fi + l

Sapposons que ¥^z) varie peu; alors ¥^^\a') est trèspetit; d'autre part, / (a?) est très-petit parce que Ton se trouve dans les régions voisines des racines de/(â;) = 0. On peut donc dire que les erreurs sont probablement plus petites dans les intervalles d*ordre pair que dans les intervalles d'ordre impair. C'est ce que nous a autorisé à désigner les premières régions sous le nom de régions des grandes erreurs et les secondes sous le nom de régions des petites erreurs. Mais il faut remarquer que si F" {z) varie irrégulièrement, il est impossible d'émettre aucune opinion sur la grandeur relative des erreurs.

Les formules (12) et (13) ont l'inconvénient d'exiger le calcul de la valeur de b qui annule la fonction u. On peut établir une formule où cette valeur ne figure pas. La courbe u limite deux aires de signe contraire; nous écartons le cas où ces aires se compensent parce qu'alors on applique la formule (H). Nous pouvons former un accord du second degré en ajoutant à l'aire u une aire A concentrée sur la verticale â;o ou X; si nous plaçons cette aire concentrée du côté de la plus petite des deux aires limitées par la courbe u^ nous aurons un accord parfait t^o* On a alors :

( «,F"> («) rf« = AF<«> (=b A) + f u¥^-^{z)dz

on a aussi

\ «oF<-> {z) iz «= \ »«F-^*> {z) iz.

D*où l'on tire :

JttF<"> (z) dz = — AF-(± h) — \ «,F<-+« (z) dz.

INTÉGRATION GRAPHIQUE (APPENDICe). 217

Gomme Ui ne change pas de signe, on obtiendra exactement la valeur de e en faisant la fausse hypothèse F<»+" [z) = F<»+*>(«), ou

F» («) = F» (± A) + (2 qi h) P«+« (a).

Le développement de Terreur donne alors

^ F"" (db k) =F *Ft"+"(a) ^,^, , F<»+')(a) ^ ^ ' r2X:ii •^(*>+ 1.2.3...(«+1) ^'^'')

OU en posant

Il s'agit de voir quand il faut prendre + Aou — A. Si nous appliquons la formule (3) au cas particulier F*^{z)= 1, on a

e = (— D" il uiz.

Or le développement donne alors

1«2 «o...^ On a donc

Si nous nous trouvons près de la racine de rang k de ^aj) = 0, le signe de A sera (— 1)* ou ( — 1)*+* selon que X est plus petit ou plus grand que cette racine. Dans les environs de ;2?o = — A, la fonction î^ a le signe ( — 1)*. Donc il faudra prendre — A ou + A selon que x est plus petit ou plus grand que la racine de f[x) = qui se trouve dans la même région.