FA K I. PL AS A

il y a entre elles une différence absolue , abstraction faite du signe , et leur différence est toujours finie et proportionnelle à l’épaisseur jr ; car l’on a ,

T'— T= 4« (j,+.jr,+y,. etc.) = -

C'est aussi ce que l’on pouvait conclure immédiatement des équations ( 9 ) et (to). La démonstration de cette propriété importante est par là établie pour des couches à-peu-près sphériques. Cependant quelle que soit la figure d'une couche (même fort alongée dans un sens et fort rétrécie dans un autre) pourvu qu’elle soit homogène, d’une trèspetite épaisseur, et composée de matière douée d’un pouvoir attractif ou répulsif en raison inverse du carré de la distance, l’on peut démontrer que 1 a différence des attractions qu’elle exerce suivant la normale sur deux points placés sur la même normale ; l’un à sa surface intérieure et l’autre à sa surface extérieure est toujours proportionnelle au produit de l'épaisseur de la couche par la densité du fluide électrique. Poisson a rapporté dans son Mémoire une démonstration synthétique de cette proposition qui lui avait été communiquée par Laflace ( Voyeis p. 3o-34). Mais on peut, ce me semble, rendre cette démonstration plus rigoureuse en y appliquant les dévcloppemens que je vais exposer.

§ iv.

Considérons d'abord l'attraction d’un segment sphérique sur le point de sa surface placé à son sommet. Je place l'origine des coordonnées x , j , z d’un point quelconque du segment à ce même sommet, de manière que l’axe des z soit dirigé suivant lu flèche, et les axes des x et des j dans le plan tangent. Comme je suppose le segment homogène, si l'on nomme P ln composante de la force attractive suivant la normale , il est clair que l’on a ;

dxdydz.z

abstraction faite du coefficient extérieur au signe intégral qui serait formé du produit de la densité par le nombre qui mesure le pouvoir attractif

2 i MÉMOIRE SUR I.A DISTRIRl TIOK Eï l’ÊLECTRICITÉ ITC.

tic l'unité de masse à l’unité de distance. L'intégrale indéfinie par rapport

f f dxJ f JJ V *■+■/■+ =• ’

si l’on nomme les ordonnées de la surface convexe du segment et H la flèche, nous aurons en intégrant entre ces limites;

v-SSÿ

Actuellement, si Ton fait x=mcosî>, ^==wsinc, l'on aura d'après le principe connu sur la transformation des intégrales doubles-,

f f ududo f f ududo

P= JJT^ r ~j) rttr ■

En intégrant la seconde partie par rapport à u depuis o jusqu à u—u\ nous aurons

où le rayon u' doit être regardé comme le rayon du petit cercle qui sert de base au segment. En nommant 9' le rayon de la sphère , et supposant H <9', nous avons

Donc, en intégrant par rapport à o depuis osso jusqu'à 9 = 2 r. } et posant c= y d ' — u* t il viendra

^ - a * K ■ Ky ) - ” J ;

d’où l'on tire

Cette intégrale commence avec us=o , ou bien v — 3', et Cnit avec usa', ou bien e = J/ 3 " — u" = 3 ' — //: donc

ce qui donne

Telle est, la formule qui, en supposant //<£', exprime l'attraction d’un segment sphérique sur un point placé au sommet de sa calotte. Lorsque le rayon à’ de la sphère sera fort grand en comparaison du double 2 II de la flèche, il suffira de prendre Pss 2 it H \ ce qui revient à dire que cette force est alors proportionnelle à l’épaisseur du segment.

Considérons maintenant l'attraction que le même segment sphérique peut exercer sur le centre de sa base que je nomme D. Il est facile de voir, que

2 itudu.zdz

est l’élément de cette force en y comptant les ordonnées s depuis le point D. En intégrant d’abord par rapport à u depuis w = o jusqu’à tissu' y nous avons

27 xzdz 21tzdz

~ V' û 7 w' t " \TP ■

Mais l’équation

donne

partant, si l’on nomme Q celte force, l'on a

En prenant l'intégrale indéfinie l'on oblicnl

H- 3 (S'-H) s^-t-coust.

Les limites de cette intégration étant 2=0 et : = // , on tire de là;

„ 3 * H'tii'—H)' 3 r.H'V 4 ji H'

Q= 3 T.U-- X . -t-TX,

ou bien

En comparant cette formule avec la formnle (17) l’on voit qu’il est impossible d’avoir P—Q. Mais, il est vrai de dire que la différence de

ces deux forces sera d’autant plus petite que le rapport ^ de la flèche

au diamètre de la sphère sera plus petit. En retenant seulement 1 rs trois premiers termes, l’on a

<’9> Q = ar//(.-| j/^+") •

l)e sorte que l’on a P— Q en négligeant les termes multipliés par le carré de l’épaisseur //.

En appliquant la formule

znudu.zdz

au calcul de l’attraction exercée suivant son axe par un cylindre droit sur le ceutrc de sa base, l’on trouve, eu nommant Q' cette force;

(30) y /r-wj i