IV + AV + X V
i, =J(i4V+i»V+tt'V') ,
f = i tev + e v + e"V") ,
les valeurs de «', ft", «"" étant encore celles qui ee déduisent des équations (51), (52), (53) jointes Bill formules (46), (47). Alors aussi le mouvement du système pourrait être considéré comme produit par la composition de plusieurs ou même d'une infinité" de mouvements semblables à ceux que représentent les équations (64) et (76).
Il est bon d'observer que, dans les formules (85), (86), (87), les nommes indiquée* par le signe S peuvent être composées de termes très-peu différens Ica uns des autres, et se changer par suite en Intégrales définies. Concevons, pour fixer les idées, que l'on remplace le signe S par trois signes J indiquant une intégration triple effectuée par rapport aux quantités u, v, w entre les limites — x, + x. Substituons en même temps aux coefficients
f *■• f.t t, gll 1)1- 'il
et aux fonctions
des produits de la forme
iTS^dttdvdw , Çtfludt'dw , S^dudvdw , &</litdi'dw , fyjludvdw , 3,/7«f/r(7ir , TSdudvdw, €,dudvdw, J,dudvdw, <&,dudvdw, fjtàWt'aV, 2,dudïdtv:
Î&dudt'dw, &dudi'dw, &"dudvdw, &"dtidvdvt,
GJudvdw — Iï<lu)dudvdw , G,dudvdw = 7T, (s) dudvdw.
, au lieu des formules (85), (86), on obtiendra les suivantes
{ t'=fZfZfZ |'»,cos(«j+tJy-H«i)+e ï sin(»J>H3r-r«-)] « V' i * »i
a ) ( 1°=fZfZJZ j«.eos(»jr+»H-i«i>Hj^in(iu>4-<7+u«)j dududm ,
'"-SZSZSZ |/^<<«+t3r+«*M-iiii>(«J>H3l+«»)j dvivdw,
(Sï) [ U=JZfZfZ J».«»("H*^Hw)-l-».iK«+t!H<«)( ***• . ■
(93) } r..=fZ/ZfZ !«.»"("+.3r+»«M-«.rt.(~r+. 3 rH«)j d»l«lw ,
' ^-fZ/ZJZ |^.«»«(«J+>y+«">H lsin(s«*Hs-|-tM)| afcfatW ,
dans lesquelles
V„ «,, A, 8„, Ijo, 3,; 1„ «„ A, »., «j,, 3,
pourront être des Fonctions quelconques de u, v, w- De plus, les formules (601, (61), (62) donneront
(M) I7^t.) = (B l .». + *„»+/.e)coih + (6„l+4,«l+3„e)sliiJ.,
(95) nj?) = (ivi + e,« + Ae) cos *v + («M. + «j.vs-jo.e) iinb, . nj(*+Qi)+nJi°-!H) r n,(w-Q')+(".(--g') ,,
et Ton en déduira les valeurs de & t ©", ©"' en attribuant & A, 1% , G les trois systèmes de râleurs A', 13', Ci A", *", C; A", * w , S"'. Cela posé, les râleurs de £ , », Ç , précédemment déterminées par les équations (87), deviendront
« =JZfZJZ<. A ' e '+ X ' B '+ A " ~)^<Mw,
\ n=fZfZfZ (l»'9'+»"S"+14"'0")oîi,*o!u>,
J =JZfZfZ ( e ® + : ' ®" + e"'0'") nWuuV , On peut choisir les coefficients
Bo, e., Jo, «5., tj., 3.i B., t. A, «S., «j„ 3,, de manière que les valeurs de
fournies par les équations (92), (93), se réduisent à des fonctions quelconques de X, y, Cj Bavoir, à
(99) {,=0(j,j,*), ik=X (*.».«) i ?^=»(*»*>
En effet, comme on a généralement, quelle que soit la fonction /(.t*,y, = )■
tontes les intégrations étant effectuées entre les limites — x, +00, on, ce qui revient au même,
(îoi) /<*^*)=(^Q2Q7^
il est clair qu'on fera coïncider les équations (92), (93) avec Ils formules (95), (9C) si l'on prend
U=(iX^o.(«A.H7<+»'M^»)rf»rf^
I». =(â^)jQycoi( « i 1 tua t n»)a(j ^r&êftiX, B^~^j[fflMiAvill+ay)Hi*->)*'il^
S &==(^^^os(id+ru+wr)x(;.,H,*)<&àVà7, (),=(— )j£j^in(«;.+i>u+i0r)x(;.,/i,v)ctrfl , Hd;,
|J.=(j^) t /i5 , co > (u+«p + i«v) a ia,p,>.)<;n(,ii;i, 3,=(— ) J ^in(«;.+»«+«.ï) i i'(-i,,i,»)*<;,«i;..
En ayant égard à ces dernières formules, ou tirera des équations (94) cl (95)
(îot) r«.) ^f^Jffl'M ft p, ») +« z a .«. ») +<=(* («./',»)] ™ s ( fo - » ; - ••';.-"") •>"':"!>. , (105) n, « =fe^jQ7"[.M>< «, f., »H- tsx (;.,, v ) •+- c* («, p, .•)] «»(*.-.*- ..,. ■ »») .<.<</««. ,
, ce qui rev îen t an mène ,
(io6) tu,) =(^/^.^^,«,>)+AK^.«:'>^^^'):^[^'-i>^j-.«K«(*-o;-A
(107) lîfr) =(^^A<&(i.^)+^X(i^»)^3^i- W );««M^^)M3f-H>^^0:AJ>^
Si, après avoir déduit de l'équation (96), réunie aux équations (106). (167). les valeurs de €*',©", &~", ou les substitue dans les formule* (97) , ces formules représenteront les Intégrales générales des équation* (15) an (16) do § !.« . ^tanu que les valeurs de é déterminées par la formule (44) soient réelles, et que, dans l'état d'équilibre du système propose, les niasses m', sa", m" ...... des diverses molécules soient deux 2 deux égales entre elles, et distribuées s via étriqué aie ne de part et d'autre d'une molécule quelconque ai sur des droites menées par le point avec lequel cette molécule coïncide.
Daas les formules (102). (103) et (104), (105) ou (,106). (107). les intégrations relatives aux variables / , tt. r doivent cire, comme dans l'équation (100), généraleraeut effectuées entre les limites — x , -4- * . Toutefois , si les valeurs initiales des
rf| dr d:
déplacements § . r , £ et des vitesses •=-, 3-, ^-.
nj, eeat-i-dire, les fonctions
?(Ji*.*)i Z<>>*«)* *(*.**) I •(*.**)> X(»,js«), ¥*(■*••**) ne différaient de zéro que pour des valeurs de .r, y, s correspondantes aux points situés dans un certain espace, par exemple . anv, points renfermés entre deux surfaces courbes , dein surfaces cylindriques et deux surfaces planes représentées par des équations de la forme
* = F„(:r.,), ■rT,(>.j),
»=«■»■). jr = f.W-
J? — JT , X = X,,
on pourrait évidemment, dans les formules dont îl s'agit, supposer 1 entre le* limites
(no
. = f„u,„), '=r,(i.rt.
, 3. Application det formules précédente» a la théorie de la lumière.
Supposons que le système de molécules mentionné dans les deux frétUem pnragrapbes soit le fluide éthéré dont les vibrations produisent la sensation de la lumière. Pour déterminer les lois suivant lesquelles de semblables vibrations, d'abord circonscrites dans des limites très resserrées autour d'un certaiu point 0, se propageront a travers ce fluide, il suffit de considérer dans le premier instant un grand nombre d'ondes planes (voyez la page 17) qui se superposent dans le voisinage dn point O, et d'admettre que, les plans de ces ondes étant peu inclinés les uns sur les autres, les vibrations des molécules sont MM petites pour rester insensibles dans chaque onde prise séparément, maïs détiennent sensibles par la superposition indiquée. Le temps venant a croître, les ondes dont il s'agit viendront successivement se superposer eu duTerens points de l'espace, et l'on nomme rayon lumineux la droite qui renferme tous les points de superposition. Toutes fois, pour que ce rayon soit unique, lorsque l'élasticité* de l'éther nest pas la même en tous sens, il est nécessaire que dans chaque onde considérée isolément les vitesses et les déplacements des molécules soient parallèles a l'un des trois axes de l'ellipsoïde représenté par l'équation (36) du § 2. Alors le rayon lumineux sera ce qu'on appelle un rayon polarité para lié le méat a cet aie, et, si I ou nomme / l'épaisseur d'une onde plane, Si sa vitesse de propagation, 7* la durée des oscillations moléculaires, on aura
Ajoutons que, si l'on pose
HT=l.
les valeurs des -; , pour trois rayons polarisés parallèlement aux trois lies Ile l'ellipsoïde, seront précisément les carrés de ces trois demi-axes. Observons d'ailleurs que, si l'on nomme r le rayon vecteur mené du point O a une molécule voisine m ; a, § , y les angles formés par ce rayon vecteur avec les demi-axes des coordonnées positives; a, h, c les cosinus des angles formés avec ces demi-axes par une droite OP perpendiculaire au plan de l'onde ; à l'angle compris entre cette perpendiculaire et le rayon vecteur r; on «ira [voyea l'équation (14) du § 2]
cosrf = «r-os« + 6co.«/3 + cCQsy ,
(26) cl qu'eu luisant pour abréger
(5) ia=u, *£ = «, kc = w, on lirera de l'équation (4)
(6) * icostl = wcosa -+-f cobjÎ + if cos; 1 .
Cela posé, les coefficients £, 9it, 9t, ■£, 2, ift renfermés dans l'équation de l'ellipsoïde cidessus mentionné, c'est a dire, dans la formule
(7) •Li , + 3Hy î +3U î +2<Fyz+22,M + 2tfUy = i,
se trouveront, en vertu de l'équation (6) jointe aux formules (20), (21) du § 2, déterminés comme il suit,
d"v __ dy t «TT
les valeurs de o et "P ctanl
(10) Ï) = S< — ~{1— cos(r(KCOSa + fC08^ + M;cos)'))] î
{">/{>-) r . C "B (*-(mcos« + mos/S + tecosr))-|l
(11) «"P = S F^KI * (ttCOBa+iiCOS^+wcosyJ'H ï i^ - ^ J
Lorsque au premier instant les vitesses et les déplacements des molécules dans une onde plane sont effectivement parallèles a l'un de trois axes de l'ellipsoïde représenté par l'équation (7), ces déplacements et ces vitesses restent constamment parallèles au même axe, la lumière se trouve polarisée parallèlement à cet axe, et l'onde plane se propage arec une vitesse constante i2 , sans jamais se sut) diviser. Mais il n'en est jias toujours ainsi, et l'on peut concevoir une onde plane dans laquelle au premier instant les vitesses et les déplacements des molécules cesseraient d'être parallèles a l'un des trois axes de l'ellipsoide. En effet, pour composer une onde de cette espèce, il suffît de réunir trois ondes planes tellement choisies que, dans la première, la seconde, et la troisième, la lumière se trouve polarisée parallèlement au premier, au second et au troisième axe de l'ellipsoïde, et d'admettre que dans l'onde composée la vitesse ou le déplacement d'une molécule est représentée par la diagonale du parallélépipède, qui aurait pour cotés trois longueurs propres a représenter celle vitesse
ou ce déplacement dans chacune des trois otidcs composantes. Alors, le temps venant a croître, l'onde composée se subdivisera en ses trois composantes, qui se propageront a travers te fluide éthéré avec trois vitesses différentes. Ainsi lorsque \\-l\sticité de l'éthcr n'est pas la même en tous sens, une onde plane^ dans Iaquell<' lu lumière n'était point polarisée, se partage généralement en trois ondes planes, dans lesquelles la lumière est polarisée suivant trois directions distinctes ; et par suite un rayon de lumière non polarisée se partage en trois rayons de lumière polarisée suivant les trois directions dont il s'agît.
Comme, en laissant les trois cotés d'un parallélépipède dirigés parallèlement ;'i trois axes donnés, on peut toujours tracer ces cotés de manière que la diagonale devienne parallèle 4 une droite choisie arbitrairement, on doit conclure de ce qui a été dit cl-dcssus, que, dans une onde plane de lumière non polarisée, les vitesses et les déplacements des molécules peuvent être parallèles a une droite quelconque.
Le? coefficients £, Otï, 3λ 5\ 2,* ift renfermés dans l'équation (7), et par suite les lois de polarisation de la lumière dans une onde plane dépendent non seulement de la constitution géométrique du fluide éthéré, c. a. d , du mode suivant lequel ses molécules se trouvent distribuées dans l'espace, mais encore de l'épaisseur l de l'onde plane, et de sa direction, c'est à dïre> des cosinus a, b, c des angles formés par la perpendiculaire au plau de l'onde avec les demi-axes des coordonnées positives, ou, ce qui revient au même, des trois quantités
zla.
zh>.
Nous dirons que l'élasticité du fluide éthéré est la même en tous sens autour d'un point quelconque 0, si la constitution de ce fluide est telle que l'ellipsoïde (7), qui détermine les lois de polarisation d'une onde plane passant par ce point, conserve
; forme invariable, tandis que l'on fait varier la direction dn plan de l'onde, et si d'ailleurs la position de cet ellipsoïde est uniquement dépendante de la direction de ; plan. Alors, tandis que l'on fera tourner le plan de l'onde sur lui même, la surface de l'cllipsoidc devra toujours passer par les mêmes points de l'espace et du plan. Donc cet ellipsoïde devra être de révolution autour de la droite perpendiculaire au plan de l'onde; et déplus l'aie de révolution ainsi que le rayon de l'équatenr, étant indépendants de la direction du plan de l'onde, demeureront constants, quelles que soient les valeurs attribuées aux trois quantités a, h, c.
[Vous dirons que l'élasticité du fluide éthéré est la même en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle a un axe donné, par exemple, a l'axe des z, si la Tonne de l'ellipsoïde (7) dépend uniquement de l'angle compris entre te plan de l'onde et l'axe des z, et si cet ellipsoïde tourne seulement autour de ect axe en même temps que la perpendiculaire au plan de l'onde.
Cela posé, il sera facile d'obtenir les conditions analytiques propres à exprimer que l'élasticité de l'éllier est la même en tous sens autour d'un point quelconque ,
On y parviendra eflccli-
•a intour d'un ne quelconque parallèle i l'axe de* renient à l'aide des considérations suivantes- Outré le système des trois axes coordonnés des s, y, i considérons ta second système dates rectangulaires des x,, y,, i, qui partent de la même origine O que les trois premiers. Supposons d'ailleurs que les axes des x,, y,, s,, après avoir d'abord coïncide avec les aies des X, y, S s'en séparent et entraînent dans leur mouvement le plan de l'onde et la droite perpendiculaire i ce plan, ensorte que cette droite passe de la position OP i une nouvelle position OQ, l'épaisseur / de l'onde restant invariable. Le rayon veclenr r, dont la direction n'aura pas changé, formera 1* avec les demi-axes des x, t, ■ positives les angles ';. ,", -/, et avec les demi-axes des i, , y, ■ s* positives d'antres angles ««. ,m- '/i! 2° avec les droites OP et OQ des angles è. d,, déterminé* par l'équation (4) et par la suivante
(12) eostî, ^ocosef, +Acos,iÇ,-f-fcot^, de laquelle on tirera, en ayant égard aux équations (5) ,
(13) Jtcosdi =: ruo "■-, -*- tcos^, ■+- «eo-;, Soient maintenant
t», «t., 9t.; $,, i., SR», O,, «P., ce que deviennent les quantités
déterminées par les équations (8], (9), (10), (11), quand on rem «t. &, y,, ensorte qu'on ait
nV '
les râleurs de
dvdw ' "Pi étant l«f(r)
