SP
( W, C Û 8 ff-f-l', CO R/?-|-UJ, CO S y)'
cos(c(w 1 ^os(ï-H',cosJÎ■^-I«,co8J')) ,
(»/(»■) f cos(»-(«cos(r+i/cos,? + wicosy))nï
= s rr~~ [* (««s«+vcos^+«,cos r ) i + -^ — H — — J|
les quantités variables u it v,, w,, se trouvant liées avec les quantités u, v, w par l'éqaaliou
w, 1 ■+• «,' + Wi' = «" + u* + w' ,
qui , dans le second cas Reniement, se partage en deux autres , savoir (*i) w 1 1 + v 1 , = ll■^-^J^ wi = w.
On vérifie la formule (40) en supposant
(42) i>, = m — , «. = + V (V + »' + w') = ± *• En vçrtn de cette supposition , les formules (38) et (39) détiennent
(43) S F-~[t— CQB(r(i<coB«-H>cos0.+-wcos}'))] i = S p — — [i— eos(*reosa)](
Réciproquement , si ces dernières subsistent , quelles que soient les valeurs de m, v, w, leurs premiers membres ne seront point altérés, quand on y remplacera les quantités u, v, w par d'antres quantités v,, v t , w,, propres à vérifier l'équation
»l*+Pl*+«
Donc les équations (43), (44), déduites des formules (38), (39), entraîneront à leur tour ces formules, auxquelles on pourra les substituer saus inconvénient. D'autre part, comme on aura généralement
co9(r((»co8o+i'COB^+wcosy))=: 1 — j-jt («cosa-r-«yco8/?-+-wcos)')'-i-j „ » (uqosu+vco^+wcosy)*
S (kreoset) — 1 — r-^k 1 COt 1 a + . „ „
A-*cos'« — etc.
— (V+vHV)cos*« + ■ i j l3 i (iS+v 3 +w 2 )'co**a~- etc.,
Cil sufilra d'égaler entre eux les termes qui, dans les deux membres des équations (43) et (44), représenteront des fonctions homogènes de u, v, w du degré 2m pour obtenir les formules
(44) 8 \mr*'-'( u m u +* t~ , 1 1 ■a e .l j j* »»} =t*"S j«r w '«i , ".f(r)j ,
d«a( U première devra être étendue A toutes Ira TSleam «n s jl ivea As Nombre entier s, et U féconde à toute» les valeur* de * qui surpassent l'unité. Enfin, conuu
(■Mia+vtM^-t-vcti/r, * î *(« , +» , +ir , )* ï éunt développée! , fournîiaent la première des termes de U ferme
dan* learjuela le» etposanu /, *|, » lie* entre euï par l'équation
peuvent être pair* ou impair*, et la eeconde des termes de la forme
(l.2...iK'-2-?)('»--,)
., 8. . Çi-1). 1.8... Q.-1). 13. ..(— 1)
(!J!..a)(lJ!...u)(lA..O
dam lesquels les exposants / , <( , v , sont toujours pairs ; comme d'ailleurs les formula* (45) cl (40) doivent subsister indépendamment des valeurs attribuées à h, v, et offrir chacune dans le premier et dans le second membre les mêmes puissances de u, v, w multipliées par les mêmes coefficients , on tirera de ces formules 1« pour dea valeurs impaires de l , de /<- , ou de v
S jinr , "'f(r) coa^eos^Sco.", ! =0
(«) S | m***fir) eo« 1 r,co>'>o. , V j =
2* pour dea ralcurspairca de )., it et y
(50) S \J^W^tmf,\ = i ^»^>5*' 4 i t\-*«Kr)^
(51) 8 j-^-WO... W/»»»-, } = ».3...a-l>l 5 3...(M)l 3. i .(.-l) , f m ».; m „„*.. j
le nombre n dont le double équipant à la somme A-f-it + v pouvant être quelconque dans les équations (48), (50). mais devant surpasser l'unité dans les équations (40), (M). Ainsi en particulier, l'on conclura des formules (48), (49), en posant n= 1,
S }ffirf(r)cos/ScoB}'j = S |m»"f(i')cosj'Coac(j =S Jiw f(r)cosa coa/Sj =0
S[«wf(f)co8'aj=SJB»»-f(f)cosVJ = S|wrf(ï-)coBVj;
et des formules (49), (51), en posant a =2 2 ,
S |«r/(r)cos^co8 1 ;' t ' = S '»»•/(»■) cos y cos 3 a { =S \ mr/^r) coa a coa* ft j
= S [ mrf(r} cos 3 fi cos y \ = S ] tnrf(r) cos 1 y cos a\ = S \mrf (r~) cos 3 a cos [i\ =0,
S ! mrf(r) cos 1 /* cm 3 ? J = S j mrf(r) cos'y cob*« j := S ,»»•/( r) cos' or cos 1 /? J
=58 J mrfir) cos* a j =JS )»»*/(»•) cog*/î i = S J *w/(r) cos* /ï j
Ajoutons que des formules (48), (49), (50), (51) on peut remonter immédiatement aux formules (41), (46), par conséquent aux formules (43) (44), ainsi qu'aux formules (38), (39). Donc en définitive les formules (48), (49), (50), et (51), étendues à toutes les valeurs positives du nombre entier », ou du moins, s'il s'agit des formules (49) et (51), aux valeurs entières de n qui surpassent l'unité, expriment les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'élasticité de l'élher puisse êlre censée rester la même en tons sens autour d'un point quelconque.
Lorsque ces conditions sont remplies, on tire des équations (10) et (11) jointes aux formules (43) et (44)
[1 — cos (jb-cosa )
•F=g|5ga[) tw . + '- "^'»°>] j,
D'autre pirt, si, après a?olr firit, pour abréger,
Ks:\V =
on désigne par
dK 1
les dérivées do premier et do second ordre de *P considéré comme fonction de K ( on trouvera
dK du
dv
=tf,
dK dw
= ic
et par saite
du
dv
=iW,
Vît»
dvdw
=vuW',
dwdu
=wu*r,
dudv
En conséquence les formules (8), (9) donneront
(56) t=t>+ 9 V+u v T, »R.=t)+«t>'+i^P", SCsO+t^+tt^P"
(57) <B = vuf9' y
et l'équation (7), c'est-à-dire l'équation de l'ellipsoïde qui détermine les loix de la polarisation deviendra
< y(ttX + t;y + fi;z) 2 +(0 + fl ^)(x a +y 2 +a a ) = 1
Pour reconnaître plus aisément la forme de cet ellipsoïde concevons que Ton fasse coïncider Taxe des z avec la droite OP perpendiculaire au plan de Tonde. Coipme on aura dans cette* hypothèse
«vr=0,
la formule (34) donnera
et la formule (58) sera réduite à
D'ailleurs, en vertu de ce qui a été dit plos fiant [page 15] les valeurs de O, "P et par suite celles de "V , "9" ne varieront pas dans le passage de l'équation (58) à l'équation (59). Maintenant il est clair que l'ellipsoïde représenté par l'équation (59) sera de révolution autour de l'axe des z, et qne dans cet ellipsoïde le carré du rayon de l'équatcur sera égal au rapport
le carré dû domî-nxe do révolution ôlant
X> + a V' + k lc V
Au reste la discussion de l'équation (58) conduirait immédiatement aux mûmes conditions- Aïnsï, comme nous l'avions prévu [page 7], lorsque l'élasticité de l'éthcr est la même en tous sens autour d'un point quelconque, l'ellipsoïde qui détermine les loix de polarisation d'une onde plane est de révolution autonr de la droite perpendiculaire au plan de l'onde; et dans cet ellipsoïde l'axe de révolution et le rayon de l'équateur ne dépendent pas des quantités a, b, c , maïs seulement de la quantité k renfermée il, m* les valeurs de ï), °V que fournissent les équations (52) et (53). Ajoutons 1° que les formules (53) et (55) jointes à l'équation (54) donneront
lrf-P
tdt
sin(Jb-C0s«)
id<V 1 „ w/(r)cosW B in(*j-cos«) * J
*9" = T — r = r , Sl^-LJ. ^ ^— cos((b-cosa) J,
2 S qu'en développant suivant les pniHSancrn ascendantes de h les derniers membres des formules (52) , (62) et (63) on en tirera
(64) 0 t-S j-y^ H 4.2.3.4 +rB 1.2.3.1.5.6 elc -
(65) V=M - j^, *' B i.(...Ii + i,S xâïW-*-
W'^ M -i^- H ' s r/ll. 5 .^ lw ulÉlf-''°-
Chacune des séries comprises dans les (rois formules qui précèdent offre, pour coefficients des puissances paires et ascendantes de k, des sommes dan» lesquelles la foiictiou f(>*) ou f(r) se trouve successivement multipliée par
D'ailleurs l'action moléculaire, par conséquent les fonctions f(r) , /(V) ne conservent de valeurs sensibles que pour de très petites râleurs de r; et comme d'autre part, r étant une quantité très petite du premier ordre, r*, »■*,... seront des quantités très petites du troisième, du cinquième ordre, il est clair que. dans les séries en question, les coefficients des puissances successives de k doivent décroître très rapidement. Si l'on réduit ces mêmes séries à leurs premiers termes, on obtiendra seulement des valeurs approchées de
et alors, en faisant pour ourégér
»»'f(r)cos'« (67)
k tP 9\
, mrfjr) ci
on trouvera
(68) V)z=k 1 I, 'V=k i R, k>°9" = WR
En vertu des formules (5) et (68) , les équations (56) (57) se réduisent à
(69) t = (2fla , +/ï+/)i 1 , SNl = (2RV+R+I)Pi Ot = (2ilc*+iï+ J)i\
(70) 9 = 2R&eV t ± = '2Rca&, <& = 2Rabk i .
On aura d'ailleurs, en vertu des formules (50) et (51) jointes aux équations (67), Wif f(r)cos 5 « mrr(r)co«'j? air f{»-) cos* y
- s Ï7â ~ s Î7S - s îTâ '
et par conspuent les coefficients représentés [cl par les lettres 1 ci. /t ne différeront pas de ceux qae déterminent les formules (37), (39) de la page 199 du 3* vol*mu des earerctes des mathématiques. Gela posé, il suffira évidemment de diiiser par ** les valeurs précédentes de
C , Dit, 9t, 2>, a., ia
pour obtenir, comme ou devait s'y attendre, celles que fournissent les équations (45), (46) de la page 27 du 5* volume.
SI nous désignons, comme nous l'avons fait cidessus [§ 2], par s' , a" , »"' les trois valeurs de a correspondantes aux trois rayons polarisés daus lesquels se divise généralement un rayon quelconque,
seront les carrés des trois demi-axes de l'ellipsoïde qui détermine les loix de la polarisation. Donc, lorsque cet ellipsoïde, étant de révolution, se trouve représenté par l'éqnation (58), ou ce qui revient au même par l'équation (59), deux des rapports (73) sont égaux à l'expression (60), et le troisième à l'expression (61), ensorle qu'on peut prendre
Alors aussi, en vertu des équations (3), (74), et (75), les trois quantités
£î', £i', ii"\
c'est à dire, les trois vitesses de propagation des trois ondes planes dans lesquelles ae divise généralement une onde primitive de lumière non polarisée , ae réduisent a celles que déterminent les formules
fl"
:iî"
