wî 2m
On obtient aussi la valeur exacte de e en faisant l'une ou l'autre des hypothèses suivantes :
ou
Gela résulte de ce que 9 change de signe sur la verticale 0, tandis que 91 ne change pas de signe. On a donc
On trouve de même que si on prend le développemen t jusqu'au terme en F*,~*(o), il faut le compléter par un reste donné par l'une ou l'autre des formules
^ FV(fl) ^A*^ F*^^^(a^ 2A»'+* 1.2.3...2ê 2i 4-1 ""/Il .2.3... 2» 2f+l*
Les valeurs de a ne sont pas les mêmes, ni dans ces formules, ni dans les précédentes; mais cela est si évident que nous avons supprimé les accents et nous le ferons toujours dans la suite.
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe). 169
2» Trapèze. On donne (fig. 343) les ordonnées extrêmes de Tare; la parabole d'interpolation se réduit à la droite MN; on prend comme valeur approchée de l'aire, la surface du trapèze MN^^. L'erreur commise est donnée par la formule
6 =3 (— 1)» V 9 F" {z) dz.
L'accord est représenté (fig. b) ; l'intégrale première est la droite AB ; l'intégrale seconde est la parabole CDE; 9 est Tordonnée de cette parabole.
Remarquons que la surface CDE est précisément le double de la surface EFG que nous avons obtenue (fig. 342, d) dans le cas du rectangle. Si F''(^) est constant^ le trapèze donne une erreur deux fois plus grande que celle du rectangle ; si F"(^) est une courbe régulière ce rapport est peu altéré. Gela provient de ce que, dans la méthode du rectangle, nous avons choisi une ordonnée au milieu de l'intervalle des ordonnées extrêmes.
Nous calculerons le développement de l'erreur par la formule (4) ; on trouve :
e = ÇF"(o) + |p"(o) + ...
Gomme la fonction 9 ne change pas de signe, on a :
170 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe).
Si on prend le développement jusqu'au terme qui contient F*-^ (o), on ajoute un reste
Gela provient de ce que la valeur de R est donnée par l'intégrale
R = (-.l)«l lu^i¥^*'*{z)dz.
La fonction l2,i s'obtient en intégrant 9 ^^ I« et en introduisant des discontinuités çur la verticale ; la symétrie se conserve toujours dans ces intégrales; la»- 1 est une fonction impaire qui change de signe sur la verticale ; donc on doit faire l'hypothèse :
On a aussi
R = (— 1)«+* l lu F»* {z) dz.
La fonction l2« ne change pas désigne; donc on fait
l'hypothèse :
3^ Formule de Simpson. On donne (fig. 344) les ordonnées extrêmes et une ordonnée au milieu de l'intervalle ; la parabole d'interpolation est du second degré; on prend comme valeur approchée ^,
L'erreur est donnée par la formule
6 = (— 1)*( 9F"(^)rf2J = (— l)«f (piF''')dz.
L'accord est représenté (fig. b)\ les diverses intégrales
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe). 171
de raccord sont représentées (ûg. c, d, ^, /); la fonction 9 est l'ordonnée de la courbe ABCD; la fonction ?i est Tordonnée de la courbe EFG.
On obtient le développement de l'erreur par la formule (4) ; on trouve successivement :
La fonction 9 change de signe sur la verticale 0; la fonction 91 ne change pas de signe ; on obtient donc la valeur exacte de Terreur en faisant Tune ou l'autre des hypothèses
On trouve
Si on prend le développement de Terreur jusqu'au terme qui contient F'*~' (0), le reste s'exprime par
4^ Parabole du troisième degré. On donne (fig. 345) les ordonnées extrêmes et deux ordonnées intermédiaires; ces quatre ordonnées sont également espacées. La parabole
172 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICB).
d'interpolation est du troisième degré; on prend comme valeur approchée de Taire (21)
^ « -■ I 3a . Sh ^ , h ^ M + -N+-P + -Q.
L'erreur est donnée par la formule
e = (—1)» l (p, F'» iz.
L'accord est représenté (flg. b); ses diverses intégrales sont représentées (fig. c, d, e, f). Nous avons vu que Taccord présente n — 2 «= 2 changements de signe surabondants ; on trouve en effet, 6 changements de signe pour un accord du cinquième degré. Mais à la seconde intégration, on obtient la courbe ABCDE; on trouve par l'analyse que le pomt G est sur Taxe des x\ les deux changements de signe surabondants ont donc disparu et la fonction 9 ne change pas de signe ; elle est représentée par la courbe GHK
Le développement de Terreur s'obtient par la formule (4); on trouve successivement
Remarquons que pour former la partie entière que nous représentons par E, on peut ajouter au numérateur des fonctions entières de degré moindre que le degré du dénominateur; on introduit ces quantités de manière à rendre la division possible. Nous avons introduit — A^^'pour pou-
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe). ns
voir diviser par a?* -- A"; l'autre terme a été introduit pour que =h - devienne racine du numérateur.
On a ensuite
et après quelques calculs
'2 1.2.3.. .2i L 2ê+1^2V S'^VJ
On trouve le reste du développement en remplaçant
F*»(o) par F'*(a) ou - F**-* [a).
On peut aussi assimiler la courbe a une parabole du troisième degré, lorsqu'on connaît les extrémités de l'arc et les tangentes extrêmes. On a toujours
On voit facilement que l'accord est précisément l'état de sollicitation d'une poutre droite prismatique encastrée à ses extrémités, supportant une charge uniforme égale à l'unité \ 9 est l'ordonnée de la courbe élastique ; on a (804)
On en déduit
5" Parabole au quatrième degré. — On donne (fig. 346) les ordonnées extrêmes et trois ordonnées intermédiaires; toutes ces ordonnées sont également espacées. On rem-
174 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE).
plaee la courbe par une parabole du quatrième degré; on trouve comme valeur approchée de Taire
L'erreur est donnée par la formule
L'accord est représenté (fig b) et ses intégrales successives (flg. c, dy e, /, ffj A). L'accord présente n — 2 = 3 changements de signe surabondants; mais à la seconde intégration, deux changements de signe surabondants disparaissent ; on le reconnaît en calculant l*(d) ; on trouve
La fonction (p présente donc un seul changement de signe; c'est une fonction impaire, ce changement de signe est au milieu de l'intervalle. La fonction 91 ne change pas de signe.
On obtient le développement de l'erreur par la formule (4); on trouve successivement :
f{x) = x («• — A«) ix'^ -^ ^)
$:/<.)v^-[-sfi+i('-.-)]--
On obtient exactement la valeur de l'erreur par l'une ou l'autre des hypothèses suivantes
On trouve
On trouve de même la valeur du reste qui complète le développement limité à un terme quelconque.
6<» Parabole du cinquième degré. On donne 6 ordonnées équidistantes ; deux sont à l'extrémité de l'arc; on remplace la courbe par une parabole du cinquième degré. L'erreur est donnée par la formule
Montrons, par cet exemple, comment on exprime la fonction 9 par Tanalyse. Les forces de l'accord sont les coefScients de la formule de quadrature ; ce sont les aires des paraboles partielles pour des ordonnées égales à l'unité. On a (826) pour l'une des forces
Posons
Le nombre d'ordonnées est supposé pair; il y a symétrie ; on trouve
zNjo
Si le nombre d*ordonnées était pair, on appliquerait la même formule, mais en comptant l'ordonnée milieu pour deux, de manière que f(x) et 5f(a?) soient toujours des fonctions paires.
Connaissant les forces de l'accord on trouve aisément la fonction 9. Si nous prenons l'origine des z au point a?o,
on trouve ici • ^144
On prend les deux premiers termes pour le premier
, 2 intervalle de à ^ A ; on ajoute chaque fois un terme
quand on rencontre une ordonnée. La courbe ? est symétrique; il suffit d'avoir l'équation d'une moitié de la courbe. Si on prend les deux premiers termes, on trouve une racine
Cette racine ne convient pas; elle est en dehors de
l'intervalle. On reconnaît que par suite de l'influence des
autres termes, la fonction 9 ne change pas de signe.
On peut donc faire l'hypothèse ¥'"{z) = ¥''\a)\ on a
alors à cause du développement
7** Paraboles diverses. — Dans les exemples qui précèdent nous avons trouvé les deux formes suivantes du reste
¥Ha)
si n est le nombre d'ordonnées; la première forme s'applique au cas où n est pair, la seconde au cas où n est
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). 177
impair. Il faudrait bien se garder de supposer qu'il en est toujours ainsi. II serait facile de modifier les espacements des ordonnées de telle façon que les n ou n — 2 changements de signe surabondants subsistent dans la fonction 9, même pour les paraboles de degré inférieur. Tout porte à croire que si nous avions considéré des paraboles de degré plus élevé, tout en prenant des ordonnées équidistantes, nous aurions trouvé qu'un certain nombre de changements de signes persistent dans la dernière intégrale de l'accord et qu'il y a lieu d'appliquer la méthode du numéro 820.
Remarquons enfin que l'on a aussi
e = (— 1)* f IiF' {z) dz^{--iyi I«F" (a;) dn^, etc.
On pourrait trouver diverses formes de l'erreur; mais il faut remarquer que les dérivées d'ordre inférieur à n ne sont pas indépendantes des ordonnées connues de la courbe F(x).
8* Comparaison. On connaît n ordonnées de la courbe F{co); on peut remplacer la courbe par une parabole unique ou bien décomposer Tare en parties et remplacer la courbe par une suite d arcs paraboliques ou même par un polygone inscrit. Quel est le procédé qui donne le plus d exactitude?
Si les dérivées successives de la fonction F(x) ne prennent pas des valeurs exagérées et si on applique les formules précédentes en calculant les diverses valeurs de A, on trouve que Terreur décroit très-rapidement lorsqu'on adopte des paraboles de degré de plus en plus élevé. Si donc la courbe est analytique et si les dérivées varient régulièrement^ il y a une probabilité très-grande d'avoir le minimum de l'erreur en prenant une parabole unique.
On arrive aux mêmes conséquences en utilisant les intégrales des accords. Mettons toutes les erreurs sous la forme
Si on emploie la méthode des trapèzes, la courbe I« se compose d'arcs paraboliques identiques à Tare CDE (fig. 343, d)\ il faut tracer un arc de cette forme pour chaque intervalle. Si on applique l'interpolation parabolique, on trouve pour I, des courbes analogues à celles qui sont représentées (fig. 344, 345, 346, fig. d); ce sont toujours des arcs paraboliques du second degré; la dérivée seconde est toujours égale à — 1 ; mais ces arcs déterminent des accords de degré de plus en plus élevé. Si la courbe F^\z) est plus ou moins régulière, il se produira des compensations dans les I^ F"(^) dz; ces compensations sont peu probables dans la méthode des trapèzes. Supposons par exemple qu'il y ait cinq ordonnées et que la courbe F"(i?) s'approche grossièrement d'une parabole du second degré; soit
F"(2) =^fnz* + nz + q + R (z).
Si on remplace la courbe F(z) par une parabole du quatrième degré, l'erreur devient
e = (— 1)M hR(z)iz.
Il en serait de même si la courbe F"(^) s'approchait d'une parabole du troisième degré. Il est évident d'après cela que Terreur sera généralement beaucoup plus petite que si on avait employé la méthode des trapèzes. Il faut remarquer cependant que si ces conclusions sont très probables, elles ne sont pas absolument vraies. Si la courbe F'' (z) changeait de signe quatre fois et précisément aux mêmes points que la fonction I» (fig. 346, d), l'erreur e deviendrait très grande en utilisant la parabole du quatrième degré. Si on applique la méthode des trapèzes, I, ne change pas de signe ; il peut se faire qu'il y ait des compensations dans les I, F'' (z) dz; mais c'est là une hypothèse peu probable. Il est presque certain que si la courbe F {z) présentait toutes ces inflexions, l'opéi^âteur s'en apercevrait et cher-
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). I79
obérait la solution du problème, dans une assimilation plus rationnelle. On raisonnerait de même s'il s'agissait de comparer la niétbode de Simpson aux paraboles de degré supérieur; on utiliserait
= (- ly J
IsF'" (0) dz.
Il y a des cas où l'assimilation à une parabole doit être rejetée; si la courbe présente des rebroussements, des éléments verticaux, une asymptote, etc., on doit opérer comme nous l'indiquerons plus loin.
S'il s'agit d'une courbe vulgaire ou d'une courbe analytique dont les ordonnées sont entachées de certaines erreurs, il est inutile et même dangereux d'employer des paraboles de degré élevé. On peut alors afSrmer avec une certitude presque absolue que la courbe présente des discontinuités cachées dans les dérivées supérieures ; car s'il n'y en avait pas, la fonction serait développable par la formule de Taylor et connaissant un arc infiniment petit de la courbe, on devrait pouvoir en déduire toute la courbe ou à peu près. Ainsi une courbe vulgaire peut être bien raccordée et présenter cependant de faibles discontinuités dans la dérivée seconde ; les discontinuités de la dérivée troisième sont impossibles à constater et à plus forte raison les discontinuités des autres dérivées. Or dans ce cas, il est impossible de représenter par des courbes les dérivées supérieures de la fonction, et il ne reste plus rien de la comparaison précédente. Il faut se borner à prendre des paraboles du second degré, ou du troisième s'il y a une inflexion constatée dans la courbe.
§ 2. — Limites absolues de l'erreur.
831. Principe. — Il est impossible d'assigner une limite certaine à l'erreur commise par une quadrature approchée, si on n'apporté pas quelque restriction à la variation de
Tune ou Tautre dérivée. S'il y a au contraire une pareille restriction, on peut calculer la plus grande et la plus petite de toutes les surfaces que l'on peut obtenir ; soient M et ^ ces deux limites, en prenant comme valeur approchée de Taire
l'erreur est certainement plus petite que
Nous n'approuvons pas beaucoup cette manière de raisonner; les limites M et ^ s*obtiennent en faisant des hypothèses extravagantes; on diminue l'erreur que Ton commettrait dans des cas tout-à-fait improbables pour augmenter presque toujours Terreur réelle. Néanmoins le calcul des limites M et ;;^ peut être utile et il donne lieu à quelques problèmes intéressants.
Généralement on se borne à calculer une surface trop grande ou très petite, sans examiner si ces valeurs extrêmes sont possibles; nous croyons que ce qu'il faut chercher, ce sont les limites de la surface dans le sens mathématique du mot.
83!l. Dérivée qui ne change pas de aigne. — Si dans chaque intervalle compris entre deux ordonnées, la dérivée première ne change pas de signe, on obtiendra les deux limites en remplaçant la courbe par deux lignes à gradins dont les sommets sont les points donnés. La moyenne des deux limites s'obtient en employant la méthode des trapèzes.
S38. DérÎTée seconde qui ne change paa de aIgne. — Supposons pour fixer les idées que la dérivée seconde soit négative; la courbe est convexe vers le haut. On obtient la limite inférieure de Taire en menant le polygone inscrit dans la courbe ; cela revient à employer la méthode des trapèzes. On obtiendra la limite supérieure en menant un
INTÉGRATION GRAPHIQUE (apPENDIGe). 181
polygone convexe vers le haut, dont les côtes passent par les points connus de la courbe, ce polygone étant tracé de manière à obtenir le maximum de surface. Il est évident, en effet, que toute courbe passant par les points donnés, limite une aire plus petite que celle que Ton obtient par le polygone circonscrit à la courbe; cette dernière surface est plus petite ou égale à sa valeur maxima; d'autre part, on obtient ainsi une véritable limite, car il serait possible d'imaginer une courbe continue se rapprochant aussi près que l'on veut du polygone de plus grande surface.
Soit (fig, 347) CD' un côté du polygone circonscrit; faisons tourner ce côté autour du point D; on démontre facilement que la surface du triangle CTD' passe par un minimum, lorsque CD = DD' ; on obtient donc le polygone de plus grande surface en faisant pivoter tous les côtés jusqu'au moment où la condition précédente est satisfaite partout; on aura cependant égard à la condition que le polygone doit rester convexe vers le haut. Nous allons donner quelques exemples :
!<» Soit (flg. 347) ABCDEFGH le polygone inscrit; il s'agit d'y circonscrire un polygone de surface maxima. Au point A, nous prendrons AA' comme premier côté; menons par B, un second côté; si, comme cela se présente sur la âgure, le premier intervalle ai est égal ou plus grand que le second intervalle bc, on fera tourner le second côté jusqu'au moment où il coïncidera avec BC, et on sera forcé d'arrêter la rotation en ce moment. Pour la même raison, on prendra à l'autre extrémité les côtés HH' et H'GF. Il s'agit alors de mener le polygone CD'G' de manière à réaliser les conditions CD = DD', D'E = EG'. Pour y arriver, projetons les polygones sur une droite Gf au moyen de lignes projetantes parallèles à la droite A'C; toutes les projections sont connues à cause des conditions cd = dd\ d'e^^ee^ On mène alors les lignes projetantes; on trouve le point E' et on trace le polygone.
Lorsque Ton opère graphiquement, on est amené à tracer comme lignes intégrales relatives aux deux limites^ deux polygones à côtés parallèles.
2° Nous avons en même temps résolu le problème suivant : on donne les points C,D,E,F de la courbe et les limites CC' et FF' que les tangentes extrêmes ne peuvent dépasser ; on demande la limite supérieure de la surface CDF fc. Cette limite est CC'D'E'F A-
30 Dans la figure 348, le premier intervalle ah est plus petit que le second. On porte ab = 55', 5'c = ce', c'd = dd^; supposons que d^e soit plus petit que ef. Si on menait un côté D'F", on serait amené à le faire tourner jusqu'au moment où il coïnciderait avec DE; on obtient donc en A'B'C'F' le polygone de surface maxima; on le construit en partant du point C'.
4"^ Supposons dans la figure 348 que l'ordonnée extrême au lieu d'être en F/, vienne en Gg de telle façon que d'e = eg. Alors on peut partir d'un point A' pris arbitrairement dans une certaine mesure; on obtient immédiatement un polygone qui réalise toutes les conditions du maximum de surface. On peut tracer une infinité de ces polygones, mais on voit facilement qu'ils donnent tous une même surface. Si nous reprenons la méthode de Poncelet (44), nous voyons que les espacements des ordonnées sont précisément choisis de manière à se trouver dans ce cas. Généralement on explique la méthode de Poncelet en menant des tangentes à la courbe inconnue et en formant un polygone discontinu ; ce polygone n'est généralement pas convexe; c'est une solution impossible; mais il se fait que cette solution donne précisément la même surface que le polygone possible de surface maxima.
ô"" Il serait très-long d'examiner tous les cas qui peuvent se présenter dans la recherche de la limite supérieure de la surface. Même avec les espacements d'ordonnées que nous avons signalés précédemment, on peut être amené à
modifier les constructions, si ces constructions fournissent des polygones qui ne sont pas complètement convexes. Il faut alors supprimer les concavités en plaçant certains côtés en ligne droite, ou en brisant les côtés sur les points donnés. II serait aisé de donner des exemples où la méthode de Poncelet donne une surface trop grande comme limite supérieure.
8S4. Dérivée d'ordre n — 1 qui ne cbance pas de •Icne. — On donne n ordonnées de la courbe. Nous mettrons la surface sous la forme
Nous désignons par A Taire fournie par l'interpolation parabolique ; il s'agit de calculer la plus grande et la plus petite valeur de l'intégrale.
Nous savons déjà que F^'*"*^(2?) ne change pas de signe; mais il y a une autre condition à établir : l'intégrale d'ordre n — 1 de cette fonction doit passer par n points connus. Si nous déterminons les constantes d'intégration par les n — 1 premiers points, nous devons exprimer que la courbe F{x) passe encore par le dernier point. Gela nous donne
F(a?„) = '^n^i{Xn) + (—1)"-* \ u F<»-*>(2;) dz. (4)
La fonction u est l'intégrale d'un accord parfait formé d'une force égale à l'unité sur la verticale Xn et de n — 1 forces sur les autres verticales. On est ramené à chercher la plus grande et la plus petite valeur de S sachant que l'intégrale des (î^F^""*^(^) dz) est constante. Posons
dv = u F<"-*'(î2;) dz, t>i = \ dv.
La valeur de S devient
S=A + H1)^ Idv.
Déterminons la plus grande et la plus petite des valeurs du rapport (p^ :u; soient c, C les verticales où ces valeurs limites se produisent. Comme l'intégrale des dv est une constante, on obtiendra les limites de S en supposant que tous les dv se produisent sur la verticale c ou sur la verticale c^ ; cela revient à supposer que la courbe F^*^"(z) coïncide avec Taxe des z sauf sur les verticales c ou C où elle limite une aire concentrée. Dans ce cas la courbe F^"~*^ (f) est formée de deux horizontales séparées par une discontinuité située sur la verticale c ou c^; la courbe F(^) est formée de deux arcs paraboliques de degré n — 2 ayant sur la verticale c ou c' un contact d'ordre ^—3. Nous trouverons plus loin des exemples où ces verticales tombent aux extrémités de l'arc ; on obtient alors les limites de la surface par une parabole unique de degré n^2 passant par les n premiers ou derniers points.
Soient ^ et — fx' les valeurs extrêmes de (^ 1)"— ; on
trouve pour les deux limites de la surface
I» == A. — ft'u*
d-où ^=ii. .
A-— m lit-
De là on déduit ce théorème : le rapport des différences M — A et m — A est indépendant des ordonnées de la courbe; il ne dépend que des rapports des abscisses.
Exemple il^ n pair. Nous supposons les ordonnées placées symétriquement; alors la fonction 9' est une fonction impaire; u est toujours une fonction paire, parce qu'il y a symétrie. Les deux valeurs p, n' sont égales ; on a donc
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICB). 185
Non seulement la parabole unique d'interpolation est la plus convenable au point de vue de Terreur probable ; c'est aussi cette parabole qui réduit le plus les erreurs limites, lorsqu'on admet que la fonction F^*"*^(«) varie de la manière la plus extravagante^ tout en restant de même signe.
Appliquons ces résultats au cas ou l'on donne quatre
ordonnées équidistantes (flg. 345). La courbe —est représentée (âg. g); dans le premier et le second dernier intervalle, on trouve deux droites dont les équations s'obtiennent facilement ; les verticales c, c' sont situées aux extrémités de l'arc. Les limites de la surface s'obtiennent successivement en menant une parabole du second degré par les trois premiers points, et par les trois derniers. En prenant la moyenne de ces deux surfaces limites, on retrouve la surface obtenue par la parabole du troisième degré. On peut vérifier ces propriétés par l'analyse; on y arrive très-rapidement en représentant la différence qui existe entre les ordonnées de la parabole du troisième degré et celles des deux autres paraboles; on trouve deux paraboles du troisième degré identiques, l'une se déduit de l'autre par un déplacement parallèle à l'axe des âr, les aires sont égales et de signe contraire. On a aussi MM' <== QQ', si M' est sur la parabole du second degré passant par les trois derniers points et Q' sur la parabole du second degré passant par les trois premiers points.
Dans tous les cas où l'on donne les ordonnées extrêmes,
on trouve deux limites de — aux extrémités; toutefois si le
nombre d'ordonnées est considérable, il y a d'autres maxima et minima à considérer. Lorsque Ton ne donne pas les ordonnées extrêmes, les verticales cet ç^ ne sont jamais aux extrémités.
^'^ n impair. Si les ordonnées sont placées symétrique-
ment la fonction - est paire ; si on trouve une limite a sur
une verticale c, on trouvera une même limite sur la verticale — c; mais — p' est la limite d'un autre signe; on n'a plus |x == fx' ; le rapport M — A: m — A est un rapport numérique à calculer dans chaque cas.
Supposons que Ion donne cinq ordonnées équidistantes (âg. 346); deux ordonnées sont aux extrémités de l'arc. La
courbe — est représentée (fig. i); dans le premier intervalle et le dernier, on trouve deux droites symétriquement placées. On obtient une première limite de — à l'une ou à l'autre extrémité; la limite de signe opposé s'obtient sur la verticale o. On obtiendra donc une limite de la surface, en menant une parabole du troisième degré par les quatre premiers points; on obtiendra la même limite en menant cette parabole par les quatre derniers points ; enfin on peut opérer les concentrations partiellement aux deux extrémités, cela conduit à mener une parabole du troisième degré quelconque par les trois points intermédiaires ; ce qu'il y a de plus simple c'est de mener une parabole du second degré par ces trois points. On vérifie très facilement que toutes ces hypothèses donnent la même surface^ en représentant comme précédemment les différences entre les ordonnées de ces paraboles et on découvre en même temps des petites propriétés de ces difierences. Pour obtenir une seconde limite de la surface, on mène deux arcs paraboliques du troisième degré ayant au point P un contact du second ordre; le premier passe par les trois premiers points, le second par les trois derniers. On trouve
A — m 17 Lorsque le nombre d'ordonnées est plus considérable, il
y a d'autres maxima et minima de^à considérer. Quand
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPBNDICE). 187
on ne donne pas les ordonnées extrêmes de l'arc, les verticales c et c' ne sont jamais aux extrémités.
§ 3. Facteurs obligés.
8S5. Mngnlapltés. ~ Lorsque la courbe que Ton veut intégrer présente des singularités, il faut évidemment l'assimiler à une courbe intégrale qui ait les mêmes singularités. Supposons par exemple que la courbe présente une asymptote verticale et que l'on veuille construire la courbe intégrale dans les environs de cette asymptote. Prenons cette asymptote comme axe des y ; on pourra généralement mettre Téquation de la courbe sous la forme
a4-ba4-cx^ -i
L'intégrale reste finie si \ est plus petit que 1 . Proposons nous d'intégrer de à 2Â, en utilisant une seule ordonnée
y*= Âï
Nous prendrons approximativement L'intégrale cherchée a pour valeur
\ ydx = yi^ , __ X •
Soit A = ô » ^û trouve.
2h ydx =^ y i2k 1/2,
Il suffit d'intégrer un rectangle de hauteur yi et de base 24 1/2. On peut généraliser et perfectionner ce procédé de la manière suivante.
8S6. Vactenr obligé. — La courbe que l'on veut intégrer n'est pas assimilable à une parabole; mais on
188 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE).
pourra presque toujours mettre son ordonnée sons la forme V F{x), V étant une fonction analytique dont on sait trouver les intégrales et qui épouse les singularités de la courbe, F {x) étant une fonction régulière et assimilable à une fonction entière. Donnons-nous F(fl?J,F(a?,) ... F(a?„);on a (822)
\ Y¥{x)dx = A -{- s (1)
A = 2a.F(fl?,) = 2p.V.P(fl?,) (2)
= 2 ^ \ y/(a?)E — (fip.
Toutes les intégrales qui figurent dans ces formules peuvent s'exprimer au moyen de
I x'^Ydx ou I (X -- a?)-Vrfâ?.
On peut les calculer exactement par hypothèse. La formule (2) donne la valeur approchée de Taire ; si on opère graphi • quement,on intègre des rectangles a»XF(^t)ou j3» X V»F(a?,) selon que Ton trace la courbe F (x) ou la courbe VF (x). La formule (4) donne le développement de l'erreur.
SS7. Calcul de l'errear. — Formons un accord analogue à celui que nous avons considéré dans la méthode ordinaire de quadrature ; mais au lieu de prendre une surface rectangulaire de hauteur — 1 , prenons la surface limitée par la courbe — V; soit I^ l'ordonnée de cet accord, y compris les aires Mi, Ms, Ms... M» concentrées sur les verticales â?i, Xi^ Xz.>> XnOnsi :
— ( I« F (2) rf« = (—!)•+' ( UF'{e)dz.
Le premier membre se calcule aisément; en prenant ç «= L, il vient :
{ VF (a) dx-'lMiF (a?.) = (— l)"+« f 9. F-^ (^) dz.
Si on suppose F^*^ (z) =* 0, on trouve
A = 2M.F(ar,).
Donc les forces M« sont les coefficients ai de la formule de quadrature ; Terreur e devient
e = (— !)-+« l 9. F<-> (z) dz. (5)
Si ondonne F*(o) à F"*""* (0), on forme un accord de degré ;;» + 1 en introduisant dans lo un accord de degré n formé de m surfaces concentrées sur la verticale o(0; cela revient à introduire dans les intégrales de 9 des discontinuités qui portent le degré de Taccord den-f'lÀ^-f-1. On a alors
■xr v
— ( loF (f) i^e; = (— 1)-+* ( lj?^{z)dz
OU bien
( VF(a?)rfaî — 2MJP(â?^~ (— l)-TP*(o) =(—!)-+« C UF<^^(z)dz.
Si on applique la formule pour F^*"^ [z) = 0, on trouve que les termes du développement de Terreur sont de la forme ( — 1)* T F"(o); le reste qu'il faut ajouter quand on va jusqu'au terme qui contient F^"*"*^ (0) est :
R = ( l)-+i l UF<«> {z) dz (5)
Si les ordonnées et la fonction V sont symétriques par
(1) Si on éprouvait quelque embarras â concevoir les zigzags concentre! de la courbe I^, on pourrait arriver au but en prenant Iq = — Y, et en intégrant par parties; on tiendra compte des discontinuités de l|, l»4i, etc., en modifiant conTenablement la formule d'intégration par parties.
190 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe).
rapport à la verticale da milieu de Tintervalle X — â?o, les dérivées paires sont les seules qui subsistent dans le développement; les intégrales d ordre pair de Taccord sont des fonctions paires; les autres intégrales sont des fonctions impaires. Si n est impair, on a aussi :
£ = (— i)- + «l I,+|F-+'> («) rfj5.
Jxq
Les discontinuités sur la verticale n'existent que dans les intégrales impaires. Le nombre de changements de signe surabondants est toujours n, ou n — 2, si V ne change pas de signe; sinon il faut y ajouter les changements de signe de V.
§ 4. Intégrations successives.
8S8. On remplace la courbe par une parabole d'interpolation ; on effectue plusieurs intégrations successives et on demande l'erreur commise en un point quelconque de l'une des intégrales. On obtient le développement de l'erreur en intégrant plusieurs fois de Xo à x^ l'erreur commise sur F{x) par l'interpolation; il n'y a aucune difficulté. On obtiendra e ou R sous forme d'aires en les considérant comme des intégrales de F\x) ou F'"(a?). On arrive plus vite au but en mettant l'intégrale cherchée sous la forme
F (z) iz.
Nous supposons le cas d'une intégrale troisiëme ; T est le terme des constantes; il ne donne lieu à aucune erreur. Nous écrirons :
de x^k X
de X kX
(x — zY
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). 191
Nous considérerons V comme un facteur obligé; et nous
aurons :
(-l)n4if UF-{z)dz
R = (— l)«++a UF-(2;)<Z^.
L'accord lo est formé d'une surface limitée par une parabole et par n forces. On arrive au même résultat par la méthode directe; lo est l'intégrale troisième de l'accord primitif formé de forces et de couples.
§ V. MÉTHODE DE GaUSS.
8S9. Ab«€f««e« de Ciaoss. — Lorsqu'on remplace la courbe par une parabole d'interpolation de degré n — 1 , l'erreur commise dans l'évaluation de la surface s'exprime par un développement qui contient les dérivées F" (o), F"+*(o)... On peut profiter de l'indétermination des abscisses, ou ce qui est la même chose de l'indétermination de la fonction / [x), pour exprimer que les n premiers termes du développement s'évanouissent; les équations de condition sont de la forme
f{x)6n-idw = 0,
Bn-i désignant une fonction entière de degré à n — 1 ; on satisfait à toutes ces conditions en prenant fourf^x) l'ordonnée de la parabole harmonique.
On peut arriver au même résultat sans invoquer la forme du développement de Terreur. Il s'agit de placer les n ordonnées que l'on calcule, de telle façon que la parabole de degré n — 1 donne exactement la surface pour le cas où la courbe donnée est une parabole de degré plus petit que 2n; or dans ce cas, la difierence entre la parabole
d'interpolation et la courbe est de la forme f(a>) Qn.^^ ; on doit donc avoir
C'est la condition nécessaire* et suffisante pour que la courbe y(fl?) limite un accord de degré w + 1; nous retrouvons le même résultat. On prendra donc
/(a?) = ND» [(a? — xoY {X — X)"J ou
Si on veut que le coefficient de â?" soit Tunité, on prendra
