valeurs ne r n m i en ponction ns lmnclinaison

Français est arrivé aussi à des expressions des coordonnée», de la trajectoire en fonction de l’inclinaison de la trajectoire en chaque point.

On a vu qu’on avait f— — = m(e i ‘— i)

* / r if .

en désignant par f (?) la valeur de l’intégrale J — ^ prise de manière qu’elle s’évanouisse avec ?=o ; c’çst-à-dlre faisant

' , * (?) = ; S’.-i; lo ? “"g ( 4S*+ ;? )*." * .

l’arc i étant compris entre le point de départ où l’inclinaison est ?«t celui où l'inclinaison est 0, on. aura

m (. 1 — «*•) =5(0) — 5(?)i on en tire «“ = 1 (5(?)-» 5(0)),

V valesr de X te calcule utaeimplemeui , comme ou. l e feil voir (t), eu mojen de U teble des foucüoat t (0), v *’•' ... . ..

et > = c log j 1 -t- j ({ (Ç) — £ [S) ) j et d’après les équations ( i s), on auia

y=<jsinX.logj i+^(É($-£(S))j— 3-sinX(£(p)— £(0))-t"3-’sinx}(m-t-£(p) — m*j

— i ^sinX | (m-|-£(p)— f(fl))’— m* | + etc. |

x=c joosxlog j i +“($(<?)— §S)) j«-rS , cosX(£(^)— £(0)) 4-^3-‘cosxj (m+?(? )— £ {8))'~ m ‘ J

— ^3-*sin> j (m-t-£(0)— Ç(0))’— m’ | +etc. j' •

Ces formules fournissent des expressions assez simples de ta hauteur du jet Y et de l’amplhude’de la branche ascendante X; en faisant 8= o, et partant o, on aura

Y=cjsinXlog ^ i +^£(P)] — ôsinXfi[^)4-^sini m’|

| — jâ- l sinX J (m+£(<P)) s — »’ j+etc. |

•hx=c|co»Xlog^i4-^f(<P)J — ScosX£(ip)-|- d*cosX j {« h~£ (0))»— m* j f — j^cosX j m' j-f-etc. {

/ ; 64.. éooATio* or la trajictoirz.

Après avoir établi différentes formulés pour calculer les coordonnées et des abscisses de la trajectoire an moyen de l’arc s ou de l’arc tangcnliel 8, Français arrive à la partie la plus épineuse du problème, l'établissement de l’équation de la trajectoire en x et en y. S’il est au-dessus des forces dé l’analyse, telle quon la possède, d’arriver A une équation finie, on peut cependant avoir l’expression de ta trajectoireen séries, sous plusieurs formes trèsdifférentes, dont nous ne donnerons ici que lesplus remarquables et celles qui peuvent présenter le plus d’utilité.

Pour y arriver, il faut éliminer s ou p, entre (es valeurs de y

et de x qui les contiennent. En employant à 'cet effet les formules du calcul des dérivations. Français est arrivé à l’expression suivante s k s • ■

(i4).y = tang<p.Æ v ..

a .a a* \co 9 $ J .

i.»«3 afc.c \co «p/ “*

~ 1 7 k ~? ~ (îïf s ‘ n ^ ! (^r? )

: j + M s j n ffl - — sii?0 J sin'®( /— V

^ 1 . *.3.4. 5.6 f aà.e* (lÀj'c 1 \{aA)V {iÆ)Sr/ {ï4)*c* i \co* £/

a- ii 3t 3 / 16 18 \ . / a «B \ . ...

■“ I .j.3.i^.6.7 I TC* **“ [itj-v iiïjü - + (,*,•„/ sin *

1?— sin’? sin 4 ^ 1 f— ^ * • -

(.k)‘c> r (ji)*.c Y (Uw

— etc. , etc.

Français donne encore les termes en {t~$) {t~i) q uc

nous ne transcrivons pas à cause de leur longueur.

Borda, comme nous l’avons dit^r5), » donné les cinq premiers termes do cette expression de y qui, suivant lui, suffisent pour déterminer les portées des pièees d’artrllefie, lorsque les vitesses n’excèdent pas 65 mètres par seconde. •• • •

donne

£/ico»*$

Cette formule, lorsqu’on fait sortir le terme pour terme de la première ligne verticale le développement de la fonction - * que nous avons fait ressortir des formules de Lambert et de Borda, et elle prend la forme suivante : .

y = x tâng^- ^ [F {—) +. ^ «n ? ( c -^) r . ; ■

+ûi t (â , -7Î j,in? -(i) ,sin ’ 9 l fcb)’ ..

'(sH* i n- 3 fâ^ iu ^ 3 fè)’ sm ‘^ 3 (y’ ,,n ^] G:~rJ

xix ;) 3 3 ( tâ ) - 3 i ^)‘-( 2 6 tâ “ 1 8 (^ r ) ") (^ r )’- 4 - , «( ti )‘) sin *^

- 4 8 fcf sin’Ç - . 5 fc)* sin‘<p j (—)' - •

a (tâ)’— 33 (nh f 5 7f* ~ 36 fe) +45 (fi)’ H *

+ ( 58 fâ’ +i ^fé)) sin, M 70 fe)’ ‘ 5o

rnid 4 a 3 (n)’~ ao 1 +a ,6 fâWfà)’) 81 " *

+ ( 345 fê) ,+ ’ 1 46 (nF^ 5 fe)i“ n ^( a 8 o fn)^ aaos (s }y in '*

. s 7 ^(n) , )‘ i ?‘^ tS,: 2 fe)** in * < p- 9 45 fé)" sin *^!(^)’