ElTorts tranchants. L épure des—, montre

immédiatement que les maxima et minima de l'effort tranchant s'obtiennent dans les sections où la charge varie. Donc chacune des courbes limites est la courbe spéciale à un point de la charge et nous obtiendrons la dérivée du lieu par la formule du numéro 766 :

DK = -; --—= charge moyenne.

az du

Cette charge moyenne est la charg|e totale divisée par la longueur de la poutre. Nous obtiendrons une des courbes

50 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPBNDICe).

limites en suivant la tâte du train. Pour la construire, dessinons (âg. 326, âg. b) la ligne des charges pour le train renversé de manière à ce que la tête du train soit sur l'appui de gauche, intégrons cette ligne en partant de Tappui de gauche et en prenant une base d'intégration telle que l'on obtienne l'intégrale divisée par l, la figure montre immédiatement que Ton trouve la ligne des valeurs de la charge moyenne, ou la ligne des DK. En intégrant cette ligne HKL, on trouve deux arcs de parabole déterminés parle polygone MNPQ. C'est la courbe des plus grands efiforts tranchants négatifs. La courbe des plus grands efforts tranchants positifs est identique; on l'obtient aussi par une intégration ; si on fait mouvoir le train en sens inverse, on trouve deux autres courbes limites; ou ne conserve- que les parties extérieures de ces courbes ; dans le cas de la figure, c'est en suivant la tête du train que l'on trouve les limites supérieures et inférieures des efforts tranchants.

La détermination des courbes limites par une double intégration s'applique à une suite quelconque de charges uniformes. On renverse le train en plaçant le point de la charge que Ton suit, sur Tappui de droite et sur Tappui de gauche. On intègre les deux charges ainsi placées en partant des appuis. L'ordonnée comprise entre les deux intégrales est la charge totale; on intègre cette charge totale en divisant par l. C'est la courbe limite cherchée. Il faut déterminer directement un point de cette intégrale.

§ 5. — Train de forces isolées sur une poutre sur

deux appuis.

II». Dérivées. L'intégrale première (fig. 327) est une ligne à gradins. Menons la corde A'B', dont la projection horizontale soit une position de la poutre; nous obtenons

l'épure des — pour cette position. Faisons mouvoir la

INTÉaRATION GRAPHIQUE (aPPBNDIOB). 51

poutre; le point G' de la corde A'B' décrit une ligne à gradins; on obtiendra donc les M dans une section en intégrant l'ordonnée comprise entre deux lignes à gradins, donc la ligne des moments fléchissants qui se développent dans une section est une ligne polygonale.

Considérons tout particulièrement la section qui correspond au point F'; ce point F' décrit un côté de la ligne des K. Donc les ordonnées qu'il faut intégrer pour obtenir le moment fléchissant dans cette section sont égales à zéro ; donc le moment reste constant pour un certain déplacement. Soit AFB le polygone des M. Si la poutre reste immobile, et si le train se déplace, le moment fléchissant dans la section qui est la projection du point F' ou du point F ne change pas ; donc le point F est un pivot du côté mobile du lieu des moments fléchissants. On voit que le théorème des charges dérivées nous donne immédiatement la propriété du numéro 563 et la construction des abscisses des pivots.

On obtient Tépurè des -^ en prenant la dérivée de la

aorde A'B' ; on trouve :

dK du

Il résulte de là que la ligne des efforts tranchants qui se développent dans une section est un polygone ; on reconnaît immédiatement que quand la section passe sous une force isolée, l'effort tranchant varie brusquement d'une quantité égale à cette force.

77S. Lignes spéciales à une section. — 1"^ On obtiendrait le polygone des moments fléchissants qui se développent dans une section en intégrant les ordonnées qui

repésentent les -=— • On peut considérer ce polygone comme

le lieu des moments fléchissants dû à certaines forces fixes faciles à déterminer*

52 INTÉaRATlON GRA.PHIQÎUB ( APPENDICE).

2^ M. l'ingënidur Modigliaao a indiqué un autre moyen de construire ces polygones dans une note qu'il a publiée dans le Politecfîîco de janvier-février 1880, Il consiste à étudier séparément l'effet de chaque force (le polygone est alors la ligne d'influence) et à superposer les résultats.

3*» Si on fait mouvoir la poutre, la corde AB se déplace ; un point G décrit un polygone ; on trouve les sommets de ce polygone en plaçant la poutre dans les positions pour lesquelles Tun des appuis tombe sous une force. C'est à M. Wittmann, professeur à Técole polytechnique de Munich que l'on doit cette méthode (Zeitschrift der bayerischen Architecten und Ingénieur Vereins, 1877).

On peut appliquer ces différentes méthodes aux efforts tranchants; les lignes de repère spéciales des E ou des

— - sont alors des polygones identiques.

ud

774. IHonienls fléetaissants maxlma. — En appliquant les méthodes précédentes, on détermine facilement le plus grand moment fléchissant qui se développe dans une section donnée. Mais il est surtout utile de tracer la courbe des moments fléchissants maxima; nous avons exposé au numéro 565 une méthode(i) qui permet de tracer

(1) Nous avons imaginé cette méthode en 1872. Nous Tavons exposée dans une note que nous avons remise à notre savant professeur M. Boudin. I^'année suivante, tous les élèves ingénieurs de notre promotion l'ont employée.

Nous avons fait remarquer au numéro 566 que Ton obtient les paraboles limites en supposant que la poutre supporte une charge uniforme Hq, accompagnée de charges négatives isolées q^ passant par les pivots. Il nous est revenu qu'on avait cherché à démontarer cette proposition par l'analyse. Ce n'est pas de cette fiiçon que nous l'avons trouvée. Introduisons la charge 2q et des forces isolées indéterminées aux pivots. Concentrons les charges sur les pivots et sur les lignes d'action des forces du train dans une position quelconque. Exprimons que les charges concentrées aux pivots sont nulles, nous trouverons non seulement la valeur des forces fictives qc, mais nous démontrerons d'une manière très-élégante l'existence des pivots du polygone des moments fléchissants dus au train.

INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPBNDICE). 53

directement cette courbe sans qu'il soit nécessaire de construire les lignes des moments spéciaux à une section. La méthode que nous avons exposée suffit au point de vue pra^ tique, mais au point de vue théorique, le théorème des charges dérivées permet de la compléter.

Reprenons le problème du numéro 770, mais en supposant les charges concentrées, comme l'indique la figure 328. Soit ÂB la poutre ; portons à partir du point B et bout à bout les forces du train, 1, 2, 3.., 23, 24... etc., et joignons les extrémités de ces forces au point B ; nous obtenons une épure qui donne les abscisses des pivots du lieu des M pour les différents systèmes de forces que nous avons à considérer.

Remarquons que pour un système de forces, les plus grands moments fléchissants sont les ordonnées d'arcs paraboliques que Ton détermine par trois points; mais comme il faut considérer différents systèmes de forces, la courbe des plus grands moments est formée par les arcs paraboliques qui dépassent les autres. Nous nous sommes bornés à dire que, en construisant Tépure, on voyait immédiatement les paraboles limites et que l'on ne traçait effectivement que celles-là.

Voici qu'elles sont les paraboles limites dans le cas de la fig. 328. On réalise les plus grands moments fléchissants près de l'appui A, en plaçant la tête du train en A. On déplace le train vers la gauche, la section où le plus grand moment fléchissant se produit, suit la première force du train. On aura donc à construire un premier arc parabolique; la projection de cet arc s'étend du point A au point B qui est le pivot du second côté. A partir du point B la parabole de la première force passe sous la parabole de la seconde; donc quand la première force est en B, on fait reculer le train jusqu'à ce que la seconde force vienne en B, et alors on fait mouvoir le train vers la gauche et la section du plus grand moment fléchissant suit la seconde force. Si on représente la position des charges sur un bande de papier,

54 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE).

on s'aperçoit que quand la seconde force vient en a, la force 24 s'échappe du train. Donc la seconde parabole limite s'étend de B au point a; en a il y a un point angulaire. La troisième parabole limite s'étend du point a au pivot G du second côté du lieu des M ; on remarquera que le point G se trouve sur la droite qui joint le point A à l'extrémité de la force 23 et non sur la droite AB prolongée. On trouve de même qu'en p la force 23 s'échappe du train, qu'au point D le train doit reculer vers la droite et que la section du plus grand moment suit la troisième force, qu'au point y la force 22 s'échappe du train ; mais au point E une difficulté se présente. Le point E est le pivot pour le train formé des 21 premières forces ; on est amené à reculer le train vers la droite jusqu'au moment où la force 5 vient se placer en E; mais on reconnaît alors que la force 22 réapparaît sur la poutre. Si on considérait le train de 22 forces, le pivot serait le point E^ Il est facile de voir que le point où la force 5 doit se substituer à la force 4 est un certain point E'' compris entre les points E et E'.

Soient (flg. 331) By la parabole —, c'est-à-dire la parabole relative à la force 4 du train des 22 premières forces,

yE la parabole — , EF la parabole — . Ramenons la force

5 vers le point E, on trouve en y un point angulaire pro-

duit par la rentrée de la force 22, et la parabole — en y'E'.

On voit que la courbe limite est formée des paraboles :

Le point angulaire qui sépare les paraboles — et — est

le point E". Ce point est compris entre le point E inter-

section des paraboles — et —et le point E' intersection des

paraboles 55 ®t 05 • ^^ ^^^^^ V^ possible de le déterminer par

une construction linéaire, car ce point E" est l'intersection de deux paraboles de paramètres différents ; donc il dépend d*une équation du second degré. Ce point s'obtiendra en

prolongeant les deux paraboles— et — •

Reprenons la figure 328. Lorsque la force 5 est en y', la force 22 s'échappe. Au point D la force 6 se substitue à la force 5 et on continue de la même manière. Le point de passage de la force 8 à la force 9 donne lieu à la même difficulté que le point de passage de la force 5 à la force 4.

Si l'on compare le mouvement du train de forces isolées, au mouvement du train de charges uniformes, que nous avons étudié au numéro 770, on trouve dans les deux cas, que, pour déplacer la section du plus grand moment fléchissant de l'appui de droite vers l'appui de gauche, le train dans sa marche générale marche moins vite que cette section ou ce qui revient au même il y a par rapport à cette section recul du train vers la droite. Dans le cas de la charge continue ce mouvement de recul est continu ; dans le cas des forces isolées, le train se déplace avec la même vitesse que la section du plus grand moment, mais en certains points, il y a un recul brusque du train vers la droite. Ce recul change la force qui se trouve dans la section du plus grand moment ; ces mouvements de recul se produisent généralement sur des pivots du lieu des M, mais quelquefois en des points moins faciles à déterminer.

Nous affirmons que les arcs paraboliques déterminés comme il vient d'être dit, constituent la courbe limite, parce que si l'on fait l'épure, on voit immédiatement que ces arcs paraboliques dépassent les autres. Il peut être utile de déterminer les courbes limites d'une manière plus rigoureuse au point de vue mathématique. On pourrait d'abord appliquer les méthodes de M. Modigliano ou de M. Witmann pour

déterminer dans difiPérentes régions la force qui produit le

plus grand moment fléchissant; mais cela conduirait à de

longues opérations. Nous allons résoudre la question en

utilisant le théorème des charges dérivées.

Traçons (flg. 320) l'intégrale première des charges;

menons une corde ÂL ayant pour projection horizontale

Tune des positions de la poutre. Faisons mouvoir cette

corde vers la droite en traçant les positions particulières

où une force s échappe de la poutre. En suivant un point

dM de cette corde, on obtient la ligne de repère des -r— dans

du

cette section. Selon que ces lignes coupent les forces 1,2,3... ce seront les forces 1, 2, 3... qui passeront sur ces sections lorsque le moment fléchissant prendra sa plus grande valeur.

On reconnaît par exemple que tous les points de AB décrivent des lignes horizontales qui coupent la force 1 . Les trajectoires complètes de ces points sont des lignes à gradins, mais il n'est pas nécessaire de les prolonger très-loin pour voir que c'est sous la force 1 que le moment fléchissant est le plus grand. On trouve de la même façon les segments B'G, CD, etc., où les forces 2, 3... réalisent le maximum. Les lignes pointillées sont les lignes qui limitent ces difiérents segments.

On peut même déterminer, à priori, les points de passage difficiles dont nous avons déjà constaté l'existence. Le point E est un de ces points ; il décrit une ligne à gradins qui coupe à la fois la force 5 et la force 4. Le moment fléchissant dans cette section passe par un maximum sous les forces 5 et 4; il y a un minimum intermédiaire. Le point E est déterminé de telle façon que ces deux maxima soient ^aux.

Pour les sections situées à droite du point E c'est la force 4 qui donne le plus grand maximum ; pour les sections situées à gauche, c'est au contraire la force 5.

Lorsque cette section E passe de le force 5 à la force 4,

INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE). 67

la force 22 s'échappe de la poutre. Si plusieurs forces s'échappaient de la poutre, nous remplacerions ces forces par leurs résultantes, les deux maxima qu'il faut égaler ne changeraient pas; le problème serait simplifié. Dans cette hypothèse la ligne EË' ne présentera qu'un gradin; nous rayons représentée fig. 320. Les droites Oc et Od sont les positions de la corde du lieu des K, au moment ou la force22 s'échappe de la poutre.

Les deux maxima du moment fléchissant seront égaux si Ton a :

aire aEdi = aire icE'b ou

ci ai

id ib'

La droite Oi doit satisfaire à deux conditions : !<" elle passe par le point 0; 2<> elle divise les droites ab et a'b' dans le même rapport, car on a :

a^i' ci ai

Vh' id ib

En vertu de la seconde condition, la droite u' enveloppe une parabole; le problème est ramené à mener du point une tangente à cette parabole. On pourrait déduire de là une détermination exacte de la droite 0^, mais cette construction est peu pratique, parce que cette construction donnerait à la fois les deux points d'intersection des para-

4 5 boles ^ ^t "50 • Oï* l^s paraboles ont des paramètres peu

différents, l'un des points d'intersection s'éloigne à une grande distance.

On obtiendra un résultat très approché si on mène à l'enveloppe des droites ii\ une tangente parallèle à Oc, une tangente parallèle à 0^, et si on prend la moyenne des résultats. Si on suppose ii parallèle à Ot;, on a :

a"t ai

'W^ïb'

58 INTÉGRATION GRAPHIQUE (aPPENDICE).

De là résulte une construction simple du point i. Une construction du même genre s'applique au cas où on suppose W parallèle à 0^. Les deux points que Ton trouve diffèrent à peine. C'est ce qui justifie le procédé.

En résumé, on voit qu'il est possible de déterminer à priori les différents segments de la poutre ou les maxima des moments fléchissants se produisent sous les différentes forces. Pour tracer les arcs paraboliques qui constituent la courbe limite, il sufSt de tracer un lieu des M pour le train de force indéfini; ce lieu convient pour tous les systèmes de forces : 1 à 24, 1 à 23, etc. , si on déplace la ligne de repère. On détermine chaque parabole utile par trois points, deux pivots et un sommet. On corrige au compas les ordonnées de ces points de manière à ramener les lieux à une ligne de repère unique. Dans ces conditions on ne trace que les lignes utiles. On trace les paraboles par les constructions données aux numéros 85à 90.

775. ElTorto trancliaiit» maxlma. — C'est en suivant la première force que Ton trouvera généralement les plus grands ^fforts tranchants négatifs On peut obtenir la ligne limite en plaçant la première force sur l'appui de gauche et en renversant le train ; l'intégrale seconde des forces est le lieu cherché. On arrive à cette construction, qui est au fond, celle du numéro 565, en raisonnant comme au numéro 771. On opère de même lorsqu'il faut suivre d'autres forces.

§ VI. Poutres prismatiques.