J CO

Si la première intégrale est prise de manière à disparaître lorsques = o ou lorsque 9 = p, il faudra que C = d’où

dont il faut tirer une valeur de s en fonction de 9, et ensuite des valeurs de * et de y. Mais, avant d’aller plus loin, nous devons . expliquer ici la valeur des notations qu’emploie Français.

®1. NOTATION EMPLOYÉE PAR FRANÇAIS, ET VALtFR

Si JP est une fonction de p, la différentielle de cettp fonction, dans laquelle, après l’opération, la différentielle dp serait remplacée par une certaine fonction qui sera ici cos s p. sera repré-

sentée^r BfP; d après cela, Sfp = ^- cos‘ p .

’ En différentiant de la même manière cetle première dérivée, et remplaçant de nouveau dp par cos' p, on aura Srjp; répétant la même opération sur S*fP, on aura &/<?, et ainsi de suite. De plus, introduisant la cédille sous le signe S- pour exprimer i.a, t.a.3, i.a 3.4, on écrira •

'■ * &ff P°«r ~ pour ~^^'/P-

120 St R L A BALISTIQUE.'

. Eji opérant de celte manière pour /? = sin ? et/? = cos ?, ou trouve les résultats ci- 3 près, qui serviront dans tout ce qui s*ra dit dans cette partie des recherches de Français.

(5)3 sin? = co»'?,

' 3* sin ?=— 4 cos'? sin?. • . ' ,

3*sin? = — 4 cos*? (i — 7 sin'?).- 3'sin? ^ 800 *“? sin? (1 1 — 35sin'?}.

3*sin?-= 8 cos'’? (1 1 — »a6sin'?4 : 4> , >5sin'?), -■

3‘sin? ='—64cos"?sin? (.73 — 6a3sin’?->-9 iosih*?}.

3’sm)?=— 64cos“?(73— 3964sin*?^-i 5 1 4isin‘?— i^agosin'?).

etc., etc. .

On obtiirndra de mèiné :

(6)3cos? =: — eos’? sin?. '*

y-cos? = — cos‘?(t — 4sm’?.). ■ -

3*cos?" çoS*?'sin? (iî— ;t8sîn'?.). ■ .

3‘cos? î= cos*? (i3 — 1 88sin’?-|-.3 8osm*?}.

3*cos? =— cos"sin? (4g3— '3l 88sirt’?-(-364osin'?)..

3* cos? à= —cos"? (493 — i548osin'?+6a83a sin*?— 58a 4o sin’?).

3 , cos?=c6s"?sin? (37369— 48352 8an’?-f 1 4 1 7584 sin'?— .1 io656osin'?).

„ etc., etc. • . - 1 ' < ' •

6‘2. VA1.SC RS DE I ET DE T ES ROM- Il OS Dr. LA ROUfil'U R DES A»CS ' •»

Au moyen de cette différentiation - particulière, Frétais est arrivé aux résultats suivants :

i y=sin? . j— ni 3 sin ?/(«"— 1 )ds-i~m'ô*sinrÇf(e“— 1 )'ds — ffi J 3 i sin ?/e“—i yds~h etc. I ntos?i — « 3cos? J"(e‘*— 1 )dj-t-m’ 3 'cos?J(e" — 1 )'ds — m' 3 ’cQS?/[e"— 1 )‘tii-+-etc.

Dans ces expressions,- lés intégrales doivent être priselWe manière à s'évanouir avec s; or, H est facile de faire voir que si A est

SLR LA BALISTIQUE. 121

la caractéristique des différences finies se rapportant a ia seute variabilité de i, dont la différence Ai si, on a :

;(***— “TJ

if**'— 3«-r*

«V— ji«-

1 (Si)»

JV— i)d»=r|'— -j i)’rfj= ai j-

etc. , etc. . •

Les équations deviennent donc :

j==sin?.J— BJ&sin^.i| |4-m'>5' , sinÇ. jH’^sin^.3iA‘|— ^-1 j

x=cos?.J^Di3-co*if.ij^— ^ [-Hn*S J eos^. a iA) '*■ . j— mvycoaÇ . 3iA‘j- — !i

Ln introduisant, au beu de l'expression - — ~ — - , la fonction qjjc nous avons désignée par 1» caractéristique. F, et qui est F(ü)== , et dont nous avons calculé des tables, on aura

les valeurs do y et de x ainsi exprimées, en rappelant que « = - ,'

"»hka>< 'jou*

y— s ! site?— — (mSsin^.Ff-) — am’3*sin?AF(-W3m , 3‘sin<pd*F(-) J ( *»\ - V«/ ... . y / V*/

x=j j °os<p— ^ ^m&cosçF^-J'— i M’^cospAF^j-l-Sst'i^cospA’F^-j

Les équations (7), (8), (9) sont des équations à la trajectoire exprimées ep 7- et s, ou en ± et ^ Il est très-remarquable que, par l’emploi de la caractéristique 3’, l’ordonnée y soit exprimée en sin <p comme x l’est en cos c’est* une symétrie qu’on aura lieu de remarquer enCore plusieurs fois, et que les méthodes employées jusque-là n’avaient pas permis de reconnaître.

Quoique Français ait énoncé que scs formules étaient trop compliquées pour les applications, on peut voir cependant qu’a-