sésiSTAHCE DE X'kik AM GBANDES VITESSE

Ce qui précède ne se rapporte qu.’à la résistance aux faibles vitesses; lorsqu’il s’agit de mesurer k résistance aux vitesses beaucoup plus grandes, on emploie un procédé particulier. Ce procède consiste, comme on sait, à mesurer, à deux distances différentes d’une bouche à feu, la vitesse de deuxprojectiies ayant la même vitesse initiale. Eu comparant la force vive perdue à l’étendue du chemin parcouru , on déduit la résistance moyenne qu’a éprouvée le projectile animé de la vitesse moyenne entre les deux vitesses ol^ervées.

• ê. sésoiTAW ot mwros. >

Hiittou, dans les années 1788 A 1790, a fait avec un pendule balistique des expériences de ce genre; elles ont été étendues : pour le boulet de 1 livre, depuis 100* jusqu’au delà de 600“ par seconde; avec le boulet de 3 livres, depuis la vitesse de 3 7S® jusqu’à celle de 5ao“, et pour le boulet de 8 livres, depuis 365* jusqu’à S5o*. Hutton en a déduit les résistances correspondantes aux vitesses des projectiles, d'après lesquelles la résistance croîtrait plus rapidement que le carré de ta vitesse. Cette résistance, exprimée par le coefficient k de la formule citée plus haut, est approximativement 1 ; •

Vitene» (m. parue..). ) 3 5 10 25 50 1 00 ÎOO 300 400 500 000

Valeur» defc 0,59 0,61 0,62 0,63 0,07 0,0» 6,71 0,77 0,88 0,90 1,04 1,01

1 Introduction à la Méc«niq«e^ etc. page 6»$. \ «•*

SUR LA BALISTIQUE. Il

Les nombres qui représentent les résistances ont été obteilUs par des méthodes d’interpolation imparfaite, et ces résultats ne s'accordent pas avec les effets naturels, surtout pour les faibles et pour les grandes vitesses. M. le colonel Piobcrt a remarqué que, pour les grandes vitesses, le coefficient de la résistance avait été déterminé par des résultats trop faibles; de sorte que l’existence d'un maximum n’est pas démontrée. Quant aux faibles vitesses, le coefficient a été déterminé d’après les résultats obtenus dans le mouvement circulaire; ils sont par cela même trop grands quand on les applique au mouvement rectiligne. IluttOn , dans ce cas, ne tenait pas compte de l’influence qui pouvait être due à la grandeur du diamètre des projectiles.

. 7 - FORMULE DE M. LE COLOÜEL PIOBERT.

M. le colonel Piobcrt, reprenant les résultats immédiats des expériences de Hutton sur les boulets, et non les résultats portés dans les tableaux des vitesses dites régulières, en a construit une courbe dont les ordonnées représentaient les vitesses successives que possédait' le boulet en traversant des couches d’air proportionnelles aux abscisses et il a obtenu des résultats réguliers. Les résultats relatifs au boulet en fonte de t livre ou de o m o49g6 de diamètre et exprimés en mesures métriques sont contenus dans le tableau suivant ; •

Vue».®, co m^iro.. . . 100 150 200 200 300 330 400 430 300 350 000 RétuUoce en Lilogr. 0,81 1.93 3.08.0,10 9.35 13,50 18.30 24,00 31,80 40,30 30.00

Ce tableau fait voir que les résistances croissent plus rapidement que les carrés des vitesses, et M. Piobert a reconnu que, par l’addition d’un terme proportionnel au cube des vitesses, on représentait assez bien ces résultats, de façon que le carré de la ■vitesse devait être remplacé par V* -I- BV*. et que la valeur de B = o,oo 1 7 satisfaisait assez bien pour toutes les vitesses.

La discussion approfondie et comprative des résultats fournis

lî SUR LA BALISTIQUE,

difèctcment par les expériences de Hobins et de Hutton , sur les projectiles de petit calibre, et par celles de Newton, Desagoiliers, Borda, sur les sphères d’un plus grand diamètre, animées de petites vitesses, a conduit M. Piobert à regarder la résistance comme croissant plus rapidement que l'étendue des surfaces; de sorte que la superficie s du grand cercle devrait être remplacée par le

ternie * \/o,'o 1 î s d- 0,00 1 2 I , le mètre étant l’unité de longueur,

et qu’en faisant pour abréger n = r yo.oia 1+ 0,0012 t, en négligeant un terme très-petit indépendant de la vitesse, et qui est tout à fait négligeable quand il s'agit du mouvement des projectiles, on a

j = mV J -f- nV‘. " ’

Dans cette hypothèse, M. Piobert a trouvé la relation entre les longueurs ou les durées du trajet et les vitesses de projectile dans le mouvement rectiligne, abstraction faite de la pesanteur 1 .

■ > . 8; formule modifiée: >. • » • :

La formule de M. le colonel Piobert, basée en partie sur le résultat des expériences de Hutton aux petites vitesses avant

Î juon eût reconnu l’influence du mouvement circulaire sur la vaeur de la résistance, devait par cela même donner des résultats un peu trop forts pour les gros projectiles et pour les faibles vitesses, ainsi que ce savant officier l’a reconnu lui-même 5 .

En )64o, en comparant la formule de M. le colonel Piobert au résultat des expériences de la commission des principes du tir, faites en i83g au moyen du pendule balistique fiour déterminer la résistance de l’air au mouvement des projectiles de l’artillerie, j’avais aussi reconnu 3 que celte formule donnait des résultats trop forts pour les gros projectiles de l’artillerie.

. 1 Introduction à U Mécanique , ptr J. V. Poncelet , page 05 1 f et mémoire cité. • ♦ *

* Ibid, page 6ao. ; ^ •*>

* Mémoires sur les titesseS i ntt taies des projectiles , présentés au comité «fattilitric, septembre * 8 Ao. . a. A , *• », t ,*■ \

StJR LA BALISTIQUE. JS

Les expériences faites par la commission des principes du tir de Metz en i84o, sur le tir des boulets de 8 , de la, de a4 et d'obus de a î 4 ™, tirés à diverses distances sur un pendule balistique avec des vitesses qui ont dépassé celles dont on fait habituellement usage, ne laissent aucun doute suivie fait que la résistance croit plus rapidement que le carré des vitesses. L'ensemble des expériences m'a donné pour expression de la résistance sur les gros projectiles, à la température et à la pression moyenne de l’air durant l’été à la densité i, j 74 , ,

i =.o,o24wR‘ (i -h o,ooa3V)V'.

»/»f •'irl

üans cette expression, le coefficient du carré de la vitesse est diminué comparativement à celui qui a été indique plus haut, et le rapport des coefficients est augmenté.

M. le colonel Piobert, en reprenant les expériences de Hutton, faites avec des boulets de 1 livre et de 3 livres, et quelques-unes avec des boulets de 6 livres, a trouvé aussi que la résistance était moyennement mieux représentée par l’expression

? = o,o3o686*R'(i - 1 - o.ooa3V )V*.

J1 est très-reinarquable que les coefficients du cube et du carré de la vitesse soient exactement dans le même rapport, quoique provenant d'expériences faites en des lieux différents et avec des calibres différents : on peut donc admettre avec sécurité o.ooad pour ce rapport. Quant^hu coefficient du'earré de la. vitesse, il présente une différence qui peut tenir à la grandeur du calibre ou à d autres circonstances; mais quand il s’agira des gros projectiles i^;l artillerie , il nous semble que, sans rien préjuger sur 1 que peut avoir la dimension du projectile sur ce coeffi-

cient’, en tenant compte, toutefois, de la différence de densité de

0 apri» du recherches frites poslirir uremeut t 11 présentation de ce Rémoise , jfri été conduit i prendre , pour la deneité moyenne de l'tir dans Tannée o.sog, le rocQicient du carrt de la rilaaae égii è o,o»7, pour des boulais de o*. i S de diamttre . el I le frite venir

U SUR LA BALISTJQUÈ.

l'air, on devra prendre de préférence le coefficient résultant de* expériences deMetx.ou un nombre intermédiaire pourlcs plus petits.

En tous cas, nous devons admettre que la résistance de l’air peut être représentée par la somme de deux termes respectivement proportionnels au carré et au cube de la vitesse du mobile, et que cette résistance sera, en général,

. " î = AwR’ (i -+■ ;)v*. ':v; 4

Pour tes recherches analytiques dont nous nous sommes occupés', il nous suffit que cette expression soit admise; mais il est nécessaire d’avoir les valeurs numériques pour les applications. Celles que nous donnons pourraient être modifiées sans que nos formules et nos tables perdissent de leur utilité.

MOCVEMENT DES PaOtECTIt.ES SOCS tES GRANDS ANGLES DE PROJECTION.

.... •, , 9. eoNsmésATions cé*iRAUE9. s . ».

La solution générale de là question du mouvement d'un projectile dans l'air a été regardée comme un des plus difficiles problèmes d’analyse. H a été à plusieurs reprises proposé au concours par les sociétés savantes, et, les géomètres les plus distingués ont essayé de vaincre les difficultés qu’il présente; Euler, Lambert, Bezout, Borda, Tempelhof, Legendre, Français, Font attaqué par des méthodes savantes et profondes , dans l’hypothèse de la résistance du milieu proportionnelle carré de la vitesse du mobile; cependant, aucune méthode rigoureuse n’a p*u jusqu’ici exprimer une relation finie entre Fangle de projection, Ja vitesse initiale et l’amplitude du jet; peut-être même ne pourra-t-on jamais résoudre cette question dans toute sa rigueur ; l’on a dû recourir à des méthodes d’approximatiôn. Dans les uTOs, on a rejeté des quantités qui embarrassent lé calcul et qui ne sem-

avec le calibre , de minière à représenter le résultat des expériences de Hutton. On s'occupe encore dane lartilierie d'eapérieboes à.ee sujai. „ ... « t*« ' * '

SDK LA BALISTIQUE. >6

blcnt pas influer d’une manière sensible sur les résultats; dans les autres, les résultats ont été exprimés par des séries qu’on est dans l’impuissance de rçmplacer par des expressions finies.

Si les difficultés du problème du mouvement des projectiles dans un milieu résistant ont été aussi grandes lorsqu’on a supposé la résistance simplement proportionnelle au carré de la vitesse, quelles ne devront pas être celles que présenterait ce même problème dans l’hypothèse d’une résistance exprimée par deux termes? On ne peut donc espérer que de le résoudre par approximation.

Dans l’espèce et le degré d’approximation que nous rechercherons, nous aurons toujours en vue les applications utiles, et nous éviterons de compliquer outre mesure les formules, dans le seul but d’embrasser des cas qui ne se rencontrent pas dans l’application. C’est peut-être pour n’avoir pas été assez pénétrés, de cetto idée que les géomètres distingués qui se sont occupés de balistique, et en particulier Legendre, n’ont pas amené cette science au degré d’utilité qu’elle devrait avoir atteint. Nous considérerons néanmoins le cas le plus général du tir sous de trèsgrands angles de projection et avec de très- grandes vitesses, quoiqu’on c^^sse peu d'application, à cause de l’incertitude d’un tel tir; mais nous nous attacherons plus particulièrement au cas des vitesses modérées, le plus habituellement usitées dans le tir sous les grands angles de projection , et au cas de grandes vitesses sous les petits angles *.

Dans ces deux cas, il n’est pas possible de représenter la résistance par un seul terme proportionnel au carré de la vitesse, même en déterminant le coefficient de la résistance pour chaque cas particulier, parce que la vitesse est trop variable depuis le point de départ jusqu’aü point d’arrivée. Dans le tir sous 45°, par exemple, cette vitesse varie dans un rapport plus grand que celui de i à ou d’environ ro k 7 ; par suite, les formules auxquelles

' Dam uo mémoire adressé tu comité de l'artillerie , mai 1 S 44 , noua avons déji traité Je* Isia de la rtliaUnce da l'air et du mouvement des projectiles dam le cas det petite angles de projection. Dans an second mémoire, en i8i5. nous avons traité le tir sous les grands angles.

sont arrivés tes savants géomètres dont nous avons parlé, reposant sur tins loi inexacte de la résistance de l’air, ne peuvent pas représenter exactement le mouvement de» projectile*. La question

analytique, sous ce rapport, présente tlonc des difficultés nouvelles plus grandes que celles que l’on a déjà surmontées. • . •

- . 10. éoUATIOX DIFVÉMNTIBU-E IX LA TftAJBCTOlftE. ;r >

Spit O le point de départ du projectile, V sa vitesse initiale

suivant OA, ? l’angle de projection au-dessus du plan horizontal, h la hauteur due à cette vitesse, P le poids du projectile, R son rayon , D sa densité , x <!ty TahScisse et l’ordonnée flrn point quelconque M de la trajectoire ; soit de’ plus i la longueur de l’arc OM, t le temps employé à le parcourir, v la vitesse au point M, 0 l’inclinaison de la tangente à la trajectoire ou de la direction

du mouvement du projectile au même point; faisons p on

aura p=rtaog. 6 , cos. 0 sin. 6 ~ J £, et v = soit encore 5 la pesanteur, ou la vitesse acquise par un corps après la première seconde de sa chute dans le vide et y la valeur de la résistance de l’air, que nous savons être représentée par une expression île

la forme g ~ nv* ( i~h ' \ ; dans laquelle p = A»R’ et A —

V ~ T f '■ t" jj’

<5 étant la densité de l'air, k et r des coefficients déterminés

par l’expérience. - étant la massç du projectile , la force accé-

lératrice due à la résistanéfe de l’air sera que nous re-

présenterons par y; les composantes horizontales et verticales de cette résistance seront a'v et e'%-

La direction initiale du projectile étant comprise dans le plan vertical des coordonnées, la pesanteur agissant dans ce plan et aucune autre force que la résistance de l'air n’ayant action sur le projectile, celui-ci ne sortira pas de ce plan; on aura donc poulies deux équations du mouvement, parallèlement & chacun des axes des coordonnées,

(a) d^-+- ? '^dt = o et dt-+- p '^d(-f-ÿdt = o (6).

Observons que si le poids P était celui du mobile mesuré dans le vide, le poids dans l’air serait diminué du poids d’un volume d’air égal à celui du corps ou de P -g-; par conséquent , le poids P

devrait être remplacé par P ^ 1 — —J et la force accélératrice due à la pesanteur par g ^ i ^ j ; mais, pour les projectiles de l’artil-

lerie, le rapport ^ est assez petit pour qu’on puisse le négliger devant l’unité.

Effectuant la différentiation, en regardant dx comme constant, on tire de l’équation (a)

(Pt ,dt , .

Observant que dy—pdx, et que, par suite, d'y — dpdx , la différentiation de l’équation [b) donnera *

dpdx

~ÏT

Ajoutant membre à membre à cette équation la précédente multipliée par dy, on aura

(i)- -+- gdt = o,. ou dpdx -N» jdt* o.

Cotte équation, comme on voit.^st indépendante de g et subsiste, quelle que soit la relation de la résistance à la vitesse.

En différentiant cette équation, puis en tirant la valeuf de (£t, divisant celle-ci par. la valeur de df* tirée de l’équation ( i ) ellemême, on aura - . <•

. - • dU

t , „ • . dt* a dp,dt j *

Soustrayant cette équation, de l’équation — , — g ^ = o , on

aura .... ... , . ■

a dp.dt *

Or, en faisant ae = — et en remplaçant u par on a

• v. •' ‘ > . > if ! - » *i\ - : . ‘

9 = TcdT’V^-rlû)-

L’équation — devient donc

« ds 1 i <fr\ t P p

te dt \ rit ) tdpdt'

ds

Tirant de cette équation la valeur de — et élevant au carré, on

aura

*f \d,.dp )'

en substituant à dt' sa valenr tirée de l'équation générale dpdx -h <fdP = o, on aura

\d..dp

* ) r* dp.dx

Enfin, remplaçant ds pq( sa valeur dx^i -4- p*, puis p par — , ^

par j-, ^ par ~ , on aura pour l’équation de la trajectoire

(ï0r, - PP - (*S • - Sv/^Ê)'

Cette équation est trop compliquée pour que les moyens connus d'intégration permettent d’arriver à une expression finie entre

x et y.

Si l’on fait - — o , ce qui est le cas de la résistance proportionnelle au carré de la vitesse, l’équation précédente devient simplement ' -■ • .

(a) cd'p — - dpdx V*~-4- P‘ o.

C’est sur le système des deux équations (i) et (a) qu’ont été fondées ju9qu’ici les recherches entreprises pour la solution du problème balistique. Elles n’ont pu conduire, même dans ce cas simple, “les grands géomètres Bemouiliy, Euler, .Lambert , Tepipelhof, Français, qu’à des valeurs approximatives ou .exprimées par des suites infinies, dont ils ont calculé un certain nombre de termes et qui forceraient dans les applications à des calculs numériques très-pénibles. Ces difficultés n’ont pu être évitées par Borda, Bezout, Legendre et Français,- qu’au moyen de formules dont le degré d’approximation a dépendu des complications auxquelles ils ont consenti à s’astreindre. Nous essayerons de suivre une marche différente, et qui nous conduise plus promptement aux résultats que nous cherchons. , t

11 . iqcATfcm différentielle dus abc de tha-irctojre. 1 Reprenons les équations premières (a) et (4) du mouvement

Effectuant la différentiation, en regardant dt comme constant, remplaçant g par sa valeur -j, et faisant comme précé-

demment ic = — , on aura *S

(3) « J— ie(,+:)|-,.. w.

L'équation (4), par la substitution de la valeur du facteur de ^ de l'équation (3) , devient

de 9

(Px dt djr rf*x rfy

dP dx dt ^ ^ dP dx '

or, on a dy — pdx ou ■^== p^, d’où, en différentiant , ~ = p‘~ ^ ^ et, par conséquent, en substituant ^ et en observant que p =‘t-, on aura .

1 as -

dp dx

HTt — ~ 9-

Pour fcire disparaître la différentielle dii temps et avbir une équation de la trajectoire, reprenons l’équation (3)

7=rr-» 1 ( , + 7 )j.

rff

La valeur de — , qui représente le rapport d’un clément de

l'arc de la trajectoire à sa projection, est variable ÿ'un point à l’autre de la courbe; mais lorsque l'on ne considérera qu’une certaine étendue de l'arc décrit, on pourra remplacer la valeur variable

de ^ par sa valeur moyenne dans l’étendue de l’arc, c’est-à-dire par le rapport de l’arc entier î & sa projection x; soit a ce rapport.

• . dt ds . dx

Puisque la vitesse v est égale à — ou à — — , on aura aussi »=« — : d’après cela , l’équation d’tm arc limité de longueur sera Px

Px a / da\t I a cür \

dP tt \ dt ) \ 1 r dt /

et en représentant par v, la composante horizontale ^ de la vitesse en chaque point, on aura

et puisque on aura aussi, en divisant membre à membre.

dtt, • / a \

âT = — (* 7* , 0*

Ces équations donnent la valeur de dx et de dt en fonction de »„ et on peut les intégrer; en effet, on aura par les procédés connus 1

dx = —

d'où

t — — ^ j log. v, — log. (i -+- cons. =ylog. — — (- const.

Déterminant la constante par la condition que la vitesse initiale spit V, c’est-à-dire qu’à la fois x soit o et que la valeur de v, soit la composante horizontale de cette vitesse ou Vcos.p, que nous représenterons par V, , on aura

d’où l’on lire la valeur de v, ou de — ,

1 Si l'eapreasion de p contenait d'autres puissances de fa vitesse que la deuxième et la tro*- •tème, on obtiendrait également colla de tir en fonction rationnelle de *, et son intégrait.

2C ( dv, * * • d» 1 ,

élevant cette quantité au carré , et divisant membre à membre avec 1 équation (5), on aura pour l'équation d'un arc de la trajectoire