Condition» de première espèce. — On
demande de déterminer l'intégrale d'ordre n d'une fonction ¥[x) ; on donne les valeurs suivantes de cette intégrale et de ses dérivées :
«o yi. yi. y'n •••» yf"*' «•» v,y y\> yis -^y^/"*' j(i)
^*, y*, yi, yi\ ...,yi'<'-*^
Nous allons démontrer que cette intégrale y est donnée par la formule :
Dans cette formule, vp (â?) représente une fonction entière de degré n — 1 satisfaisant aux conditions (I); â?oetX sont respectivement plus petit et plus grand que les valeurs ^> â^i, â^tf ... â?*; 9 est l'intégrale d'ordre n relative à un accord des n-f- 1 surfaces concentrées suivantes: une surface égale à 1 en â?, a surfaces en Xi^^ surfaces en â?t, ... et A surfaces en (C\ .
En effet, nous pouvons mettre l'intégrale inconnue sous la forme suivante :
y = a + J(X — a?) + c(X - a?)-» . .. + /(X — a?)-—* + (— 1)— M (ip — iP)--"F(«)rfj2J.
Le dernier terme est l'intégrale moment prise à partir de â?o et légèrement transformée par Tintroduction du facteur ( — 1)*"*; les autres termes forment une fonction entière qui représente les termes des constantes. Exprimons que
cette intégrale satisfait aux conditions (I), nous aurons des équations de la forme :
— yi = b + C{X — (Ci)
Eliminons les constantes a^ by c, ... l par la méthode des coefficients indéterminés; à cet effets nous ajouterons à réquation qui donne y, les équations de conditions respectivement multipliées par les coefficients P^ M^, N^^ ... T^ P,, M,, N,, Tg etc.. Il vient
y = vKa?) + R. (2)
m = - 2[P*y^ - Miy; + N./; ... ± Tyf-D]. (3)
R = (— !)«-* f (z — a?)—* F(2;)(?2; + (— 1)--* F, ( '{z—xy-'* F(z)dz +
+ (- l)«-*Mi ( '(« — a?)-"~«F(i^)rf« + .. .
Jxq
Les coefficients P, M, N... sont déterminés par les équations de conditions suivantes :
(X — fl?0 + 2[P4(X — a?4) + Ml] = 0.
+ T,(X — fl?4)-"-«'*] = 0.
Comparons ces équations avec les équations dunuméro808; nous voyons qu'elles expriment qu'il y a accord parfait entre une surface concentrée égale à Tunité appliquée sur la verticale oo et des systèmes de a surfaces en x^^ |3 surfaces en â?, ..., A surfaces en Xk*
134 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE),
Rangeons les abscisses par ordre de grandeur et soit x^ x^ x^^ X ... Xjij X cet ordre. Nous décomposerons toutes les intégrales qui figurent dans la valeur de R par la formule :
Ja?v i»a?4 fX^ fX 0Xi
= + + ••"+ • a?4 Jxq JXi Jxt ^ûv-i
En groupant les intégrales prises entre les mêmes limites, nous mettrons la valeur de R sous la forme :
R = R4-pRt-|-R-}*Rs •••-}- Rt+i .
Les termes que nous désignons par Ri sont les intégrales prises de (To à â?i, on a :
Jxq
Remarquons que la quantité qui multiplie F [z) dz est l'intégrale moment de toutes les aires de l'accord; cette intégrale est nulle; on a donc
Les termes que nous désignons par Rt sont les intégrales prises entre Xi et x^ ; nous trouverons :
La quantité qui multiplie F(^) ^2; deviendrait nulle comme tantôt, si on y ajoutait
Pi {z — a?)-*"' + Ml (2? — a?i)»-« -|
On a donc :
Jx^ Or entre Xi et x%y l'ordonnée de la courbe intégrale
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). 135
d'ordre n relative à l'accord a précisément pour valeur 9 = Pi{z — Xi)--* -f M«(« — Xi)'*-* + ...
On a donc
(p.Fz.dz.
Cette transformation s'applique à tous les groupes d'intégrales. On a par exemple :
R,.^ (>I)«-i l 2 [P.(iJ- av)'-*+M,(^ - flj,).«-« 4....] \F{z)dz.
La quantité qui multiplie ¥{z)ék s'annulerait si on ajoutait
♦—1 <j> = (2; — wy^' -}- 2[Pi(^ — a?i) *•-* + Mi(j2; — a?,)-"-» + ...],
9 est l'ordonnée de la courbe intégrale d'ordre n de raccord, entre a?,i et a?,-; on a donc :
(pF{z)dz.
Comme il n'y a pas d'intégrales entre les limites Xj^ et X, on a évidemment
Remarquons qu'en dehors des limites de l'accord Xi et Xk on a 9 = 0, on peut donc aussi écrire :
R, = (l)«f \¥{z)dz.
R*4-i = (—!)"( ^^{^)àz.
Jœie
Il est d'ailleurs plus simple de supposer 3?o = â?s X = Xk
136 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE).
(ou X = x). Réunissons les différentes parties de R, il vient
Nous en déduisons la formule qu'il s'agissait de démontrer : y = ^{x) + (— 1)" \ <p.F(2;) iz.
La fonction (j;(â?)est suffisamment connue; on l'obtient par les formules de Newton ou de Lagrange généralisées ; c'est l'ordonnée d'une parabole que nous savons construire. La courbe 9 est formée d'une suite d'arcs paraboliques ayant entre eux et avec l'axe des 4? des contacts d'ordres connus; on peut déterminer ces paraboles par leurs polygones d'intégration; les conditions des contacts déterminent ces polygones sans qu'il soit nécessaire de déterminer les éléments de l'accord. Si donc la courbe F(^) est donnée, on pourra, par la règle seulement, déterminer par points la courbe cpF («;) et la partie difficile de l'intégrale y sera donnée par une aire que l'on pourra évaluer au planimëtre.
Antre démonstratloii. — Appliquons la formule d'intégration du numéro 800; on a
( lo F(iî) rfiî = (—!)• f \n^-{%)iz. (4)
Nous avons remplacé la fonction /(a?) par I^. Supposons que les \d^ se réduisent aux aires concentrées prévues dans l'énoncé du théorème et calculons le premier membre de réquation (4). On a constamment \ = 0, sauf sur les verticales de concentration. On a, par exemple :
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). 137
En posant ^ = aî< — g -|- fc, il vient
p lo F (z) dz={' (7 + -V- +|)f[^« -a -t)e]edt.
Développons la fonction F par la formule de Taylor; faisons converger s vers zéro; remarquons que Ton a
[udt^Fi, \vdt=-0, \n>dt = 0, h JO h
[ {l-^fjvdt^Ut, { {l --- 1) fodt = 0.
•'0 On en déduit
lim f ' l,dx = P,yi — M,y;+N,y; • .. ± T,y, <«-*>.
JcPt — e
En suivant le même raisonnement pour les autres surfaces concentrées, on trouve
L'équation (4) devient donc
y = +(«) + (— 1)" ( In F«(2;) dz.
C'est l'équation qu'il fallait démontrer.
On a aussi
pour i plus petit que n.
138 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE).
816. Umltes de rintén^rale. — La fonction 9 est l'intégrale d'ordre n d'un accord parfait; donc la fonction 9 ne change pas de signe. Si la fonction F (2;) est incomplètement connue^ mais si on sait que F(^) est constamment compris entre deux limites Fi (;2p) et F8(^), on obtiendra deux limites de R par l'évaluation de deux aires
(— 1)-( (pFi(z)iz et (— 1)M (fFi(z)dz.
Si nous remplaçons F{z) par une valeur convenable F(â(), a étant choisi entre Xq et X, on pourra obtenir la valeur exacte de R ; on a donc
R = (~.l)»F(a)l cpdz.
Cette valeur de R peut se mettre sous une autre forme ; on l'obtient en supposant F(^) ^ F(a); mais alors R est une fonction entière de degré n de la forme :
R==A/(a?), /(a?) = (a? — a?,)«(a? — a?î)^ ... (a — ak)\
Déterminons le coefScient  par la condition que la dérivée d'ordre ?» de R est F {a); on trouve :
On peut aussi obtenir cette formule par la théorie des accords. Nous avons trouvé que l'intégrale L d'un accord de n surfaces concentrées avait pour valeur ( — 1)'*~* ; dans le cas d'un accord de n -f- 1 surfaces, on a donc
Cette formule suppose certaines valeurs particulières des éléments de l'accord. Cherchons par la règle générale (807, 808) la valeur de l'aire concentrée sur la verticale a?;
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). 139
la fonction auxiliaire que nous avons désignée par f{x) devient ici :
fi {z) = (2; — a?) (« — XiY {z — x%y ...{z — xjcf = {z — x)f{z).
Nous prenons z comme variable parce que x est une des abscisses données ; nous introduisons le facteur (z — x) pour la même raison. En appliquant la formule (7) du numéro 807 ou la première des formules (10) du numéro 808, nous trouverons pour Taire concentrée sur la verticale x :
Pour ramener la force P à l'unité, il faut multiplier toutes les ordonnées par/(â;) et alors on a
La valeur de R devient :
1 «^.O «..ft
817. Conditions de deuxième espèce. — On demande de déterminer l'intégrale d'ordre n d'une fonction F(a?); on donne comme précédemment des valeurs de cette intégrale et de ses dérivées ; cependant pour une certaine valeur Xi^ on donne au lieu de
Vi y'i
yf-''
les valeurs suivantes
Vi »
., yr"-
Nous allons démontrer que cette intégrale est donnée par la formule
y == ^j; (a?) + (— 1)« l (pF (z) dz. Dans cette formule, ^{x) représente une fonction entière
140 INTÉGRATION GRAiPHIQUE (APPENDICE).
de degré(n — 1), satisfaisant aux conditions do la fonction y ; a>Q et X comprennent entre elles les valeurs â?, Xi x^ ^^ Xk\ a est rintégrale d'ordre n relative à un accord de degré n-|-l; cet accord est formé de n-\-p-\-l surfaces f savoir : une surface égale à l'unité sur la verticale x^ a surfaces sur la verticale Xi, |3 surfaces sur la verticale x^, et ainsi de suite sauf pour la verticale Xi où Ton concentrera ji? + à surfaces formant un accord de degré p.
Cette formule se démontre comme celle du numéro 814 sauf quelques petites modifications que nous allons faire connaître. On établira toutes les conditions du problème et on éliminera les constantes par la méthode des coefficients indéterminés. Pour la valeur Xi on exprimera y» y^ ••• y»p+<y~* et on multipliera par des coefficients indéterminés; mais les valeurs y»-, yî ••• y/'*^** ne peuvent pas figurer dans la formule; les p premiers coefficients sont donc nuls. On doit donc introduire sur la verticale Xi le même nombre de surfaces que si Ton donnait y,, yî ••• y^^"''^"*, mais \eap premières intégrales de ce système concentré doivent être égales à zéro. C'est précisément ce qu*il fallait démontrer. La seconde démonstration ne subit aucune modification.
818. lilmltes de rintégrale. — La fonction 9 est l'ordonnée de la courbe intégrale d'ordre n d'un accord de degré w+ 1; mais cet accord est imparfait car il con tient j» surfaces surabondantes. En effet, on introduit sur la verticale Xi , p+à surfaces ; le nombre total de surfaces peut être
égal à 1 +<^ + P + y 4-J^ + <î ••• +^ ou n+p + l. Il résulte de là que la fonction 9 peut changer de signe. On ne trouvera plus d*une manière certaine les limites de l'intégrale en remplaçant la fonction F (x) par sa plus grande et sa plus petite valeur ; nous aurons deux cas à distinguer.
V d est un nombre pair. Considérons d'abord la courbe intégrale d'ordre j» relative à Taccord ; nous savons que cette courbe limite des aires qui forment un accord de degré n —p; nous allons démontrer que si ^ est pair, cet accord est
parfait. En effet, si noas faisons abstraction des surfaces concentrées sur la verticale oBiy nous avons dans l'accord primitif n +p -j-1 — (jd-j-5)ou% + 1 — d surfaces ; il y a au maximum n — $ changements de signe. Dans l'intégrale Ip, il n'en reste au plus que n — p — i. Si nous introduisons les aires concentrées dans la verticale Xi qui sont au nombre de p -^d — p ou d^ nous ne pourrons introduire que S changements de signe nouveaux, savoir : d — l entre les verticales spi et Wi -f- e, et un changement de signe à Tune des extrémités. Il n*y a de changement de signe qu'à Tune des extrémités parce que, si $ est pair, les surfaces extrêmes sont de signes différents, et Tune de ces surfaces sera de même signe que Ip. Le nombre de changements de signe de I,, y compris les surfaces concentrées en Xi^ est donc au plus de n — p — J + 3 ou » — p. Donc l'accord déterminé par Ip est parfait. Il résulte de là que In ou 9 ne change pas de signe.
On peut donc, dans le cas ou d est pair, remplacer F(cEi) par ses limites pour obtenir les limites de y et appliquer la
formule ;
y(«) désignant une fonction entière a:*'-}-P* ^*~*'-- satisfaisant à toutes les conditions de la fonction R ou y — >I*(a?)(l). 2« d est un riombre impair. — Reproduisons le raisonnement précédent, mais remarquons que si à est impair on peut introduire ^ + 1 changements de signe nouveaux dans Ip lorsqu'on ajoute les surfaces concentrées en a?». Le nombre de changements de signe de Ip peut être de n — jp -|- 1 ; il peut rester un changement de signe dans I*». La fonction 9 peut donc changer de signe pour une certaine valeur ^ ^^ b et alors la détermination des limites de l'intégrale doit se
(1) On peut démontrer cette proposition par la formule de M. Hermite convenablement généralisée.
142 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE).
faire tout autrement que dans les cas précédents. On obtiendra une limite supérieure en remplaçant F(^) par sa plus grande valeur, là où (-- 1)"9 est positif et par sa plus petite valeur là où ( — 1)"9 est négatif; on trouve les deux limites suivantes de R, si F(^) est plus petit que F^(z) et plus grand que F,(^).
Si par exemple on sait que F(^) est compris entre deux valeurs constantes M et m, ces deux limites peuvent s'écrire après une petite tranformation
Il faut déterminer b dans chaque cas particulier. On peut aussi trouver d*une autre manière les limites de R. On a identiquement
F<.)P,.) + MZI|<S,..).
La valeur de R devient :
Mais Texpression 9. (z — b) ne change plus de signe ; on a donc :
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). 143
On peut traduire cette formule en langage ordinaire en disant que l'on obtient la valeur exacte F(ai) en remplaçant la courbe F\z) par une droite passant par le point F(î) et un point F(a) convenablement déterminé.
L'intégrale qui subsiste dans la formule précédente est égale et de signe contraire au moment statique de l'aire limitée par la courbe 9, Taxe des moments étant pris en b; on a donc
c est l'abscisse du centre de gravité de l'aire ; c'est aussi le centre de l'accord. Remplaçons dans la valeur de R l'intégrale par sa valeur, il vient :
Cette formule s'interprète facilement; représentons la fonction F(^) par une courbe ; joignons le point F(^) à un certain point F(a) ; la corde ainsi tracée et prolongée détermine sur la verticale centrale de l'accord une ordonnée N qui est la représentation de la parenthèse; on a
Cette ordonnée N est l'ordonnée constante qu'il faut substituer aux ordonnées variables F(^) pour ne pas changer R; la corde qui passe par les points F(b) et FÇà) est comprise entre deux limites faciles à déterminer, et l'on obtiendra ainsi une limite supérieure et une limite inférieure de N.
Nous venons de supposer que l'on détermine la verticale centrale de l'accord; on peut éviter cette recherche de la manière suivante. L'expression
est la valeur de R pour le cas particulier où F(z)={z — b); or dans ce cas la valeur de R est une fonction entière de x de degré n + 1 satisfaisant au conditions ordinaires de la fonction R et aux deux conditions
R<«>(J)fa=0, R<-+*> = 1.
Cette fonction entière se déterminera comme la fonction /(») et sera de la forme :
