ZZ. T

c'est ce qu'il fallait démontrer.

II résulte de là un moyen de construire la tangente à la

42 INTÉGRATION ORAPHIQUE (aPPENDICe).

courbe TU ; le coefficient angulaire de cette tangente est l'ordonnée du point T'. Cette tangente peut aussi s'obtenir de la manière suivante. Pour passer de la position SR à une position infiniment voisine, on peut remplacer aux points S et R la ligne des M par ses deux tangentes; cela revient à remplacer la charge totale par sa résultante. Dans cette hypothèse le point T décrit une droite; cela résulte de la valeur de T, trouvée plus haut et de ce que R et S sont des fonctions linéaires de i^. On reconnait aussi cette pro-

priété en remarquant que — reste <K>nstant, dans cette

hypothèse. Cette droite se confond avec la tangente cherchée. On obtiendra cette droite en inscrivant dans l'angle SPR une corde quelconque ayant la poutre comme projection, et en déterminant sur cette corde la position de la section. Si en particulier on place la poutre dans deux positions, telles que les extrémités de la poutre viennent successivement se placer sous la force concentrée P, on trouve les points S', R' de la tangente cherchée. Les projections de S'V et de VR' sont respectivement les segments z^etl — z.

Le point de contact g de SR avec son enveloppe est le point où l'on a en restant au même point de la charge DM = 0. Il est donc donné par le théorème de Barré; les points je? et g sont symétriquement placés sur la corde SR. L'élément de Tenveloppe peut être considéré comme l'intégrale de l'ordonnée du point N ; si donc on déterminait la courbe décrite par le point N, l'enveloppe de la corde SR en serait l'intégrale. Dans le cas d'une force concentrée P, on démontre assez facilement que le point N décrit une droite XY; donc la droite SR enveloppe une parabole. On déduit de là toutes les propriétés de cette enveloppe et de leurs enveloppées.

Considérons les efforts tranchants. On obtiendra la repré-

dK, sentation des valeurs de -;— dans une section, en déplaçant

la poutre et en traçant les différentes positions de la droite GC. Un point de cette droite décrit une courbe; c'est

dK la ligne de repère spéciale à une section ; les — sont représentés par les ordonnées de la courbe p^ comptées à partir de cette ligne de repère spéciale. On pourrait trouver Teffort tranchant K par l'intégration d'une surface. On obtiendra aussi la représentation des valeurs de K pour une section, en déterminant les positions de la droite A'B' pour les diverses positions de la poutre. Le point de A'B' qui correspond à une section décrit une ligne de repère spéciale; les valeurs de K sont représentées par les ordonnées de la courbe A.MB comptées à partir de cette ligne de repère spéciale. Les différents points des droites GC décrivent des courbes identiques; il en est de même des courbes décrites par les points de A'B'. Il est facile de démontrer que celles-ci sont les intégrales des précédentes ; on vérifie ainsi que les deux manières de trouver les courbes spéciales des efforts tranchants dans une section conduisent au même résultat. De là résulte un moyen de mener la tangente à la ligne de repère spéciale des K; il suffit

dintégrer l'ordonnée de la ligne de repère des -= —

Or cette ordonnée est l'ordonnée de la droite GC; c'est la charge moyenne sur toute la poutre. Donc tous les points de A'B' décrivent des éléments parallèles à AB. Dans le cas d'une force isolée P, les points de A'B' décrivent des droites parallèles à AB. On obtient ces droites en prenant les positions F'Y et FX de la droite A'B'. De là résulte immédiatement la propriété annoncée que la droite N décrit la droite XY ; car le parallélogramme YAN A' reste semblable à lui-même ; donc le point N décrit une droite passant par le point Y. On démontre de même qu'elle passe par le point X.

76S. Valeurs mazlma. — On donne un certain nombre

44 INTÉGRATION GRAPHIQUE (APPENDICB).

de sections dans une poutre ; on demande de déterminer les valeurs maxima des moments fléchissants et efforts tranchants dans cette section.

1* On construit les lignes de repères spéciales aux sections données pour les valeurs de -^- » -^— ; les valeurs

du du

cherchées sont représentées par des aires.

2o On construit les lignes de repères spéciales pour les valeurs de K et de M ; on cherche les ordonnées maxima au moyen du compas, ou en redressant le lieu et en menant des tangentes horizontales.

3o La véritable méthode pratique est de tracer des fragments des lignes de repère spéciales pour les dérivées

-=— ott "T" ' dô manière à trouver les positions de la poutre

pour lesquelles les valeurs de M ou K passent par un maximum.

On trouve alors immédiatement ces valeurs sans qu'il soit nécessaire de construire les lignes de repère spéciales des M ou des K; on détermine immédiatement le seul point utile de ces lignes. Nous donnerons plus loin (770) un exemple de ce procédé.

On peut même se débarrasser de tracer les fragments de lignes de repère spéciales relatives aux dérivées. Pour une position de la poutre on trouve immédiatement le point D, où le moment fléchissant passe par un maximum. Il suffit de tracer la poutre dans un certain nombre de positions, de manière à obtenir un certain nombre de valeurs maxima de M. On peut construire la courbe des valeurs maxima. On raisonne de la même manière pour les efforts tranchants.

§3. — Charge parabolique sur une poutre sur

deux appuis.

769. Polygones dlniégratlon. Lorsque la courbe des charges est formée d'arcs paraboliques, on peut déterminer les intégrales au moyen de polygones d'intégration. Nous allons montrer que Ton peut aussi déterminer les lignes de repère spéciales par leurs polygones d'intégration»

Soient (fig. 324) : ABË la ligne des M ou intégrale seconde de la charge ; AE la corde dont la projection horizontale est la position ae de la poutre; c une section donnée de la poutre; Aa(3B, E6(pFles polygones d'intégration qui déterminent la ligne des M de A en B et de Ë en F. Supposons que les arcs AB et ËF aient une même projection horizontale h; supposons en outre que les deux polygones d'intégration aient le même nombre de côtés; s'il en était autrement, il serait facile d'obtenir deux polygones d'intégration réalisant ces conditions. Connaissant le polygone d'intégration d'un arc parabolique, on peut en effet en trouver un autre ayant plus ou moins d'étendue. Si les deux arcs paraboliques étaient de degrés difierents, on peut toujours considérer la parabole de degré inférieur comme un cas particulier d'une parabole de degré égal à celui de l'autre parabole et obtenir le polygone d'intégration qui correspond à cette nouvelle hypothèse (550). Gela étant, menons les cordes AE, ae^|3(p, BF; ces cordes ont pour projections certaines positions de la poutre. Marquons sur ces cordes les points C, y, d^ D dont les projections horizontales tombent aux diverses positions de la section considérée. Nous allonsdémont rer que le polygone C^^D est le polygone d'intégration qui détermine le lieu du point G, c'est-à-dire la ligne de repère spéciale des moments fléchissants qui se développent dans la section G.

Soient z == oc, l = ae; A, C, E les ordonnées des points A, C, E; on a :

Cette équation s^applique non seulement à la position ÂË, mais à toutes les positions que Ton obtient en déplaçant la poutre. Si on compte le déplacement u de la poutre, à partir de la position AË, on a :

A = M,(l^)" + M.«(l-?)-'ï+- On tire de là la valeur de C :

î V ÂJ+ 7 V-h) *+

Cette formule prouve que la courbe décrite par le point C est une parabole de degré n comme les paraboles AB et ËF et les ordonnées des polygones, d^intégration sont :

Ce sont précisément les ordonnées des points C, i, 7, D déterminés par la construction que nous avons proposée ; il est d'ailleurs évident que les abscisses des points C, y, d, D sont bien celles du polygone d'intégration cherché. Nous avons donc démontré la proposition que nous avions annoncée.

Occupons-nous des efforts tranchants. Pour la position AE, la ligne de repère des efforts tranchants est la droite A'Ë' dérivée de la corde AË. Prenons de la même manière les dérivées des cordes ae, (39, BD; la droite A'Ë' vient se placer en a'e', P'ç\ B'D'j le point C qui correspond à une

INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICe). 47

section z vient se placer en y' 5' D'. Nous allons démontrer que le polygone C'y'iî'D' est le polygone d'intégration du lieu décrit par le point C, c'est-à-dire la ligne spéciale de repère des efforts tranchants qui se développent dans la section z.

En effet, l'ordonnée du point C s'exprime par la formule :

En remplaçant E et A par leurs valeurs trouvées plus haut, on trouve :

No — Mo

/, u\ , N< — M, /. wV-*!^ ,

Donc le point G' décrit une parabole de degré n égal au degré des paraboles AB et EF; les sommets du polygone d'intégration de cette parabole ont pour ordonnées :

No — Mo N, — M<

etc.

Ce sont précisément les dérivées des droites AE^ ae, (3^, BF. Cela démontre la construction proposée. Ces deux théorèmes s'appliquent évidemment aux tracés des

courbes de repère spéciales relatives aux -r- et aux — ;

car le tracé de ces courbes de repère s'opère de la même manière. Il suffit d'appliquer les mêmes constructions à la

charge fictive -~> de prendre la courbe jt? comme intégrale

première et la courbe K comme intégrale seconde.

§ 4. — Train de charges uniformes sur une poutre

sur deux appuis.

770. Momeiils fléchissants. Un train est formé de trois locomotives de 50 tonnes, de 10 mètres de longueur

chaeund, suivies d'une suite indéfinie de waggons de 14 tonnes, de 7»,60 de longueur.

Assimilons ces charges à deux charges uniformément reparties : la première sera de 3 tonnes par mètre, la

seconde de -----= l\Sé par mètre courant. Ce train passe 7,60 * ^ ^

sur une poutre de 75°*' de longueur; on demande de déterminer la courbe des plus grands moments fléchissants.

Construisons d'abord l'épure des ^— • Soit ABCD l'intégrale première de la charge. Menons les cordes AC, BD, ayant pour projections les positions ac, bd de la poutre. Les lignes de repère spéciales sont évidemment des droites ; car le point A décrit une horizontale, le point B, une droite inclinée CD, soient deux paraboles l'une de degré 0, l'autre de degré un. Donc tout point a de AC décrit aussi une parabole de degré un, c'est-à-dire une droite oLctf.

Si nous considérons les sections qui divisent la poutre en 4 parties égales, nous trouvons les droites «a', |3|3', y/. Les points D, E, F où ces droites coupent la ligne des K déterminent les positions de la poutre pour lesquelles^ les moments fléchissants passent par un maximum dans ces sections. En rapportant les points F, E, D en /, e^ d, on trouve immédiatement les positions de la poutre. La courbe /<;^^ permet en outre de déterminer immédiatement la position de la poutre qui réalise dans une section donnée h le plus grand moment fléchissant. On trouve la position H'H".

Traçons l'intégrale seconde de la charge, inscrivons des cordes ayant pour projections les positions de la poutre déterminées comme il vient d'être dit; nous obtenons immédiatement les maxima des moments fléchissants dans les sections choisies et on trouve facilement le moment maximum dans une section quelconque. La courbe des plus grands moments fléchissants est alors déterminée par points.

INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPBNDICb). 49

On peut aussi déterminer les tangentes à cette courbe. Si en effet on construisait Iqs lignes des M pour la charge mobile, la poutre étant considérée comme fixe, on trouverait pour chaque position des paraboles ayant pour enveloppe la courbe cherchée; or la tangente à Tenveloppe se confond avec la tangente à l'enveloppée. On peut donc trouver la tangente à la courbe des plus grands moments fléchissants en utilisant les tangentes à la ligne des M^ intégrale seconde des charges. C'est ce qui explique les constructions indiquées sur la figure.

La courbe cftih nous permet d'étudier les positions du train et des sections où le moment maximum se produit. Considérons les positions de la poutre comprises entre hh et à' à''. La section se déplace de â/A\ ta tête du train est toujours en h. Donc on peut dire que si on place la tête du train sur Tappui de droite et si on fait mouvoir le train vers la gauche, la section où le maximum se produit se déplace plus vite que le train lui-même. Pour une position voisine de ac^ la section où le maximum se produit se trouve près des waggons, de telle sorte que la section où se produit le maximum passe de la tête du train au point de séparation des waggons et des locomotives, pendant que cette section passe de lappui de droite à l'appui de gauche.