XIV

Parmi les différentes expressions de f(x), sous forme finie, celle donnée par la formule (39) parait la plus facilement développable suivant les puissances entières et positives de x. En désignant par G m yx m un terme quelconque de ce développement, il faudrait, conformément à la règle géuérale démontrée dans le § V, remplacer ce terme par G {m y P m .x m pour avoir le terme correspondant dans le développement de la fonctiou y(ft, x). Mous allons démontrer, que, dans un tel développement, les cocfficiens G ( ,j, G ,,. , G (>) , etc. seront exprimés par des suites infinies, lesquelles sont susceptibles d’être sommées algébriquement. Mais, pour cela, la formule ( 3 g) doit être développée d'une manière spéciale, avant d'appliquer à chaque terme la règle du § V. Par la forme de la série ainsi obtenue l’on jugera sous quelles conditions elle peut être convergente. Cela posé, j’observe d’abord que la formule ( 3 g), en y appliquant la notation de Lecesdre , revient à dire que

Donc en développant ces deux fonctions par la première des deux séries (109) l'on aura

g8 MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTION DE l'ÉLECTRICITÉ ETC.

I — Xf\ 1 — X/ 1 — X t 1 — X|V I — X/ (l — X) \

h.ak ,1/ a V a 1

H ' ( I— a-f- ) — rj •

i — xlv î — xJ (i — x)

— etc.

Maintenant, si l'on développe ces binômes l'on trouvera aisément qu'en faisant

(ii 6)... n(i — a )—/',( i — a) — A',(i — i — a)’ — A 5 ( i — a)*- 4 -ctc. ; ^(.o=H(i — a) ;

. — </Ml(. — a) . .

iî — a . 3 . X , ;

[rf( ,(,)]« i ).(a.3.4...»)Ar l+< ,

l'on a ,

' J ' ' I 1 — (1 — a)x i-t-a— x a— (a — a)xl

• la a s 1 a ^ A,y t

■+■/! S--+- ; ^r-t-i — i -+- ; ’-j-t-ete. j .

Une fraction quelconqne de la forme - — étant développée suivant les puissances entières et positives de x donne, en multipliant chacun de ses termes par 1 , P,, P,, P, etc., respectivement, la série

- j 1 -+--P x-t-^î/’.x* -t-2- P„x"-t-etc. j ,

laquelle naît, comme l’on sait, du développement de la fonction

P=(p ' — ipq ft.x-t-ÿ’x’) -1 .

Ainsi cette transformation est immédiatement appliquable aux cinq premiers termes de f(x), lorsque l’on veut former la fonction désignée

par s (p, a"). De sorte que, il faudra remplacer - — î— ^ par

X= i /’jx'-t- etc. =( 1 — îiij+i) l ,

tandis qu’il faudra remplacer ^ , - — - — -, , etc. par

1 r (i — x) (t — xp 1

X = i -t-a P t x-^-'i / , ,x‘-t-4/ > jX*-4-etc. î

A’ '■= i -4- 3 P : x -t- 6 P.x’-t- i o P,x'-+- etc. ;

. +nP x +!±±Üp, x '+ n ( n -*- p, x >+ e te.

Il suit de là qu'en posant, pour plus de simplicité ;

(?= j(n-«)‘— 3(i-t-a)ft.x-4-x*J'

Ç"= î 4 4( a a) fl .x-f.(3-a)‘x‘j- i ;

nous avons

(||8) ... ç(fA, x)=A-| i — Qa-t-Ç'a — Q"a|

+h.\Xp)9L, X X^ X^+etc. J .

Les séries X { '\ X m , X' ü etc. sont facilement sommables par les coefficiens différentiels de X pris par rapport à x: car, avec une légère attention, l’on reconnaît, que

MÉMOIRE Sl'R LA DISTRIBUTION DE L’ÉLECTRICITÉ ETC.

IW=I+I

dx '

V(11 „ , dXx‘ cbx

XW=X-*-S.x~-*-2-.

dx a

d\X x 3 ^ rfx‘^ 3 . 3 ‘ <ir‘ '

. dX r x' -hG—

æx x 1 rf’A

x‘ (t'X a. 3.4 ’ dx*

elc.

La loi des cocflicicns numériques de A'*' 1 csl évidemment la même que celle du binôme (i-t-1)" -1 .

Or nous savons, d’après la formule (aq), qu’il faut faire x= 1 dans le second membre de l’équation

7 = a x r J x *-t-?(fi, x) ,

pour avoir l’épaisseur de la couche électrique à la surface de la sphère du rayon égal à limité; partant nous avons

( 1 1 9 ) ... r =zh— A. a (ç-»-3x^-»-/i.a(ç , -t-3x^)— A.a(<7'+jxîyj)

/ 'c>a( A ' +î xJi) + V(' ï,,1 +»^-)

dX&

■ - 4 ; , ; a’^A' (1 --+- 3 x j — l+eus.

pourvu cjuc ces fonctions de x et de fi soient réduites à des fonctions de fi seulement ; c’est-A-dirc À leur valeur particulière qui répond à x= 1. En faisant x= 1 , le radical désigne plus haut par P donne

(no)

doue l’on a

P-i-ix

PAR 1. PL AU à

rfA

X +' x dï = ° '

’ dx

|i — a(i— a)fi-i-(i — a)*1‘

|(i-»-a)* — a(t -ba)/j.-h i |‘

jçr =

dX'" v K dx ,d'X

A !,, - 4 -ax — ; — =JT+ 5 x-T-+iJr dx

Et comme nous avons,

Tx^ 1 * 5F* ’

y „ ,dX i3 ,d*A .rf’A

dx dx a dx dxr

v dX a 7 a5 ,d'X x> d'X

x '+' x -dr= x +" x d-x-*~}. x ïü‘+ 6 * >

v ... dX< » v . dX , J'X 3a ,d'X

X*'+ix- JT =X+i6>x^ + *lx jp-l-y*

4t ,rf'A x ! d'X .

" + "a4 X dx'~*~ ii ’ dx’' ’

rfA<“ „ dX ,rf*AT 65, ,5 J A iiSdX

x »+' x inr=x+ii x K+K*7?+^J3 ^*d*

6i ,</•* x 5 rf«Ar .

”*”:ao (T? " + " 6ô ’ î7x* ’

„ dX go ,rf*X 1 15 .d'X ao5 .d'X

A w -*- ax— j — =A+»Xj — h^x r+- - x , - r - 1 +.-^-x , T— ;

rfx <fcr a dx 3 dx a4 «x*

- 4 - ix

u s ,u /». « a vs

^ -j — r + — x -j — - -f- ta - X ? ~ 7 — - :

a ax s 44 a** 3t>o dx ’ ’

etc. :

103 MÉMOIRE SUR I.A DISTRIBUTION DE l’ ÉLECTRICITÉ ETC.

il viendra , en faisant x= I ;

dX « ,dx ZF .

M ii ax

dX w -dx

i3 rfVv Zx

a d^+dx' ’

dx a 7

SdTx+'i-

•rf?-*

3 dx' ’

dX™

dX -

^dx^^

dx'+

ZP" 1 -

a 4 ’ dx*~*~ ta

dX&__

e dx . ,,

ia5 i/'F

1 5 -ÿ — H 35 dx

•en?*

a4 ' dx'

iao ' dx*

6 o dx*

rf’.Y

3 ' 2F a4 dx %

27 ‘f'.V I Zï i .{4 dx i ~*~ 3Üo rfx’ ’

etc. ;

où ^ etc. désignent les valeurs que prennent ces coefficiens dif-

férentiels après avoir fait x = t .

D’après une formule connue de Lagrange (*), la loi de ces coefficiens est telle que l’on a ;

(*} Voyez page 916 du Volume de l'Académie de Berlin pour Tannée 1779.

dx 1

dx'

3»|/l— ft V

dx*

1—fjl

dx'

ïîy~T—n

dx'

9 ' i— ft i-3(9-7)‘(i —/*)“■ 6.5 i 6 . 5. 4. 3 i

i .3.3 (ii .9.7 )'( 1 — n ) !

etc. ;

De sorte que nous avons

dX‘-

.3 ’ 1 — fi 1 1 .' □ ( ii. 1 1 )’ ( 1 — n)‘f

i.3.3(t3.n.g)'(t — jx)‘

d JC

lof MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTIO* DE l'ÉLECTRICITÉ ETC.

X "-+-3XÎ

X^-t-ix

etc.

dX t‘>

sa t

— fjJ

dX^

a‘(i— ft) 1

-td ’

dX&

8 ’(i-fi)

dX^

A'-nY

8(< — ft)‘-

Eu substituant ces valeurs dans l’expression précédente de y nous rons ;

ùa*(a— a) ^ /ia‘(i+a)

(i ai)

(i— a(i— a)fi-»-(t— a)*! 1 I(i-t-a)* — a(n-a)ft-t-il I

Æa‘(4— a)

Aa‘

A‘-nY

3 Yi j-

to5