l' On aura alors
Les fonctions /(a?) et/i (») sont de la forme :
/ (x) =^{x — a?0« (w — Xt)P ... (a? — XkY [a?« -|- Aa?«-« .. •], fi{w) = (ûj — a?i)« {x — Xi)P'" {x — XkY [«?«+* 4- ^i^ H — ]•
Les coefScients indéterminés A, B, Ai, Bi etc. se déterminent par les conditions :
SIO. CoDdUloD» de troisième espèee. — On
demande de déterminer Tintégrale d'ordre n d'une fonction F (x); cette intégrale doit satisfaire an — n' conditions de première et de seconde espèce. On donne en outre n' conditions nouvelles de la forme suivante. On intègre n' fois la fonction y et on donne 2n' conditions de cette intégrale Y. L'intégrale Y est alors une intégrale d'ordre «-]-«' de la fonction F (a?); on donne n-^-n' conditions de cette intégrale, on aura donc :
'Xq
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). 146
En prenant la dérivée d'ordre n\ on trouve :
La fonction ij/<"'^(0) est une fonction entière de degré n — 1 ; elle correspond au cas où F {%) est identiquement nulle. La fonction 9 est l'intégrale relative à uii accord de degré 7t + n' + 1 ; il est facile de voir que D*'(p est aussi l'intégrale d'un accord de même ordre mais dérivé du précédent.
Nous obtenons <p en concentrant une aire égale à l'unité sur la verticale x\ l'intégrale quelconque de cette aire est
En prenant la dérivée d'ordre n' par rapport à â?, on a
C'est l'intégrale d'ordre p + 1 d'un système de »' + 1 surfaces formant un accord d'ordre w' -)- 1 et dont l'intégrale constante (ou d'ordre n') est égale à ( - 1)"'. Nous commencerons par déterminer l'accord en supposant que l'intégrale constante soit 1 ; soit u l'ordonnée de la courbe intégrale d'ordre n-^-in! de cet accord, nous prendrons
Il Tient alors
Comme dans les problèmes précédents, on peut déterminer par des constructions linéaires la courbe ^"'(â?), la courbe Uy le produit uP{z) et l'intégrale par le planimètre ou une quadrature approchée, graphique ou analytique.
§90. Umlles de l'iDlé^rale. — Le cas le plus simple est celui où les conditions de la fonction Y sont de première espèce. L'accord dont 9 est l'intégrale est un accord parfait ;
146 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE).
, mais il n'en est pas de même de celui dont u est l'intégrale. Ce dernier est un accord de degré n + n' -|- 1 , mais il contient autant de surfaces qu'il 7 a de conditions, soit n + n\ plus les »' 4" 1 surfaces de l'accord concentré en a?. Il 7 a donc n' surfaces surabondantes. Mais en raisonnant comme au numéro 818, nous allons démontrer que la fonction u ne peut conserver qu'un changement de signe. Faisons d'abord abstraction de l'accord concentré en x; avant toute intégration, il 7 a n + n' surfaces et au maximum n + n^ — 1 changements de signe; ce nombre sera réduit an — 1 dans l'intégrale d'ordre n' de l'accord. Introduisons l'accord concentré dans l'intégrale d'ordre n'; c'est une aire concentrée ; donc nous introduirons deux changements de signe nouveaux; cela porte le nombre de changements de signe à n + 1 • Il fftut encore intégrer n fois ; il restera au plus un changement de signe. Déterminons dans chaque cas particulier la valeur z^^b uù le changement de signe de u se produit. S'il n'existe pas, on raisonne comme au numéro 816; s'il existe on raisonne comme au numéro 818, 2».
Mais il peut se présenter des cas plus compliqués. Les conditions de la fonction Y peuvent être en partie de seconde espèce. Il peut 7 avoir un nombre plus ou moins considérable de changements de signe de la fonction u. Supposons pour fixer les idées, qu'il 7 ait trois changements de signe pour les valeurs b, b\ b" de z. Nous pouvons toujours considérer F (z) comme l'ordonnée d'une parabole variable du troisième degré passant par les points F (V), F (b')y F (i") et F {z) ; cette parabole se décompose en deux paraboles partielles; une parabole du second degré passant par les points F (*), F (J'), F (*") dont l'ordonnée est V; une parabole du troisième degré passant par les points (0, i), (0, i')» iP^ *") ®* ^^^^ l'ordonnée est
W est une fonction de z qui s'exprime au moyen de Fi?» F(J), F(J'), F(J") en posant :
On a alors
R = (— l)«f ttVrf« + (— 1)«C tt(^— ^)(«— J')(i?-.J")Wrff.
Mais la fonction u{z — h) {z — b') (z — b") ne change plus de signe ; donc on obtiendra exactement la valeur de R en remplaçant W{z) par W(«), si a est une valeur intermédiaire convenablement choisie. Cela revient à remplacer F {z) par
Cette expression est l'ordonnée d'une parabole du troisième degré passant par les points F(i), F(i'), F(J") et un certain point F(a). De là résulte le théorème suivant : on obtient l'intégrale exacte, en remplaçant la courbe F(z) par une parabole qui coupe cette courbe sur les verticales où la fonction u change de signe et sur une verticale intermédiaire a^ qu'il faut déterminer convenablement; le degré de la parabole est égal au nombre de changements de signe de la fonction u,
La parabole peut se déterminer par la formule de Newton ; on a :
U = A+B (z-b)+C {z - b){z - *')+D {Z'-^b) {z -J')(^— «"). On en déduira une valeur de la forme
Le coefficient  est égal à F(^); les autres s'expriment par des différences; le coefficient D est imparfaitement connu
pai*ce qu'il contient F(a); on trouvera les limites supérieures et inférieures de l'intégrale en déterminant graphiquement ou par calcul les limites de D. Les tondions f{x), f*(jt\ /i(â?), f^fj») sont des fonctions entières dont les termes de degré le plus élevé sont respectivement «", «*+•, ir+', 0?"+'; elles satisfont à toutes les conditions de la fonction R et à d'autres conditions
on peut les déterminer par l'algèbre. Les valeurs de b^ b\ i" sont des racines d'équations algébriques; elles dépendent de la valeur x.
Stl, Réclproellé de» Intég^rale» d^alres comceotrée». — Nous venons de voir que dans tous les cas, l'intégrale d'ordre n qui satisfait aux conditions de la fonction R est donnée par
Supposons que la fonction F(z) s'annule pour toutes les valeurs de <;, sauf entre z et z -\~ s^ et que l'on ait
F(z)dz=\ F(z)dz = l.
La formule donnera si 6 tend vers zéro,
Mais alors la fonction R peut se trouver directement; c'est l'intégrale d'ordre n d'une aire concentrée en 0, cette intégrale satisfaisant aux conditions connues de la fonction R; on trouvera
R = cpi (a?).
On en déduit
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe). I49
De là résulte une propriété curieuse des deux intégrales 9 et 91. La courbe cp s'obtient en concentrant une aire égale à l'unité sur la verticale x (ou un système d'aires si les conditions sont de troisième espèce), et en prenant l'intégrale d'ordre n d'un accord suffisamment connu; on en déduit (p(z). Faisons l'inverse; plaçons une aire concentrée égale à 1 dans la verticale Zj et traçons l'intégrale d'ordre n satisfaisant aux conditions bien connues de la fonction R. On retrouve dans la section co la même ordonnée, au signe près, que nous avions trouvée tantôt dans la section ij. Cette loi de réciprocité permet de découvrir des propriétés curieuses de la flexion des poutres droites.
