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21 . CHOIX DU POINTS DS DIVISION D'UNE TRAJECTOIRE EN PLUSIEURS PARTIES.

Si l’on examine les valeurs de a, on verra que quand les angles sont tris-petits, comme de o° à 5 °, le rapport de l’arc A sa projection ne dopasse l’unité que de — ~ environ ; que, pour un angle de i o® à o®, l’arc ne surpasse sa projection que de environ, et qu’enfin pour des angles de 1 5 °, limite des angles de tir des canons et des obusiers, l’arc ne surpasse sa projection que de o,oi 180075 environ. . .

Le rapport variable — n’est remplacé par sa valeur moyenne -

que dans les termes qui tiennent compte de la résistance de l'air, puisqu’il n’y entre que comme diviseur de c et comme diviseur de r. L’erreur que l’on commet par cette substitution ne peut donc affecter que l'influence attribuée, au milieu résistant; elle est du même genre que toutes les eauses qui font varier la résistance de l’air, telle que sa densité, et, sous ce rapport, on peut voir que , même en négligeant entièrement la valeur de a dans le tir sous l’angle de 1 5 ®, c’est comme si c était augmenté de — de sa valeur, ou si la pression barométrique de l’air était réduite d'une pareille fraction, c’est-à-dire de 8 A 9 millimètres de hauteur de mercure; c’est une quantité qu’on néglige habituellement dans les applications. , ,

On ne pourrait plus négliger la valeur de l’inclinaison de la trajectoire dans Jes arcs plus grands; mais il sera permis, comme

nous l’avons fait, de remplacer la valeur variable de — par sa

valeur moyenne.-. . r . **

Pour faire voir l’étendue des erreurs que l’on commet, comparons cette moyenne avec les valeurs extrêmes, sur des arcs de différentes grandeurs et de différentes inclinaisons, en remarquant qu'aux extrémités — n’est autre que la sécante trigonoroétriquç des angles sous lesquels ils se terminent. \ • . .

SUR LA BALISTIQUE. 4t

Cette comparaison est établie dans le tableau suivant, depuis o° jusqu'à 6o° : i * pour des arcs de 5 en 5 degrés ; 2 ° pour -des arcs de io # en i o*; 3“ pour des arcs de i 5° en i 5°^ 4° pour des arcs entiers variant par 5 degrés.

TABLEAU Dtl RAPPORT DES ARCS DE PARABOLE X LEIÿS PROJECT IOKS.

D’après l'inspection des nombres contenus duçs ce tableau, on voit que la différence entre la valeur moyenne de — pour des

arcs de même étendue diffère d’autant moins des valeurs extrêmes, que r'mdinaison par rapport à l’horizontale est plus petite. On voit aussi que, pour que les différences restent égales , tes arcs doivent avoir d’autant moins d'étendue, qu’ils s'écartent davan-

luge 4e l'horiiontale : ainsi C8tte différence sera de »/a6 pour Je* arcs de o° è a o», de a o* à 3o®, de 4o° 4 45’; «Ile sera de 1/1 7 pour lesarcsde ô° à aS°, pour ceux de 1 5 à 3o*\ de 3o* à 4o° et ae 5a° à 55°; enfin, elle serait de, 1/10 environ pour les angles de o* à 3o°, de 3o° à 45°, de 56° à 6o°; elle n’est encore que de 1/6 environ pour l’arc de o° à 46". Ces quantités ne sont que les différences les plus grandes et elles sc rapportent aux extrémités de l’arc; mais comme, vers le milieu de chaque arc la différente èst nulle, il s'ensuit qhe la différence de ^ à ■£ n’est moyennement que la moitié des fractions que nous avons indiquées.

Si fou remarque de plus que ces différences ortlre la valeur

* v • . * A* A' . -yllâ t

moyenne et les valeurs extrêmes de — sont d’abord en moins et ensuite en plus, on verra qu’on prend au commencement une résistance trop faible et à la fin une. résistance trop forte, et qu’on altère l’arc d’abord dans un sens, puis dans l’autre; mais comme la valeur moyenne est la même, on voit que, tant qu’on reste dans de certaines limites, les erreurs partielles se compenseront, à peu de chose près, sur l’arc tout entier. . •

Cependant, comme à la partie inférieure des arcs, dans la branche ascendante, la vitesse est plus grande qu’à la partie supérieure, c’est comme si on prenait la résistance trop faible; la même chose se présentant dans la branche descendante , il s’ensuit qu’en réalité les portées seront un peu trop grandes. On remarquera aussi que la formule de la portion qui comprend l’angle o" est commune à la branclie ascendante et & la branêhe descendante, de sorte- qu’elle comprend un nombre de degrés double do celui qui est indiqué par les angles limites.

Lorsque les vitesses initiales ne seront pas considérables, et qüc les projectiles seront de fort calibré et de grande densité, comme dans le tir ordinaire des bombes; l’angle de projection ne dépasse pas habituellement 45°, ni les portées 1000 A 1 aoo métrés, l'influence de la résistance de l’air sera assez faible pour qu'on puisse embrasser toute la trajectoire dans une seule formule.

en prenant la valeur convenable de a; dans ce cas, le plus grand écart* de la valeur de relativement au rapport moyen, est de

a/i i en moins au commencement du trajet et vers le point de chute, et de 1/7 en plus vers le sommet de la trajectoire, ha simplification ayant pour effet de rendre la résistance trop faible au point de départ et vers le point de chute, et trop forte au sorti met, il en résultera une trajectoire qui passera au-dessus de la véritable, à partir du point de départ, et qui passera ensuite au-dessous dans la partie supérieure ; elle s’en rapprochera dans la branche descendante, de façon que, vers le point de chute, il n'y aura qu’une faible différence. En résumé, l’étendue des arcs que Ton pourra embrasser dépendra du degré de précision qu’on voudra obtenir. Pour lé tir habituel sous 45”, en particulier, lorsqu'on voudra ude précision extrêmement grande et que, dans aucun point, le rapport moyen de l’arc à sa projection ne s'écarte du rapport exact de jilus de i/a5, les arcs devront être jîris ainsi qu’il suit : de 45° à 4o°, dd 4o® h .1 5°, de 3 5° A 3o®, de So* i 20® et de 10' à o?, ce. qui fera y arcs distincts; et lorsqu’on voudra que la différence entre le rapport moyen et le rapport exact ne soit que de t/i€, les arcs seront divisés.ain$i qu’il suit ; de 45® à 35°, de 35“ à 2 5®, de a5° à o", ce qui fera 5 arcs distincts. Lorsqu’on voudra une grande précision et que les rapports ne différent que de 1/12, on embrassera les -arcs de 45» à 3o® et de 3o“é o®; ce qui fera 3 arcs distincts. Enfin, lorsqu’on admettra de* différences de i/G, on pourra embrasser la trajectoire dans un seul arc do 4>>®: ce sera le cas du tir bnbitnel des bombes avec des vitesses médiocres. On peut reconnaître le degré d'approximation qu’on obtient dans un cas donné par le calcul déjà trajectoire en la considérant comme un seul arc, puis la décomposant en 3 arcs, puis en 9 arcs, etcalculanf chaque arc séparément, comme on va 4e dire. »

«•' iv ) qv 4* v4 * »r-tfc "*•»» '*t‘f *«n #V •* »

22 . VALEUR DE LA PROJECTION D'UN ARC EN FONCTION DES INCLINAISONS . EXTRÊMES.

Dans la manière d'opèrer que Ton vient d’indiquer, on divise la trajectoire en plusieurs arcs, en se donnant l’inclinaison aux deux extrémités de chacun deux; on en déduit immédiatement la valeur du rapport a: la projection ai de cet arc sera déterminée par la relation

if- {** V,) =s= tang lang 6.

Mais x se trouvant dans la fonction \fr‘ (x, V,) en exponentielle en même temps qu’à la première puissance, on ne peut l’en déduire que par approximation, soit par plusieurs essais successifs, soit en développant la fonction en série et revenant à la valeur de sc par le retour des suites-; la première manière présentera beaucoup de facilité en disposant ainsi l’équation :

— [x, V.) = (tang? — tang 6) ih cos*?“. '

Connaissant a d’après les angles ? et 8, prenant la valeur numérique du second membre, qui , à l’exception du facteur^, n’est autre que la valeur qu’on aurait pour x dans le vide , et déterminant — , on prendra plusieurs valeurs successives de”, d’où l’on déduira pour chacune d’elles les valeurs correspondantes’ de la fonction 4'' (x, V,); on en fera le produit, et lorsqu’on aura deur produits rapprochés qui comprendront les valeurs du second membre, la valeur exacte de — s'obtiendra par les parties proportionnelles entre les différences.

Cette opération devient trèa-faciie au moyen d’une table cal-

rV ftV —

culée de la fonction pour des valeurs de — , — 1*.

1 J'ai douai cas table» dm* mon mémoire *ur U balistique, adressé an ministre de la

SUR LA BALISTIQUE. 4i

Pour obtenir ia valeur de x en série, développons dans le deuxième membre la fonction et les valeurs de F j,F' (~) • faisons (tang? — tangfi) a A cos’P=i', qui serait, comme on l’a dit, l'abscisse dans le vide ; représentons, pour abréger, ~ paT l.

nous aurons

- ns U (• +1») (=)’ + thî C+*)('+ï‘) (“)•

de là, paries formules connues du relourdes suites, on 'trouvera la valeur de — en fonction de — , puis celle de x comme il suit :

, •*' i+t j 4-t-5t a i i -+- 63.4 io.f / ax' \»

•* ,• * > 91 + 7 1 34 +1 i 4 oi* 4 - 5io4‘ /«\î \

ûT (—j -+- e ! c j-

Si l’on supposait la résistance simplement proportionnelle au carré de k vitesse, alors ~ et, par conséquent, —^ou l, seraient égaux à séro , et l’on aurait : - 1 • •

>•* {(»»• Iju Vf «p 'f V

^Cette expression sera d’autant plus convergente que — sera pins petit. Il en sera de même de la formule précédente parce qu’en générai, dans l’application, la valeur de A où — sera plus

petite que l’unité. On sera d’ailleurs toujours le maître dé consi-

y lVZJjL. “** S»’ + > * v T' ' '

ju«rr« e* m«i 1 844 ; dles «eront comprise!, ainsi qoe bceucoup d'autres , dans un traité dont la publication a iti jngéa utile par le comité dp l'artHlerie. Vous eu doanou, pl v » loi. on

dérer de* arcs assez petits pour que la fraction — le soit assez elle-même et qn’elle rende la série suffisamment convergente; mais, daus presque tou* lys cas, au moyen des tables des valeurs de f (*, V,), la méthode par différence que nous avons indiquée en premier lieu sera beancoup plus rapide.