Théorème des charge» déerivées. — Une
poutre, droite ou courbe, supporte une charge verticale ; la charge, par unité de longueur mesurée horizontalement, est donnée parla fonction ^=y(â?); cette charge est mobile ; les choses se passent comme si la poutre se déplaçait sous les charges ; l'abscisse u d'un point de la poutre est variable. Les dérivées
dK dM dy dt ^ — > — > — ^> — etc., du du du du
de tous les éléments : efforts tranchants, moments fléchissants, flèches de déformation, tensions moléculaires, ces dérivées étant prises en restant dans une même section de la poutre, s'obtiennent en calculant ces mêmes éléments E, M, y, t dans l'hypothèse où la même poutre serait sollicitée par une charge fictive représentée par
dp ^ dx
L'effet de cette charge fictive doit être calculé dans l'hypothèse ou la poutre peut satisfaire sans déformation à toutes les conditions géométriques qui résultent des appuis et des encastrements.
Démonstration. — Soient (fig. 321): AB la poutre dans la position considérée ; du =s AA.' « BB' le déplace-
ment de la poatre dans le sens de Taxe des â;; DE la courbe des charges, p s=r/(â?); M ane section ^*bs ÂM, qni vient se placer en M' après le déplacement du ■» MM'. Dans la position primitive la charge en M était j9; après le déplacement la charge dans la même section venue en M' est
dp p-jr-f^du; donc Tinfluence du déplacement de la poutre est
de produire dans la même section z une augmentation de
charge égale à — du. En vertu du principe de Tindépen-
dance des effets des forces (543, 670), nous obtiendrons les effets é2E, é2M, dy^ dt de cette augmentation de charge, en supposant la poutre sollicitée uniquement par la charge
■T-du et en supposant les déformations initiales égales à
zéro. En vertu du même principe, si nous multiplions la
dp chsLTge-^du par I : du, les effets seront multipliés par le
même nombre; donc la charge ^^ produira les effets qui
dx
représentent
dK dM dy dt
du du du du^
c*est ce qu*il fallait démontrer.
Eztensloo. — Ce théorème s'applique aussi aux cas où la charge présente des discontinuités ^p ou est constituée par des forces isolées ; il sufSt d y apporter les modifications suivantes.
Soit ËF = Aj0 une discontinuité dans la valeur de la charge. Un élément NN' = du, vient se placer en N'N"; il était sollicité par une force p.du; après le déplacement, il est sollicité par une force (p-]- Ap)du; il faut donc introduire une force nouvelle Ap,du. Pour obtenir les dérivées des éléments, il faut multiplier par 1 :du^ on trouve àp.
La charge supplëmentaire par unité de longueur serait
lim-r^; c*est l'infini. La force additionnelle totale qui solaï^
licite rélément NN' qui se réduit à zéro est àp. Donc il faut
au point N introduire une charge concentrée égale à àp.
On peut exprimer ce résultat en disant que la charge fictive
qui donne les dérivées des éléments a pour intégrale
première ou lieu des efforts tranchants la courbe j9 avec
toutes ses discontinuités. En effet la courbe J9 est l'intégrale
de p\ les charges concentrées àp sont représentées par les
discontinuités de la courbe je? précisément comme il convient
d'introduire ces charges concentrées lorsque Ton trace le
lieu des efforts tranchants ou l'intégrale première des
charges y compris les forces isolées.
Soit P une force isolée agissant au point S ; le point S
vient en S'. Introduisons en S' deux forces + P et — P.
Si la section S venue en S' était sollicitée par la force ST,
l'état de sollicitation ne serait pas changé ; la force aurait
suivi la section dans son mouvement. Il résulte de là que
le changement dans l'état de sollicitation est représenté par
le couple SP et ST'; le déplacement de la poutre produit
le même effet que l'introduction dans la section S d'un
couple isolé dont le moment est Pdu. Il faut multiplier par
