C^efllcleiito. •— La formule de Gauss est de la forme
On a
Mais cette formule est peu pratique parce que les racines sont incommensurables et que la division par x — Xi est pénible.
Nous arriverons à une valeur plus convenable (i) en appliquant la formule (2) au cas particulier
X—Xi
La formule (2) est exacte parce qu'il s'agit d'une parabole de degré 2n — 2. Nous trouvons que toutes les ordonnées V(x\), F(â?i) ... sont nulles sauf
(1) Cette formule est établie par M. Hermite, dans son cours d'analysAj au moyen des propriétés des polynômes de Legendre.
INTÉORATION GRAPHIQUE (APPENDICE). 193
On a
oa en intégrant par parties
L'intégrale est nulle, car/(â;) est multiplié par une fonction de degré n — 2; on trouve en supposant Xo = — A, X = A et en remarquant que/(â;) est une fonction paire ou impaire,
La formule (2) devient :
a* — (Ci
d'où
S4I.Vhéorfede€iau«s. — Gauss a démontré sa formule en s'appujant sur la théorie des fractions connues. L'artifice que nous venons d'employer permet d'établir très-rapidement cette théorie. II s'agit de trouver le développement
Xq
Les quantités d^ et Xi doivent être choisies de manière qu'en développant tous les fonctions F par la formule de Maclaurin, les dérivées de à 2n — 1 disparaissent du premier membre. En appliquant la formule à un cas particulier^on trouve une relation entre les coefficients 04^X4, A eic. ; en prenant F(x) =» ^(Xj u) nous trouverons une infinité de
194 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICB).
relations qui fourniront tous les paramètres. Prenons l'hyperbole
U vient
Si on considère u comme infiniment grand, le logarithme du premier membre est exprimé par une fraction rationnelle de u plus des infiniment petits d'ordre supérieur à 2n. Ce développement ne peut se faire que d'une seule manière et on l'obtiendra en réduisant le logarithme en fraction continue. On a
On trouvera
en opérant comme s'il s'agissait de nombres^ mais en prenant comme quotients incomplets la partie entière en u. On démontre que ces quotients incomplets sont du premier ordre en u; la réduite de rangn a pour dénominateur une fonction de degré n et d'après la forme de la différence entre la fraction complète et cette réduite, on voit que cette dernière est précisément la fraction rationnelle cherchée. S49. DéTeloppemeiit de Terreur. — Nous supposons a?o = — A,X = A; îlya symétrie ; nous pouvons appliquer la formule (4) du numéro 829. Comme /(x) détermine un
accord d'ordre n -j- 1 9 on peut transformer chaque intégrale par la formule du numéro 800, et on trouve
Pour le premier terme
\ (^» — x'fdx = A»»+« \ (1 — x^yix.
En utilisant l'intégrale du numéro 792, il vient :
2nr ^ Les autres termes se calculent facilement; on a :
^tm
E» — - = fliT*"»-" 4- S^*'""**"' 4
Toutes les intégrales à calculer sont de la forme
J(A* — x^Yx'dx.
En remarquant que
xA-h , X — h
on est ramené à des intégrales connues. La iQi de formation des termes est assez complexe.
S4S. Calcal de Terreor. — Prenons comme parabole d'interpolation une parabole de degré 2^—1 satisfaisant aux conditions F (a?,), F' (x^) ; la formule de Gauss donne l'aire exacte de cette parabole. On obtiendra l'erreur en remplaçant F*" [x) par une valeur intermédiaire, parce que sur chaque verticale, il y a un nombre pair de conditions de seconde espèce. On a donc(i)
(1) La formule de M. Hermite donne immédiatement la solution de ce problème ; on se trouve dans le cas (814, remarque) oùf(œ) tst un carré
Nous pouYons aassi mettre cette erreur sous la forme d'une aire. Si nous prenons la même parabole d'interpolation, on a
. e-=(— 1)«»+«( (fF^'^{z)d^. (5)
L'accord dont 9 est l'intégrale d'ordre 2n se compose du rectangle de hauteur — l,de n forces et n couples concentrés sur les verticales de Gauss. Les moments des couples s'évanouissent parce que ce sont les coeflScients de F^â?,) dans la formule de quadrature. II résulte de là que nous avons aussi démontré la proposition suivante : en plaçant des forces sur les verticales de Gauss, on peut réaliser un accord parfait de degré 2» 4^ ^ entre ces forces et le rectangle de hauteur — 1 . La fonction 9 ne change pas de signe ; si F'" (z) est compris entre Fi(z) et Ft (^), on trouvera deux limites de l'erreur en évaluant deux aires.
Nous pouvons aussi considérer 9 comme l'intégrale d'ordre 2n4'^ ^'u° accord formé d*une force 1 enX, d'une force ^ 1 en â^o et de n couples en o^i, â^f ... â?»; c'est alors un accord parfait de 2n -|- 2 forces, et on peut l'écrire
Cette considération va nous permettre de retrouver d'une autre manière les coefficients de la formule de Gauss et le développement de l'erreur.
Appliquons les formules du numéro 808; nous utiliserons la fonction
f^{x) = {x- afo)i(c - X)/*(x).
parMt. Cette application de la fonnule de M. Hermite a été faite par M Markofif en 1884 ; le géomètre russe a traité le cas où il y a un facteur obligé. Lorsque ce facteur est Tunité, les calculs peuvent être acheyés; on arrive à la fonnule donnée plus haut, formule qui a été trouvée directement par M. Mansion (comptes rendus de Paris 1886).
Les forces et les couples de l'accord sont donnes par les formules (10) du numéro 808 0-); on trouve sur les verticales X et Xq les forces
(X— fl?o)/*(X)' (a?o-X)/*(a?o)'
ces forces sont égales et de signe contraire. Les forces situées sur les autres verticales sont nulles; il est inutile de les calculer ; le moment de l'un des couples est :
La force située sur la verticale X doit être ramenée à Tunité; les couples deviennent alors les coefficients de la for* mule de Gauss; on trouve :
^ — (X — go)/«(X) ""*■ (Xi^Xo){x, — X)f''(Xi)'
formule qui devient identique à la formule (3) du numéro 840, lorsqu'on prend Xo = — A, X = + A. Si dans la formule (6), on suppose -que It„^i s'applique à l'accord pris avant la réduction à Tunité de la force en X, on doit faire subir une correction à l'intégrale; on trouve :
e = ( - !)««+» (X — Xo)J'{X) \ I,„+|F'«)(2)rf^.
Si on développe la fonction F^*"^ (z) par la formule de Taylor, on retrouve le développement de l'erreur et les coefficients s'expriment au .moyen des moments de divers ordres de l'accord. Prenons, par exemple :
F*''(2)=F»-(a?o)+(^— ^o)F«-+'(aJo)+(2J— a?o)''F«"+*(a?o)+--
(1) Une petite erreur s'est glissée dans ces formules ; au lieu de Vi v[ v'I . . f?(«-i) il faut lire t?(^-i) M^^^) ... ^f^ ^^^ en renversant les indices supérieurs.
Remarquons que par raison de symétrie, on a
\ {z — a?o)''*It»+i& = l (X— «)-/*I,n+irf« = J
ti.+A*+«*
Nous désignons par J les intégrales de l'accord pour z=^X.I\ vient :
Nous pouvons considérer les intégrales J comme les
moments des forces de l'accord, les couples étant considérés
comme des groupes de deux forces ; les forces sjmétrique-
.ment placées sont de signes contraires; on a donc, si on
prend xo comme origine des z :
Soit comme au numéro 807,
On a :
La valeur de s devient
OU
^ ^TTT^îW-^' L2M^+^^ 2HF2r+-J
Lorsqu'on s'arrête dans le développement, on obtient le reste en remplaçant dans le terme suivant la dérivée par une valeur intermédiaire. En effet, on a
R = (— !)"•+* f (p.F« (z) dz.
On obtient cp en continuant les intégrations de Itn+i et en introduisant des discontinuités pour augmenter le degré de
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe). 199
l'accord; il n'en résulte aucun changement de signe parce que les discontinuités se produisent à l'une des limites de l'accord. Si au contraire, on utilise le développement du numéro 842, on obtient le reste sous la forme
AF")(a) ou A— -
selon que ^ est pair ou impair; cela provient de ce que les discontinuités de la fonction (p se produisent alors sur la verticale 0.
S44. lactear obligé. — Si dans la formule (4) du numéro 836 nous exprimons que les abscisses sont choisies de telle sorte que les n premiers termes du développement de l'erreur s'évanouissent, nous trouvons n équations de la forme
Qn-i désignant une fonction entière de degré plus petit que n ; nous satisferons à ces équations en prenant four f(ja^) le facteur harmonique de degré n de la fonction V (805). On peut aussi reproduire ici la seconde démonstration du numéro 839 en la modifiant légèrement et démontrer que c'est la seule solution du problème.
Les coeflScients de la formule de quadrature se trouvent par les formules (3) du numéro 836.
On obtient l'erreur en supposant une parabole d'interpolation de degré 27^ — 1 satisfaisant aux conditions F (a?») et F' (x)i\ la formule donne Taire exacte de cette parabole ; l'erreur commise est de la forme
= (— 1)«"+*V (p.F*-{z)dz.
La fonction cp est l'intégrale d'ordre 2n d'un accord formé de la surface limitée par la courbe — Y etàen forces et n couples situés sur les verticales ûOi\ les moments des
200 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE).
couples s'annulent parce que ce sont les coefScients des F'(jr^) dans la formule de quadrature. Si V ne change pas de signe, l'accord est parfait et on obtient Terreur en remplaçant F*" (2;) par F»-» (a). Si V change de signe, il y a matière à discussion et on peut être conduit à remplacer la courbe F*"(2:) par une droite ou une parabole.
Nous obtiendrons le développement . de l'erreur en appliquant la formule (4) du numéro 836. Soit u la dernière des intégrales de l'accord Y f^x), parmi celles qui s'annulent aux limites ; on trouve (800) :
Si V ne change pas de signe, on a
6 = g^,F««>(a)J udx.
On peut aussi obtenir le développement de Terreur en introduisant les intégrales de 9 (843). Le reste du développement s'exprime par une aire; il se met sous la forme
AF(->(fl), AF->(o) + ^^---
si V ne change pas de signe. Si V change de signe on doit quelquefois remplacer la courbe F** (z) par une parabole (820). Des simplifications se produisent quand il y a symétrie.
S45. Ab«€l««e« obligées. — On a déjà calculé n^ ordonnées de la courbe; on veut en calculer n nouvelles ; où fautil les placer pour que les n premiers termes du développement de Terreur s'évanouissent?
Soient : V = l'équation qui a pour racines les abscisses
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe). 201
données, /{x) = l'équation qui a pour racines les abscisses inconnues. Les équations de conditions sont de la forme
Donc f [x) est le facteur harmonique de degré n de la fonction V ; on l'obtient très-facilement (805) parce que V est une fonction entière(i). La formule de quadrature est toujours
Les coe£Scients sont de deux espèces ;si Xi est une abscisse obligée^ on a
r^ Yf{x)dx
Si Xi est une abscisse déterminée par réquationy(a?) = 0, on a
•^ y/ix)
On peut aussi dans ce dernier cas, raisonner comme au numéro 840 ; prenons le cas particulier
X — Xi
On trouve que l'aire A a pour valeur
\x — Xi\
Cette aire est donnée exactement par la formule de quadrature; si les coefficients relatifs aux abscisses obligées sont
(1) Le problème n'est possible que si les racines de J\x) = sont toutes comprises entre x^^ et X; il en est toujours ainsi lorsque les abscisses obligées sont x^ et X.
202 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE).
déjà calcules, on trouvera une équation où a«- sera la seule inconnue.
' Le développement de Terreur se trouve comme au numéro précédent; on remarquera cependant qu'ici la fonction u est une fonction entière et que les calculs sachëvent trës-facilement. Prenons comme parabole d'interpolation une parabole de degré 2n + n' — 1 ; la formule de quadrature donne l'aire exacte de cette parabole; l'erreur commise est de la forme
L'accord dont ç est l'intégrale d'ordre 2n + »', est constitué par une surface rectangulaire et Tt-j*^' forces; il y a 2?t + 2n' changements de signe ; il y a donc n' changements de signe surabondants qui peuvent subsister dans la fonction cp. Ces changements de signe subsisteraient certainement si les abscisses obligées étaient peu différentes des n' abscisses de Gauss calculées pour le cas ie n-\-n' ordonnées. On peut donc être amené à remplacer la courbe pîn+n' ^^j pj^j, ^JJQ parabole de degré o à w', pour trouver la valeur de e.
Si deux ordonnées obligées sont situées aux extrémités de Tare, le nombre de changements de signe surabondants se réduit à %' -- 2 ; s'il n'y a pas d'autres ordonnées obligées, la fonction 9 ne change pas de signe; dans ce dernier cas, les abscisses, les coeflScients et l'erreur se calculent avec autant de facilité que s'il n'y avait pas d'abscisses obligées. Le reste du développement s'exprime aussi par une aire ; la fonction analogue à 9 peut présenter un nouveau changement de signe si le nombre de termes du développement est impair; d'autres changements de signe peuvent disparaître.
§ VL — iNTiGRATIONS SUCCESSIVES PAR LA PARABOLE
DE GaUSS.
846. Théorème. — On peut décomposer la parabole de Gauss en paraboles partielles telles que
' ^ (« — ir,)/(a?d' l'aire limitée par une de ces paraboles a pour résultante d'ordre w, une aire équivalente concentrée sur la verticale â?,-.
Nous démontrerons cette proposition (809) en montrant que l'aire concentrée forme avec l'aire parabolique changée de signe, un accord de degré n + 2. Prenons la verticale Xi comme axe des moments ; tous les moments de l'aire concentrée sont nuls ; les moments d'ordre %' de l'aire parabolique sont nuls également si n' est plus petit que 9t 4- 1 ; car leurs valeurs sont de la forme
Cela démontre le théorème. Il est facile de voir que ce théorème est également vrai quand il y a un facteur obligé ou des abscisses obligées.
D'après le théorème précédent, nous obtiendrons exactement les intégrales d'ordre \ à.n+1 de la parabole de Gauss, prises en X ou au-delà, en remplaçant chacune des paraboles partielles par sa résultante. On est alors ramené au problème du numéro 827. Les directrices de la première intégration s'obtiennent en portant bout-à-bout des longueurs égales aux coefficients de la formule de Gauss. Les directrices de la seconde intégration sont les verticales cc%. Les directrices de la troisième intégration ont pour abscisses
Xo "4" ^« iC» -f- Xi Xoi 7: f :: •••
204 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDIGb).
et ainsi de saite. Lorsqu'on dépasse l'intégrale d'ordre 9» + l, alors la détermination des directrices n*est plus aussi simple; il faut introduire les intégrales supérieures de f{x).
On peut aussi exprimer les intégrales moments par les formules :
{X - xy-'¥(x)dx = loi (X - a?,.)-"' F(«.) n' <» + l.
SM. Calcul dm rerreiip. ^ Si nous exprimons F(x) par la formule de Lagrange complétée par un développement, nous trouvons que Terreur commise sur l'intégrale d'ordre n' +1 est donnée par
Le premier terme du développement s'obtient en prenant m=:2n — n\ car si m est plus petit que 2n — n' l'intégrale s'évanouit. On trouve
mtn^nnQ fX
On voit qu'à chaque intégration, il y a une dérivée disparue qui reparaît; l'intiuence des verticales de Gauss va sans cesse en s'affaiblissaut. On a aussi
Ja?o
L'accord dont 9 est l'intégrale est formé d'une aire parabolique et de n forces; il y a 2w changements de signe; il y a donc des changements de signe surabondants; Texpression de Terreur est compliquée.
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). 205
84S. Autre méibode. — Soit à calculer
(X — aî)-»'F(â;)rfâr;
considérons (X — a?) •"' comme un facteur obligé ; nous serons amenés à prendre les abscisses déterminées par réquation (805)
D"(a? — X)"+"^(a? — XoY
En prenant ces abscisses, nous obtiendrons l'intégrale moment avec une erreur qui ne dépend que des dérivées d'ordre égal et plus grand que 2n. On a alors
La fonction ? ne change pas de signe. On trouve facilement le développement de l'erreur ) on calcule cette erreur en remplaçant F'" (o) par F'" {a) dans le premier terme du développement. On trouve alors l'intégrale approchée par une seule opération graphique, traduction de la formule 2a,.. F (a?,).
Cette méthode s'applique aussi au calcul d'une intégrale d'ordre W satisfaisant à des conditions d'espèce quelconque; la partie difficile de cette intégrale est de la forme
(— 1)"' In,F'" {z) dz.
JcDq
On calcule l'intégrale en considérant I„, comme un facteur obligé et on trouve :
(- Vr S«.F«' {zd.
L'erreur commise dépend de F*"+'''(2;).
