CALCUL DES ARCS

, .Maintenant, montrons comment, on devra se servir des diverses formule,* pour résoudre le problème de la trajectôiré dans une application donnée . t

Supposons qu’on connaisse l’angle de projection ? etla vitesse initiale V dont est animé un projectile de diamètre et de poids connus, pour lequel on connaît ainsi la valeur de c. Si la valeur de est de 45° et que l’on veuille obtenir une grande précision ,

Fie. 3.

on divisera la trajectoire en trois arcs ; on les choisira ainsi : le premier, de 45° à 3o*de la branche ascendante ; de second, de 3n° de la branche ascendante jusqu'à 3o° de la brandie descendante; le troisième, de 3o° à 45® et au point de chute. On opérera de la manière suivante •

i° On déterminera les valeurs de a, qui seront pour le premier etde troisième arc * 1

, ■ , î<»oq '

— i ,3772 et pour le 2 e , a = — — ; = i °53 1

tang 45* — *• uu»g 3o*

3® Dans l’équation , .... ’ ,

tang 6 — tang? — +' (*. V,),

on posera ^ =45®, J=3o®, V, =■ VcosQ, 2 Acos*^üs j, et on

Sün LA BALISTIQUE. 47

déterminera la valeur de x , qui y satisfait: ce sera l'abscisse *' de l'extrémité du premier arc. • »■

3* Au moyen de x' et Je la formule

/«^UDgÇ— V.),

on déterminera la valeur de y, ou l’ordonnée du point m - . 4° • Ou aura la composante horizontale V/ de la vitesse du projectile À l’extrémité *»’ de l’arc, au moyen de la formule

S" On aura ta durée du trajet par la formule

Le premier arc Ajri est ainsi complètement déterminé.

Pour déterminer le deuxième arc m'in on opérera absolument de la même manière, en faisant ? = 3o°, 0:= — 3o°, et eu remplaçant V, par la valeur de Vj'. On obtiendra ainsi les coordonnées x", y°, du point de la branche descendante de la trajectoire où l’inclinaison est <Q’ = — 3o°; on en déduira ensuite la composante horizontale de la vitesse V,' et la durée

Pour déterminer le troisième arc m’m"’, on fera ç=s= — 3o u et 0 = — 45°, et au moyen de la nouvelle valeur V,', on aura, ainsi que précédemment, les -coordonnées x’ et y" dii point de la branche-descendante de la trajectoire où l’inclinaison est de 45° (y*.« sera négative). On déterminera aussi là valeur dé Y," et la durée f Ce dernier point m" sera toujours plus élevé que le point de départ; et si l’on vent obtenir le point de chute sur un plan KL situé à une certaine hauteur B au-dessus du point de départ, ou devra encore faire une dernière opération.

L’élévation dit dernier point au-dessus du plan de chute est égale à y' -f- / *+- y" B. Cëttè quantité pourra être positive

18 SLR LA BALISTIQUE

ou négative : si elle est négative, c'est que le poiut de chute est plus élevé que le dernier point m" ; il fait donc partie du dernier arc, et il faudra faire y = y -f-'y' ■> — B dans l'équation

y=xtaugp — — — — (x, V,) qui s’y rapporte, et déterminer la

valeur de x qui y satisfait. On pourra trouver la valeur de x soit en série, par lé moyen du retour des suites, comme on va le dire , soit au moyen des taille» des fonctions ^ et des parties proportionnelles, comme on l’a indiqué plus haut; on trouvera paries formules précédentes les valeurs de v, 6 et t qui y correspondent.

Si y'H-y'-t-y" — B est positif, le point de chute sera situé en dehors du troisième arc; s’4 doit être peu éloigné de ni' , on le regardera comme sur le prolongement de ce troisième arc et on le calculera comme on vient de le dire; niais s’il doit en être trèséloigné, on estimera approximativement , d’après la grandeur de la différence entre les deux hauteurs, quel devra être l'angle de chute sur ce plan; soit cette valeur approche, op déterminera

la valeur de «*, qui est a" = ^ y , et l'équation de ce

nouvel arc sera donnée par la relation

y=xtang? — — * (* V,),

dans laqnelle on fera p=p", 2 Acos*^=:— .

On déterminera x au moyen des tables et des parties proportionnelles en essayant plusieurs valeurs successives de ou par le retour des suites; dans ce dernier cas, en faisant pour abréger — .sin $ cos 9. on — sin a m, on trouvera ’ ‘ ■

-jo-t- j™ {'+7 )+t7('+t) ) ïzhv

Tant que j sera petit et k assez grand, cette formule sera convergente et facile à calculer; on devra faire attention que, dans le

ras dont il s'agit, y est négatif, de sorte que les ternies où il entre A la première et à la troisième puissance sont négatifs; il. en est de même quant à » t, lorsque, comme ici, p est négatif.

Connaissant ainsi cette dernière valeur de x, que nous désignerons par r", on aura comme précédemment la valeur île l'angle final de l'arc, lequel sera ici l’angle de chute, ainsi que la vitesse finale et la durée f du parcours de l’arc. On aura enfin , pour la portée totale.