T SO
So W = I4 -; •
On trouve pour la poutre moyenne
On en déduit, en appliquant les formules (3) et (4) y = 914, Y = 9m. Nous donnerons plus loin une généralisation de cette loi de réciprocité. Pour obtenir les autres éléments des deux poutres il faut prendre les dérivées; mais à la seconde dérivée il faut multiplier par e et e'. On trouve pour les yj, M, K des formules analogues aux formules (11) et (12), mais les fonctions 9 sont remplacées par Da;9, 6D'9, eD|9. Ce sont encore les courbes élastiques produites par un couple — 1 , un Ayj égal à — 1 , un Ay égal à — 1 concentrés dans la section x. Les lois de réciprocité s'énoncent facilement. Si une force isolée 1 parcourt la poutre y, les lignes d'influence des y et des Y sont respectivement les courbes 911 et (pu\ si une force isolée 1 parcourt la poutre Y, les lignes d'influence des y et des Y sont respectivement les courbes 914 et 9j8. On a 9n = 9*1; de là on déduit un théorème facile à énoncer. En prenant les dérivées on trouve les lignes d'influence pour les autres éléments. De là résultent les propositions suivantes : une force P se meut sur Tune des poutres, les lignes d'influence des y, yj, M, K d'une section x de la poutre y s'obtiennent en traçant les courbes élastiques respectivement pour
AK = P, AM=— P, A>3 = + P, Aî^== — P,
ces systèmes étant concentrés dans la section x de la
^2 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe).
poutre y. Les lignes d'influence pour la poutre Y s'obtiennent de la même manière.
§ 5. — Poutres a sections variables.
S73. — Les théories précédentes s'appliquent aux poutres à sections variables. Pour abréger, nous prendrons immédiatement le cas où toutes les difficultés sont réunies. Une première poutre repose sur des appuis ^i, ^i, c^ ...; une seconde poutre repose sur la première en des points atfiuCt, . . ; une troisième poutre repose sur la seconde en des points As, &9, Cl et ainsi de suite. Les poutres supportent respectivemehtdes charges j»i,j»«, pz >.>Pr^ Soient F4(a?),F,(a?) ... Fr{x) les ordonnées des courbes élastiques. Proposons-nous de trouver F»{â?). A cet effet imaginons une force égale à l'unité au point x de la poutre que nous considérons et soient 9iy 92 ... 9r I^s ordonnées des courbes élastiques engendrées dans les différentes poutres. Nous désignerons par <p% f^\ <p"', cp'^ les lignes des /j, M, K, j» dans cette hypothèse; ce sont des dérivées sauf 9'' qui s'obtient par l'opération
dx^ dx Formons Texpression
1\ (f,'^Fi{z)dz.
Toutes les fonctions 9"" s'annulent; mais il faut tenir compte des aires concentrées. La force égale à l'unité donne le terme F/x); la réaction R d'un appui a donne le terme RFi {a); l'action mutuelle de deux poutres donne un terme de la forme S [Fi («0 — Fj («i)] ; il y a en outre des termes de la forme NF" (Xo). De tous ces termes il ne reste que F| (â?), si nous supposons les appuis de niveau, et si les poutres peuvent reposer les unes sur
INTEGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe). 243
lesr autres sans déformation initiale. On a donc
Fi{x)=^li (p7F,(«)rff. (1)
Si les appuis étaient à des niveaux différents et si on chassait des coins entre les poutres pour réaliser des différences Fi (at) — Fi (aO , il y aurait à conserver les termes dont il a été question précédemment. On peut transformer l'intégrale de la formule (1) en remarquant que
•xr X IT
( 9'"F(^)rf«= — ( (p'"F'(«)rf2 = C (p"F"(^)i«. •^a?o J^o ^a?o
Or
^ dx s
On a donc
( (p''F(2)i^=( ^Udz=^ — { 9'Krf« = ( (ppdz.
Dans la charge p figurent les réactions d'appuis et les actions mutuelles des poutres et même des accords extrêmes du troisième degré; en les indiquant explicitement, la formule (1) devient
Fi((D) = î{ (pi{pi+Ri + Si + Ti)dz. (2)
II est facile de voir que les termes dus aux réactions des appuis et aux réactions mutuelles des poutres s'évanouissent. Considérons par exemple la réaction R de Tappui a ; il en résulte un terme de la forme R ©, (a); or (p« («) = 0; donc ce terme disparaît. Considérons maintenant Faction -|-S, — S entre les deux premières poutres au point éii ; on a S [94 ((Z,) — 9s (^i)] ; ce terme s'évanouit. Il vient donc finalement
F,(aî)=a2l (fifidz* (3)
244 IiNTBORATION GRAPHIQUE (aPPENDICB).
Les accords extrêmes disparaissent parce que Ton a '
On obtient les autres ëlëments de la poutre par dériva tion; on trouve
r f X F,'(a?) = 21 D^cpi pi dz
M«=2\ eDJçiyii^ (5)
On voit que l'on peut encore représenter par des aires tous les éléments de l'une des poutres ; mais on n'arrive plas au but en effectuant des constructions linéaires exactes; les courbes 9, Dx9, D|(p, DI9 dépendent des fonctions qui expriment les lois de variation des moments d*inflexibilité et ne peuvent généralement s'obtenir que par des constructions approchées.
Supposons une charge isolée prise pour unité et parcourant la poutre t' ; on fera
\ pt^dz = 1 .
Jz
On trouve pour la section x de la poutre i
M = e Dlq?»»
Ce sont les équations des lignes d'influence pour la section X. Les trois premières sont respectivement les courbes
élastiques de la poutre chargée pour une force 1, un couple — 1, un At) = 1 concentré dans la section dont on étudie les éléments. La quatrième est une combinaison de ia troisième et de la courbe élastique de la poutre chargée pour un Ay = — 1 concentré dans la même section.
Les lois de réciprocité s'énoncent facilement. Ainsi, par exemple, une force sollicite la section q> d'une poutre et produit une flèche/ dans la section 2; d'une autre poutre; si la force est transportée dans la section z^ on retrouve en X la même flèche/.
