PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LA TRAJECTOIRE
Soit 0 (fig. 5), le point de départ du projectile, V sa vitesse initiale suivant OA, p l'angle de projection au-dessus du plan horizontal, h la hauteur due à cette vitesse, P le poids du projectile, x et y l’abscisse et l’ordonnée d'un point quelconque M delà trajectoire ; soit i la longueur de l’arc OM , t le temps employé à le par-
ration du carré des vitesses, par de Tempelbeff* inséré dans tes Mémoires de l’Académie de Berlin, pour les années 1788 et 1789, pages si6 à «99; où Le bombardier prussien , par de TempeUfoff , capitaine d'artillerie an service de 5 . M. le roi de Prassc. Berlin ,1791.
’ Traité du mouvement des projectiles appliqué aux bouches i feu, par Jean-Louis Lombard , , professeur ans écoiea d'artillerie d'Atuoane, 1796.
Recherches sur le mouvement des projectiles dans Us milieux résistants, par F. Français, professeur de mathématiques k l’école d'artillerie de la Fère, a a xui. Ouvrage manuscrit , appartenant à la bibliothèque de l'école d'application de t’arjillerie et du génie, à Meta, at dont oopie a été adressée à llnatitat de France.
Balistique. — Indication de quelques expériences propres à complétât la théorie dm. mouvement
courir, via vitesse en ce point, z ia hauteur due à cette vitesse,
B l'inclinaison de la tangente & la trajectoire ou de la direction
du mouvement du projectile en ce point, nous ferons p =£■• On aura donc p = tang 0, cos 6 = ^ , sin 9 =? et v = ~ t -, soit
encore g la pesanteur ou la vitesse acquise par un corps après la
première, seconde de sa chute dans le vide. La résistance p sera
représentée par nu*; dans cette expression n = AvR* et A= — .
S é ta ut la densité de liait et k un coefficient déterminé par l’ex-
périence; la masse' du mobile étant -, la force retardatrice p'due A
ia résistance de Pair sera ou — v*, en faisant ac = — = — — et
1 P ic nu A«n*o
ep remplaçant P par ±wR’D, on aura'ac = j —
En partant des deux équations du mouvement,
d**-±*dt et
di' t c as ■ di jc (Ij J
Faisant dy = pdx, et supposant dx constant, ces équations deviendront, comme on l’a fait voir (i o ), ,
(a) dxdp ~ — gdr et cd'p = dpds {b).
du projectiles de tdrhll*r(c, précédée dé l analyse nécessaire, paf d'Obenheini , professeur da mathématiques à l’éeble d'artillerie de Strasbourg, iSi’4, •• ; .
. Traite de mécanique t par S. 0- Paiasoo. — ■ Mouuem ent des projectiles dans U aide et du ni on milieu résistant. *.- v> ^
Cours de balistique, à C usage dss élèves de f École dapphcniion de f artillerie et da jènw^peu P«r*y, prohAsocir.— Lithographie de l'tcole d'application. Octobre s 833. ' j ■*>..
îf oie sur la formule employée par Lombard pour le t ir de bute* blanc et pour la fôrmatsen dot tables de tir, par iki (encontre V lieulcnantcoiouel d'artillerie. — Voir aussi l'Aide-mémoire • fariiUct n- de i vi-i , p. 64 a
bormaln balistiques et tables de tir, par M. Ch imac, chef d'escadron d arqHerie. — Voir suit» l'Aide mémoire Jarüllen©. stH . p* GAju ' . ■’ . • \ • *. 1 ‘t
Théorie mathématique da tir à ricochât et tables balistiques générales, par Otto; traduit del’aJlemand par RiafieU et Marnai due ormes spéattks, année 1 844. *
*. Mémoire tué Tr tra/ecloire des projectiles dé T artillerie, par le comte de Crtfreniti : traduit da i allemand par Kieflel , «t Journal dis armes spéciales. uaoèfiàtHïci iSiâ r . * U . * . > * " »
L a seconde de ces équations est celle de la trajectoire ; la première donnera la vitesse et le temps du mouvement. La densité de l'air
eC, par conséquent - étant constants, l’équation cd'p— dpds aura
pouT intégrale = Be‘ .Pour déterminer la constante B, on prendra l'équation dpdx = — gdt' qui donne j- = — ; et comme
dx
au point de projection la vitesse horizontale est — = VcosÇ, on
aura
Vco«V
t hcoê'Q
dx
, donc
a kaoê'Q
On aura aussi, en divisant membre à membre avec f équation (a), * - ■ - -
— = a gh cos’<p e‘ ou 2 =
hc09*Ç — - V CO« Ç —
— '-*• et v = — — e ••
CÙ9$
co*' Q
Le second membre de l’équation différentielle ( i ) qu’on vient de trouver étant multiplié par dt, et le premier par la valeur
égale dx \J i-f-p*, puisque p = tang 6, on aura
*-•> • ' t e*'dj= aficos'^dpy^t-t-p’
d’où, en intégrant et en appelant £ (8) l’intégrale }dp\J i -Hp‘ =
= vPV 1 +P’+T l°g (P+\A laquelle changera de signe dans la branche descendante où p est négatif, on aura :• •
(a) -e'= ^cos*<pj£(8) — C|*
La constante — G est déterminée par la condition qu'à l’origine du mouvement on ait s = o et 8 = (p, ou p — lang <p-, on aura
fW ' G = THZi &>■ *
' Ainsi la trajectoire a pour équation
Si le mouvement avait lieu dans le vide; il faudrait faire - = b ,
et on aurait, comme on sait, une parabole.
Ert mettant l'équation sous la forme
Remarquant que pour o, le premier membre, après son
développement connu (m. 16), se réduit A l'unité, et en nommant t l'arc correspondant delà parabole, on aura . 1 .-
- • t' = aÀsos'P ! £(?)— £(0) j.
On aura donc • , '
. «'=:+; ou ‘ 7 = log («-+*7)'
relations très^rcmarquablcs entre les deux arcs s de la trajectoire el s de fa parabole, qui se terminent en deux points ou les inclinaisons sont respectivement égales. . -, * V . . --
. . , 46 . ASYMPTOTE. t
Si l'on veut savoir ce que devient la courbe du côté delà branche ascendante, il faudra faire s et s’ négatifs, ce qui donnera
iog \ ;
Or; si on prend sur la parabole le point m', pour lequel l'=ç.
. SUR LA BALISTIQUE. » (Ot
on aura s = — c log o, c’est-à-dire s infini ; doue ce n’est qu’à l'infini que l’inclinaison de la trajectoire devient égale à celle du point m ; donc il y a une asymptote dont l'inclinaison est égale à celle de la tangente en m ; f inclinaison de cette asymptote sera donnée par la relation
— c = a Acos* ç J Ç(p) — Ç(9) j ou Ç(fl):
lÀC03 a $
Si l'on prend du coté de la branche descendante l'arc parabolique On’ de plus en plus grand, l’arc correspondant On de la trajectoire augmentera aussi , mais beaucoup moins rapidement. Donc On étant infini, On' lé sera aussi. Mais l’infini logarithmique étant du dernier ordre, on voit que la courbe Bn ne tardera pas à se confondre avec une verticale , et qu’elle doit avoir, par conséquent, une asymptote verticale.
Pour le prouver, éliminons J entre les équations (i) et (a), on
71 = ï/j ~,P V »-+-/»*•+- *°6 (p-*- -+- consl - !
Or, quand on intégrera entre deux valeurs très-grandes de p, on pourra négliger l'unité et log p' ) devant p, alors
on aura simplement
