RAYON DE COURBURE

L’expression du rayon de courbure est, en regardant dx comme constant: • , •. v

MjrîV.S.

iü.

Or, la valeur f> on de tang 9 en un point qüelconquc cf t*n arc de trajectoire et celle de j - , qui ont été données (i i et t3),

étant substituées dans la valeur de y. on aura en un point dont l’abscisse est . •.••• '* <

Ce rayon de courbure appartient i un arc d’une trajectoire qui diffère un peu de la véritable en ce que, dan» l’expression de la résistance de l’air, on a remplacé le rapport variable —par

le rapport moyen - ou a. Mai» si Ton suppose l’arc extrêmement

petit , auquel cas a devra être remplacé par — — , les deux ares se confondront, et au point de départ, pour lequel on a x—o, (*, V,) == i, on aura simplement:

y — ( i -t- tang * ?)’ j

a A * cos ^

Ce rayon est ainsi indépendant de la résistance de l’air : il ne dépend que de la vitesse et de l’inclinaison au point donné 1 ; il appartient aussi i la parabole, qui est ainsi osculatrice à ta véritable trajectoire. Du côté de la branche ascendante, où la vitesse va en croissant jusqu’à, devenir infinie , le rayon de courbure , étant proportionnel à h, serait infini, ce qui est la propriété de l’asymptote; du côté de la branche descendante , où va en augmentant jusqu'à devenir un angle droit, tang <p devient infini : y est donc infini aussi. Entre ce» deux limites , il doit y avoir un point où le rayon de courbure est un minimum; pour connaître ce point, il faudrait considérer l’arc qui comprend les portions voisines du sommet et pour lequel <p et V devraient être déterminés , prendre la différentielle par rapport à x et l'égaler à zéro. On sursit ainsi une relation qui servirait à déterminer x, mais cette expression serait trop compliquée ; d’ailleurs, la valeur de P étant petite, l’arc de trajectoire approchée s'éloignerait très-peu de la trajec-.

. 1 Ce résultat pourrait être obtenu directement a priori, toit par dot cousidt rations feomé triques, soit comme conséquente de l'équation (â).

toire exacte ; il en serait de même de la position du point

cherché'. • *