RAPPORT C-CH ARC A SA PROJECTIOI

Dans l’équation que nous avons obtenue pour représenter un arc de la trajectoire, est entré le rapport a de l’arc à sa projection pour remplacer, dans l’expression de la résistance de l’air, le rapport moyen ds k dx; cherchons ce rapport.

Considérons un arc AM commençant sous l'inclinaison <p et

terminé sous l’angle p ; comparons cet arc à celui d’une parabole Am, qui appartiendrait au mouvement dans le vide, commençant et finissant sous les mêmes inclinaisons; choisissons sur l’un et sur l’autre des points rapprochés B, C, D,... 4, c, d... où tes inclinaisons soient respectivement les mêmes: nous aurons ainsi décomposé les deux arcs en éléments AB, BC', CD.!. A b. bc, cd... commençant et finissant sous les mêmes inclinaisons et ayant respectivement la même inclinaison moyenne. Le rapport ' entre deux petits arcs correspondants, tels que DE, de et leurs projections DE', de', sera sensiblement le même. A l’ofigme les arcs élémentaires de la parabole et de la trajectoire aurtmt des * longueurs égales , à l’autre extrémité les arcs de parabole auront un peu plus d’étendue; mais la différence sera très-faible, êt d’autant plus faible que la résistance de l’air se fera moins sentir. Les rapports entre les arcs élémentaires et leurs projections étant respectivement les mêmes, il y aura donc, à très-peu près, éga-

* Non* indiqueront, dans un autre travail , qd tra<d de la trajectoire qui donna le minimum de vitaaae et la minimum do rayon de courbure. *--/'**•

• SUR LA BALISTIQUE. i 37

lité de rapport entre les sommes de ces éléments on entre les arcs AM, Km et leurs projections AM', Am'. Cherchons ce rapport dans la parabole. *

L’équation de celte courbe et celle de l'inclinaison en un point quelconque étant

,=*ta ngf-jj^ et p~%= t«g la longueur d’un arc s sera

d’où, en observant que dp ■■

*fc COS 1 £

, on aura :

i=i écos* ç Jy/i-f-p* dp. * -•

En intégrant cette quantité, on trouvera par les procédés

connus ,

J dp\J r-t-p’— ^ | p V »-+-p* + log (/>•+- V/ i-+-p’) | -t-const.

Cette expression peut prendre une autre forme, en remarquant que p = tang 0, que j-+-p* = séc 6 = , enfin que

p -4- V ' -h-P’ = tang ô -h- séc #== = taOg (45»-+- f 6 ).

On aura ainsi, en prenant "intégrale de façon quelle soit nulle pour p= o, c’est-à-dire en comptant l'arc, à partir du * sommet, ; - .

/ Ms >-+V =îj^-*-

Désignant, pour simplifier, par la caractéristique ? la fonction ■de 0, c’est-à-dire écrivant ’ .

il en résultera que la longueur d'un arc compris entre les points .Où les inclinaisons sont p et 8, sera . .

sz= ihco&'Ç | — £ (0) ) ,

et pour te rapport cherché d e t k x, observant que, d'après l’équation de la parabole x = (tang <p — tang <?) a A cos’ <p , on aura

«ou -= —

i Itngf— taag«

On trouvera de la même manière:

■T. jfuogîe— Uns 1 ®) ; (UngP-*- ttn(O)'

■ Lorsque l'on considérera un arc compris entre le point de départ et le sommet, il faudra faire 0=o , ce qui donnera £(0)= 1 = 0 , et l’on aura simplement '.•■■■ ■."..4 . • • . ■ r "

ce rapport, désigné par a, deviendra

a= -j séc <p -+- f cot Ç log (45*-+~j 0).

Nous donnons ici une table des valeurs de «, pourdçs intervalles de 5*, de i o° et de 1 5°; nous y joignons celle des valeurs fie ?(p) calculées par Euler 1 , et celle des valeurs de a calculées ■par Bezout*. ' • ; ' ‘

V Mimoirts de r Académie de Berlin, année 17$$.

Cours d* mathématiques, année 1788. , /•*,»' T,.' , * 4 ' t

TABLE DES VALEURS DE É (£} ET DE a DE DEGRÉS EN DEGRÉS, DEPUIS O* JtSQL’À 90* , ET DES VALEURS DE « POUR DES ARCS DR 5', DE 10* ET DE I 5\ DEPUIS T)* JOSQtJ»! 6o*. '•

i.nrr»* 1 . 1984896 1 2:.20U5 1 . 3056253 1 M 88103 1.4323614 1.5001910 1 . 5725657 1 .6499519 1.75291W»

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