du pour obtenir les dérivées des éléments; on trouve un
moment isolé égal à P. On peut exprimer ce résultat de là
manière suivante; construisons l'intégrale première de la
courbe p en introduisant les forces isolées P, comme on
doit le faire en traçant un lieu d'efforts tranchants. Cette
ligne des E est l'intégrale seconde ou lieu des M pour la
charge fictive qui produit les dérivées des éléments. En
effet, la courbe p est déjà l'intégrale première de la charge
fictive; le lieu des K est donc l'intégrale seconde de la
charge fictive; les discontinuités du lieu des E représentent
précisément les discontinuités du lieu des M produites par
les couples isolés tels que P.
86 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICB),
Supposons que la charge mobile comprenne un couple isolé AM; en déplaçant la poutre de du, on introduit une surface des M égale à àMdu ; en divisant par du^ on trouve une surface AM concentrée en un point; il en résulte un A/2 brusque égal à AM, si on prend e=s 1. La ligne des M avec ses discontinuités est donc encore la ligne des n. On peut considérer ce A>} comme produit par deux couples égaux, de sens contraire, infiniment grands et sollicitant deux sections infiniment voisines ou comme un système de trois forces en équilibre, infiniment grandes et infiniment voisines.
On trouverait de même qu'un Ay] mobile représente un Ay dans Tépure des dérivées.
En résumé, s'il s'agit d'une poutre droite à une ou plusieurs travées, il sufiSt de considérer les lignes des j9, des K, des M, des ^; ces lignes deviennent avec leurs discontinuités les lignes des dérivées
dK dM. dr\ dy du du du du
pourvu que l'on détermine les lignes de repère dans la nouvelle hypothèse.
Dans une poutre en arc, on sait que la ligne des pressions est une intégrale seconde de la charge, déterminée par les conditions de la déformation. On obtiendra les dérivées des éléments en traçant une ligne de pression fictive ; cette ligne est l'intégrale seconde de la charge fictive ; c'est donc l'intégrale première de la charge réelle.
Représentai ion. — • Soit(fig. 322) AB la poutre dans une position; un élément (K, M, y, t) est représenté par une courbe ADB. Menons deux parallèles quelconques âA'BB' ; la charge est supposée fixe ; en traçant des horizontales telles que A'B' on aura l'image de toutes les positions de la poutre par rapport à la charge. Pour chaque position A'B', on aura à considérer une courbe telle que
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDIOB). 3*7
A'D'B'; c*6st la courbe relative à une position de la poutre. Plaçons nous dans une section d{z = Bd) ; prenons dd^ comme ligne de repère ; la courbe DD' représente la variation de rëlëment coAsidéré dans une même section; c'est la dérivée de l'ordonnée de cette courbe que l'on trouve par le théorème que nous venons d'exposer; cette courbe est la courbe spéciale à une section. Plaçons-nous en un point de la charge, l'élément varie de Dd à E^e^; la courbe DE est la courbe spéciale à un point de la charge.
On peut encore considérer cette iSgure à un autre point de vue. L'élément Dd dont il s'agit de représenter la variation est une fonction de deux variables :
On peut la représenter par une surface. La figure tracée d'après les indications précédentes peut être considérée comme une perspective cavalière de cette surface. La variable u est portée perpendiculairement au plan de la figure, elle est représentée en vraie grandeur par la projection horizontale de la droite qui la représente en perspective.
La surface est formée de deux réseaux de courbes : les courbes ordinaires pour une position de la poutre et les courbes spéciales à une section. Les courbes spéciales à un point de la charge forment une troisième série de courbes ; mais ces courbes ne peuvent pas être représentées ; ces courbes ont pour perspectives des verticales telles que DE' ; la courbe DE est le rabattement de cette courbe DE'.
On peut facilement trouver la dérivée de la courbe DE ; on a pour toute courbe tracée sur la surface :
dû dt
dt = ^du + -T'dz.
du du
Pour rester au même point de la charge, on doit prendre :
(iSz=su-\-z = constante d'où du = — dz.
88 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE).
On a donc :
La dérivée de la courbe DE est donc :
dz du
Applications. — Le théorème de la charge dérivée permet de résoudre toutes les questions où il s'agit de chercher la fatigue maxima d'une poutre. Un certain nombre de questions de ce genre ont déjà été résolues; on retrouve immédiatement toutes les solutions déjà connues. On peut en outre aborder des problèmes de ce genre qui n'ont pas encore été examinés.
§ 2. — Charge quelconque sur une poutre sur
deux appuis.
765. Les dérivées. — Soient (fig. 323) EF la courbe des charges, AB l'intégrale première. La courbe AB est la
courbe des -=— quand on la rapporte à la ligne repère ordinaire des moments fléchissants, c* est-à-dire à la corde AB.
Au point D. on a : -^- = 0. L'épure des -z — s'obtient en
du du*
d*M rapportant la courbe EF à sa corde; on voit que-^ est
positif. Donc au point D le moment fléchissant passe par un maximum. Remarquons que les coefficients angulaires des cordes DA et DB sont égaux aux ordonnées moyennes de la courbe des charges pour les segments correspondants ; on retrouve ainsi le théorème suivant dû à M. Winkeleer : lorsque le moment fléchissant dans une section passe par un maximum, les charges moyennes à droite et à gauche de la section sont égales.
INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDIOE). 39
Soit CG la dérivée de la droite AB ; les -r- sont repré-
du
sentes par la courbe EF rapportée à cette droite CG. Aux
dK , d^K
points H et H', —==0. L^épure des ^-j- montre qu'en H
il 7 a maximum, et qu'en H' il y a minimum. L'ordonnée de la droite CG est la charge moyenne sur toute la poutre ; donc l'effort tranchant passe par un maximum ou un minimum dans les sections où la charge est égale à la charge moyenne.
Ces différentes propositions sont démontrées par des calculs assez longs dans un ouvrage de M. C. Nels intitulé : Der einfache Balken auf zwei Endûtzen.
766. Théorème de Barré. Si on reste au même point de la charge la dérivée du moment fléchissant est donnée parla formule (1) :
^M dM
