Cas ou V^'^\t) ne change pas désigne. — Nous

218 INTEGRATION GRAPHIQUE ( APPENDICE).

avons démontré que la parabole d'interpolation coupe la courbe donnée au moins en n points. Si F^*^\z) ne change pas de signe, ces points sont situés dans les régions voisines des racines de la parabole harmonique de degré n. En effet, en dehors de ces régions, Terreur est donnée par la formule (11); si F^*^\a) ne change pas de signe Terreur a le signe de ]f^[x). Si on se déplace dans Tun des intervalles d'ordre pair, /(iïî) ne change pas de signe; donc Terreur ne s'annule jamais dans Tun de ces intervalles. Si on considère un intervalle d'ordre pair séparé du précédent par un intervalle d'ordre impair, on trouve alors une erreur désigne contraire, car f(x) a changé de signe. Il doit donc exister dans l'intervalle d'ordre impair qui sépare ces deux régions au moins un point où Terreur est nulle.

Supposons que la fonction F^**\z) varie de toutes les manières possibles, mais en restant comprise entre et M. On demande de déterminer les limites supérieures et inférieures de Terreur. Dans les régions des grandes erreurs, on applique la formule (11) et on trouve pour limites

Traçons (âg. 349) la parabole harmonique de degré n qui représente t' ; on trouve comme limites supérieures et inférieures des arcs de cette parabole et Taxe des x. Nous n'avons représenté que deux intervalles d'ordre pair séparés par un intervalle d'ordre impair; dans l'intervalle A'B' les limites sont AB et A'B' ; dans l'intervalle CD' les limites sont CD' et CD.

Dans les intervalles d'ordre impair, on a

La fonction u change de signe pour 2; = 2 ; on trouve

comme limites :

/' = M ( — 1)- \ udz = Mw"

5' = M( — 1)»( î*rf2J = Mw'.

Nous désignons par &)' et &>'' les deux aires de signe contraire limitées par la courbe u.

Si nous nous plaçons d'abord en B' nous pouvons encore appliquer la formule (11); on a w" =* 0. Si nous nous déplaçons vers la droite, la verticale hy où u change de signe, se déplace aussi vers la droite, car nous avons vu que c'est alors la grande surface qui est du signe de/(a?). Donc on va trouver comme limite inférieure une courbe e = Mw" représentée en B'C; on démontre facilement que cette courbe a un contact d'ordre w + 1 avec l'axe des x. On trouve de même comme limite supérieure une courbe e = Mû)', représentée en BC; cette courbe a un contact d'ordre n + \ avec l'axe des x. Ces deux courbes possèdent la propriété suivante :

Connaissant la parabole BC et l'une des courbes B'C, on en déduit l'autre. Il résulte de là qu'aux points B et C, il y a aussi contact d'ordre n-\-\ entre la parabole harmonique et les deux courbes. Les ordonnées des courbes B'C et BC s'expriment algébriquement en fonction de iz? et de J ; or b est racine d'une équation de degré 9^ — 1 ; les équations de ces courbes sont donc compliquées. Ces courbes sont les enveloppes des paraboles que l'on obtient en supposant Y^%z)=U àexokb et ^^^l^) = de J àX ou inversement.

Supposons que la fonction Y^){z) varie de toutes les manières possibles mais en restant comprise entre deux

220 INTÉGRATION GRilPHIQUE (aPPENDICE).

limites de même signe m et M. Nous pouvons poser

F<*»)(«) = «I + fx.

On a donc

e == (— 1)» l m.uiz + (— 1)* I [luiz.

Nous pouvons décomposer Terreur en deux parties; la première est Terreur calculée dans Thypothëse où F^"> (z) = ^ ; on a alors d après le développement

La seconde partie est Terreur calculée dans T hypothèse ou F** (^)=»ft ; a peut varier de o à M — m. Nous représenterons les limites de cette seconde partie par une figure analogue à la figure 349; il sufSra d'ajouter s"' aux limites ainsi trouvées. On obtient alors la figure 350. On la construit en traçant les deux paraboles harmoniques ÂBCD et A'B'C'D' ayant pour équations

On trace alors les courbes de raccordement BC et B'C. On voit que Terreur ne peut changer de signe que dans les régions analogues à EF. En d'autres termes, plus on restreint la variation de F^**^ (z)y moins les points, où Terreur change de signe, peuvent s'écarter des racines de la parabole harmonique de degré n. On voit aussi que si on prenait comme limites de Terreur les deux paraboles harmoniques s' et e'^', on ne se tromperait que dans les régions où les erreurs sont les plus faibles.'

857. Cas particnller. ^ Prenons n = 2; la parabole d'interpolation devient une ligne droite. Si on considère la courbe F{œ) comme le lieu des moments fléchissants d'une

poutre encastrée à ses deax extrëmitës, il faut prendre comme ligne de repère une ligne droite qui doit précisément satisfaire aux mêmes conditions que la droite d'interpolation déterminée par la méthode des moindres carrés. Si on applique la méthode précédente au calcul des limites de Terreur, on reproduit identiquement la recherche des plus grands moments fléchissants produits par une charge F"(a?) pouvant varier de o ip ou dep kp-^ q (587).

8SS. Polyi^eiie d'interpelatlen. — On veut remplacer une courbe F(ai) entre les limites xo et X par un polygone dont on donne les abscisses Xo, cot^xt ...X des sommets. Les extrémités du polygone sont données sur la courbe. On demande de déterminer ce polygone de manière que l'intégrale du carré des erreurs soit la plus petite possible. Nous allons démontrer qu'on obtient la solution de ce problème en considérant F {z) comme un lieu de moments fléchissants d'une poutre à plusieurs travées posée sur des appuis de niveau situés enxo,x^ Xt... X; le polygone d'interpolation est la ligne de repère de ces moments fléchissants; les erreurs sont les moments fléchissants vrais.

Désignons par M' l'ordonnée du polygone cherché; il faut rendre minima l'expression

(F(fl?) — uydx.

On trouve la condition

\ {F{x) — W)SWdx. (l)

Or dM' est l'ordonnée d'un polygone; nous pouvons considérer ce polygone comme l'intégrale seconde de forces appliquées en Xq, Xx^ Xt'.* X; ces forces forment un accord du troisième degré cal* aux points Xo et X, dl/L' est nul. Posons It = dW. Soit y l'intégrale seconde de F (z); soit

y* r intégrale seconde de M' assujettie aux deux conditions

pour a?o, yo = y'o

pour X Y = Y'.

L'équation ( I ) peut s'écrire

On en déduit par la formule du numéro 800

(y - y') loix = 0.

Soient j»o/?ijp,... P, les forces de l'accord lo"; cette équation devient

IPi (y* — y\) = 0.

Les forces po et P disparaissent de cette équation parce que nous avons supposé yo — y'o = 0, Y — Y' = ; les autres forces sont arbitraires; donc les équations de condition du minimum deviennent

yi — y4=-0

y, — y'j = etc.

Si nous considérons F(x) comme un lieu de moments fléchissants, rapporté au polygone M' pris comme ligne de repère, y — y' est l'ordonnée de la courbe élastique et les équations expriment que les flèches de déformations sont nulles sur les appuis ; donc il s'agit d'une poutre posée sur des appuis de niveau. C'est ce qu'il fallait démontrer.

859.. Suite d*ar€sparabollqaes. —- On remplace une courbe F (x) entre les limites Xo et X par une suite d arcs paraboliques de degré n — 1 ; on donne les extrémités de la ligne parabolique, les abscisses des points de jonction; on assujettit ces arcs paraboliques à avoir entre eux des contacts d'un certain ordre. Toutes ces conditions ne sont pas sufSsantes pour les déterminer, mais on veut profiter de

rindétermination pour que Tintëgrale du carre des erreurs

soit la plus petite possible.

II s'agit de rendre minima Texpression

(F {x) — Wfdx

M^ étant Tordonnée d'une ligne formée d'arcs paraboliques. La condition du minimum est

(F {X) T- M') èWdx. (1)

5M' est évidemment Tordonnée d'une ligne de même espèce que la ligne M'; nous pouvons considérer iW comme l'intégrale d'ordre n d'un système d'aires concentrées et poser <îM' == I„; nous supposons par exemple, que les paraboles M' ou à M' qui se joignent sur une verticale a?, ont en ce point la même ordonnée et les mêmes dérivées sauf trois ; il y aura des discontinuités dans les intégrales L, I2, Is. Nous pouvons aussi considérer I^ comme l'intégrale d'un accord d'ordre n -\-\, pourvu que nous introduisions des systèmes concentrés sur les verticales extrêmes. Supposons par exemple que la courbe M' ait un seul point commun en Xf^ avec la courbe F(a?). Les valeurs de L, Is ... In-i, I» ne sont pas nulles sur la verticale Xo^ mais on peut supposer qu'elles sont nulles pour la verticale Xo — dxa et engendrer les valeurs extrêmes de L, I2 ... L-i, L par des systèmes concentrés. On raisonne de la même manière pour la verticale X. Si la courbe M' était assujettie à avoir un contact d'un certain ordre avec la courbe ¥[x) sur la verticale a?o, ces aires concentrées à l'extrémité seraient connues en partie ; ainsi, par exemple, s'il n'y avait que deux dérivées diflférentes on n'introduirait que deux discontinuités inconnues sur la verticale Xa.

Mettons la condition du minimum sous la forme

{¥{x) — W)lndx=0.

'Xq

224 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICB).

Intégrons n fois les courbes F(é) et M'; soient y et y' les intégrales; noas profiterons des constantes d'int^ation pour assujettir y' à n conditions. L'équation précédente devient

On en déduit (800)

(V — y') lodte = 0.

Cette équation se met sous la forme :

Toutes les quantités pi^ nii^ ni sont arbitraires, sauf n d*entr*elles que Ton doit déterminer de manière à réaliser raccord d'ordre n -|-i. Nous ferons disparaître les quantités qui ne sont pas arbitraires en profitant de Tindétermination des n constantes de y' pour annuler n différences analogues à

i*y' rf*yî

iùr . diKr

Mais alors les paramètres qui restent dans Téquation sont arbitraires et nous devons égaler à zéro les autres différences. En résumé nous sommes amenés à égaler à zéro toutes les différences qui multiplient les cœflScients Pif Mi, ni.

II est facile de voir que toutes ces conditions déterminent complètement la ligne y' et par suite la ligne M'. Nous avons considéré M' et ^ M' comme des intégrales d'aires concentrées. Soit m le nombre des aires inconnues; il y a M — n indéterminées, car il y a accord d'ordre n + l. En intégrant M' on introduit n constantes ; donc la ligne y' dépend de m paramètres. Or nous avons précisément autant

INTEGRATION GRAPHIQUE (APPBNDICe). 225

d'éqaations qu'il y a d'aires coaceutréea iaconnues; donc le problème est déterminé. On voit que la solution de ce problème est donnée par une méthode analogue à celle que nous avons suivie pour déterminer l'état de sollicitation d'une poutre à plusieurs travées. Remplaçons les paraboles y' par leurs polygones d'intégration ; il est très-facile d'exprimer les conditions de contact des paraboles. On trace alors les polygones d'intégration par la méthode des fausses positions. On part de l'une des extrémités, on se donne arbitrairement les côtés qu'il n'est pas possible de déterminer; à l'autre extrémité il y aura un certain nombre de conditions non satisfaites. En faisant varier successivement les côtés arbitraires, on trouve la solution vraie par la méthode que nous avons employée pour résoudre un système d'équations du premier degré.

Proposons nous d'exprimer par des intégrales les valeurs de y — y' et de F(a?) — M'. Soit Jo un accord de degré 2n, nous écrirons :

( Jo(y — y')rf^ = ( Jt, [F<">(«) — M'<->] rf;?. (2)

Nous allons constituer l'accord Jo de manière que le premier membre de cette équation se réduise ky — y\ A cet effet, calculons la valeur 9 = y — y' pour le cas particulier ou F<**> iz) = 0, sauf sur la verticale a?, où l'on a

et prenons Jt» = 9. L'accord Jo comprend alors une force égale à l'unité sur la verticale x et les éléments de la dérivée d'ordre % de la ligne M' ; il peut y avoir en outre des discontinuités dans les intégrales Jn+i, J»+s ... aux extrémités de l'accord. Si par exemple la ligne W n'a qu'un point à l'extrémité de la courbe F(â;), il y a une discontinuité à l'extrémité

226 INTEGRATION GRAPHIQUE (APPENDICE).

correspondante de J«+4. La fonction 9 satisfait aux conditions

(p(fl?o) = (p'(a?o) = 9<— •^(fl?o) = <p [Xi) = <p' (fl?,) = 9" (fl?^) = etc.

Le premier membre de i'ëquation (2) se réduit à y — y', parce que les autres aires concentrées fournissent des termes de l'espèce

(-i)"+Wo(Pû?o — m;).

Tous ces termes s'évanouissent d'après les conditions qui déterminent M' et y'. Le second membre de l'équation (2) se simplifie à son tour; M'<«) est formé d'aires concentrées ; donc

\ J,n M'<-> dz = l (Pi 9 (Xi) — mi 9' (xi) + n' 9" (a?:) = 0.

Il vient :

On en déduit

F (ûî) — M' = (— 1)- \ u F^->(;p) rf^.

La fonction u est la valeur particulière de y — y' pour le cas où F |J)^ se réduit à un accord d'ordre n + 1 concentré sur la verticale x.

La fonction u change de signe de même que la fonction 9; la discussion des limites de Terreur donnerait lieu à des recherches du même genre que la détermination des plus grands moments fléchissants d'une poutre à plusieurs travées .

Le principe de réciprocité des intégrales des aires concentrées prend dans le cas qui nous occupe une forme

trës-simple. Si on suppose une aire concentrée dans la section z, on sl

Mais on aurait directement

Donc

Dans la même hypothèse, on trouve :

D'où Ton tire