit dxt le déplace-
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). 123
ment de la verticale Xi. Nous obtenons un nouvel accord dont rintégrale constante est toujours L = (— 1)*""*; en prenant la différence, nous trouverons un accord pour lequel L = 0, donc un accord de degré % -|- 1 . On aura aussi pour cet accord différentiel
dl^^, = (— i).«-« /x — ''^'^" ' ^ =(—1)" oLdXi.
Au lieu de prendre la différentielle des éléments de l'accord, prenons la dérivée divisée par a, nous aurons alors un accord dérive pour lequel on aura
Supposons d'abord dans la verticale â?i , une seule aire concentrée et formant avec les autres un accord de degré n — <î + 1 ; nous retrouverons l'accord de degré n par les opérations
^ ou symboliquement D'""*,
La force concentrée en Xi a pour valeur
L'intégrale d'un certain ordre est pour cette force
Âpres toutes les opérations, on trouvera :
On retrouve très-élégamment les formules (10) du numéro 807.
On pourrait se proposer de concentrer sur la verticale a?i p + 0C surfaces, formant un accord de degré jp; cet accord est caractérisé par a discontinuités dans les intégrales Ip,
124 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe).
Ip+i . . . Ip+a-4 ; ^^i^ il n*7 a P^ dôs discontinuités dans les intégrales d'ordre inférieur. On effectuera alors les opérations indiquées par le symbole.
fD-«-* + AD-« + BD-«+' ... + LD-«+^*] [«* (X — XiYf].
On déterminera les coefficients Â, B, ... L de manière à éliminer les puissances supérieures de X — x^y et on obtiendra les éléments de l'accord demandé.
Remarquons que les dérivations des éléments de Taccord sont très simples quand il sagit des verticales immobiles ; P, M, N, deviennent D-«-'P, D-«-"*M, D-«-'N,...
Le centre de ces accords dérivés et combinés entre eux est déterminé par des formules assez compliquées.
