DIVERSES MÉTHODES D' APPROXIMATION

Les méthodes employées par les géomètres sont de trois espèces. Par les unes on arrive à des relations exactes entre certaines quantités qui appartiennent é la trajectoire, et au moyen • desquelles on ne peut arriver aux relations dont on a besoin qti’en Calculant numériquement les diverses partie» de la trajectoire. L’approximation peut être augmentée à volonté, triais en multipliant le nombre des parties et les calculs numériques. Telle est la méthode des quadratures et la méthode d’Euler.

Par d’autres méthodes , on obtient les valeurs dont un a be-

soin en séries développées suivant les puissances des quantités données; les formules sont d'autant meilleures quelles sont plus convergentes , et On obtient une exactitude d'autant plus grande qu'on emploie un plus grand nombre de termes. Ces méthodes ont été successivement employées par Lambert, Borda, Teuipclholl et, en dernier lieu, par Français.

Les méthodes d’une troisième espèce consistent à remplacer les expressions qui se refusent i l'intégration par des expressions approchées qui les rendent intégrables, de sorte qu'on arrive à des expressions eu termes finis entre les quantités que l’on » besoin de considérer; mais ces valeurs ne sont qu’approchées et l’on n’est pasJe maître d’augmenter le degré de l’approximation. L’excollence de cette méthode dépend d’un choix heureux de l'expression introduite, de telle sorte qu'on ail è la fois une exactitude suffisante ,i l'objet qu’on se propose et que les calculs soient asses faciles dans les applications numériques. Telle est la méthode ingénieuse imaginée par Borda, dans laquelle est entré après lui Bezout, et qui a été ensuite perfectionnée par Legendre et Français. <.

En exposant les résultats de ces recherches analytiques , nous indiquerons sommairement la inarche des calculs; quant à quelques démonstrations et aux développements, nous renvoyons. aux ouvrages que nous citerons 1 . Pour qu'il soit plus facile de saisir les rapports que les résultats présentent entre eux, nous adopterons pour'tous des notations communes et nous traduirons, en c.onsé-

1 Les ouvrage» principaux qui ont traité de la balistique sont le» suivants ». Recherche.* sur la véritable coarhr que dicnceqt lei corps jftis dan* l'air oa dan* un autre fluifU quelconque , jwr Etrier; inséré dans J'Histoirfe de l'Académie royale des sciences et lettres de Berlin, année 1^53, page» 3 * i et suivantes.

Mémoire sur la ré*ù tance des jluidri, emtc la solution du problème balistique, par Lambert; inséré dans tes Mémoires de l'Académie de Berlin pour 1767, pages 10» A »88; réimprimé au Journal des armes spéciales, eu » 845 , avec des notes de M. RiefTcl.

Sur la courts décrite par les boulets et Us tombes, eu ayant égard à la résistance de T air . par le cbev. Borda*, inséré dans les Mém, de l'Académie des sciences de Pari», pour l'année 1769; réimprimé au Journal des armes spéciales, 1 816.

Càurt de mathématiques , à t usage du corps royal de CartUlsne, tome IV, par Bdiont , de I A-

quence, les. formules données par les divers auteurs. Nous exposerons d’abord les propriétés générales de la trajectoire.