MÉTHODE DES QUADRATURES
On peut déterminer par lès' quadratures tout -ce qu’il est nécessaire de connaître dans la trajectoire et la tracer par points 1 . L’abscisse d’un point qùelcftnque dè la trajectoire est égalé a
la somme des valeurs infiniment petites dé ds == com-
prise depuis-.p = tang <p- jusqu'à la valeur de p, qui répond au. point que l’on considère. .On aura la valeur de x par approximation, en partageant l’intervalle des. valeurs extrêmes de p,en un
très-grand , nombre de parties, égales pour plus de simplicité - y calculant ensuite 'les valeurs de - , multipliées ^»r la valeur
très-petite Ap des valeurs consécutives de p , que l'on substituera à la différence infiniment petite dp, et la somme, des valeurs de 4» ainsi obtenues approchera d'autant pins d’être exacte , que Ap sera plus petit. En continuant, le 'calcul jusqu'à ce qu’on sort parvenu kp^o, on aura, aussi exactement qu’on voudra, lesahaçisses
106 SUll LA BALISTIQUE,
de loua les points de la brandie ascendante de la trajectoire, et la dernière sera celle du sommet. Au delà de ce point, dans la branche descendante,. les valeurs de p deviendront négatives, et là continuation du même caleul donnera les abscisses des points de cette branche. Par un procédé semblable, appliqué à la valeur de dy, on aura les ordonnées correspondantes aux valeurs successives de p, et on pourra construire la courbe par points. On obtiendra de même la valeur du temps t. La vitesse, en chaque
point, sera donnée directement par la valeur de»*
11 en sera de même de celle de s, comme on va le voir.
. ' ' 51 . MfTHOM D'ECU».
Remarquant avec Euler que dp \/i -+-p* = d.£(8), on aura ^ J. 1(9) „ . /C — €(9)\
. ‘ * = c £=tï) doù \“ c, °* (— )
sans constante, expression fort commode pour décrire la courbe; car, dit Euler, * calculant pour un grand nombre de valeurs de p, celles de t, on trouvera autant de portions de courbe , et sachant chacune l'inchnaison à l'horizon, on en tirera aisément les parties de i'abscisse et de l’ordonnée qui leur- conviennent - ; lesquelles étant ajoutées ensemble , donneront tant l’abscisse que l’ordonnée entière, qui répondant à chaque point de la courbe. Ensuite, ayant la vitesse à chaque point de la courbe par la .formule t>* = r *' chaque particule de la courbe divisée par V donnera le ^nips que le corps met à la parçoùrir; pourvu qu'oir prenne les particules de la courbe assez petites , on obtiendra assez exactement, tant la ligure de la courbe que le mouvement du corps. • C’est là ce qui constitue essentiellement la méthode d’Euler. Pour cette n»étbode ( une table des valeurs de la fonction-^®) étant très-utile, Euler en a calculé une de degrés en degrés. Il distingue les courbes en espèces déterminées par les va-
su h £a balistique.
IOT
leur» de C ; les autres ue dépendant de c que pour les dimensions, elles seront semblables. - *
Pour construire, d’après la méthode d’Euler, un arc MM'
if
Fin. 6
(fig. 6) aux extrémités duquel les inclinaisons sont respectivement p et et les tangentes p et p\ on aura AM = clog — ’
et AM' = c Içg^i; donc MM' = c log ^ » l’inclinaison moyenne de l’arc étant - - , la portion qq' de l'abscisse sera
c log c -— ■ cos —j—, et la portion de l'ordonnée correspondante
sera c I
, sin , pourvu que les différences de <p a
soient asses petites. • ' » ■ .
On calculera de même les vitesses en M et M' qui sont v —
y gc c ‘~ l ~^ et 1,1 = \Js c ( ‘ I® VTtesse moyenne entre les
deux étant " * . le temps employé à parcourir l’arc sera — - —
c. log^-^. Euler fait ensuite l’application de ces formules à
une espèce de trajectoire en calculant numériquement les arcs de 5 e ' en 5 01 . ’ •' ‘-i •'
Les autres espèces de trajectoires oot été calculées par arcs de moindre étendue, par le comte de Grsrenitx et par M, Otto. Mémoire sur la trajec toire et théorie mathématique du tir d ricochet, au Journal des armes spéciales .années t84& et 1 845-
