PAR J. FUSA

où H désigne la hauteur du cylindre et u ■ le rayon de sa base. En supposant le rayon u! très-grand en comparaison de la hauteur //, il suffira de prendre Q ' = a » £/. C*est en ce sens que Ton doit entendre que l’attraction d’un disque est proportionnelle à son épaisseur.

Considérons maintenant l'attraction d'un segment convexe ayant une fort petite flèche, appartenant ù un corps quelconque homogène. Quelle que soit la surface convexe de ce segment , l’on pourra représenter son équation par z' = A .r*-f- Bjr* , en plaçant l’axe des z sur la direction de la normale A D , élevée nu point A de sa surface, qui est à la fois l’origiue des coordonnées et le point attiré. Les axes des jc et des jr sont disposées sur le plan tangent ou meme point A suivant les sections rectangulaires de plus grande et de moindre courbure. Cela posé, l’on aura eucore ici, comme dans le cas du segment sphérique;

ududq

»/ i 7 fi

ududf

ÿls+ 7 r ’

U étant la hauteur AD ilu segment , mesurée dans le sens de la normale. Or, nous avons

x = u cos o ; = usinai

partant

i'=(.#cos*j-f-J3sin‘?)n* ;

ç r udutif r r «</«</ ?

JJ ti‘-4-(y/cos*p-*-/?s'm‘ j )‘«* JJ //’

Donc en exécutant l'intégration indéfinie par rapport à u , il viendra ;

P=f J ? Lo s- u(Acos’ i-»- (y/cos*ç4- Wsin’f )‘u’ j J A cos* <p -f- B sin* 9

— j'd<?y u'+fP .

Les limites de cette intégration étant u = o, u—uf, l’on a

»* ïf

p=njj f — jd ? y u*-* a'

4 ~ f^eos‘^gsin> L ° 6 | U ' (A c0, 'î-^ fisin » ■+■ Y t+Mcos , f+£sii)»V* -

MÊSI0IRE SCR LA DISTRIBUTION DE l’ÉLECTRICITÉ ETC.

La valeur de u' devant être déterminée par l'équation //=(/^cos*f ■+-j5sin*f )u” ,

qui a lieu pour tous les points du contour de la courbe plane qui sert de base au segment, nous pouvons écrire

P=anH-jj<fV u n +H‘+J‘l? • î )/ Lo 8 - (? ^ |/ l + »

ou bien

/>= anU-ju'df j y , Lofi. [ "-h |/ , J .

La formule

donne la série

Log.(^ + V T^)=p-i.£' + i^.^-i^|.Ç-l-etc. ;

donc, en développant le radical |/ i - 4 — , nous aurons De sorte que lespression précédente de P donne

»=3it ff—ffja

Mais

~ — ŸTl.y 4a,s' 7 +J3sm‘<?=y-I7/ . j/ 1 — ^^sin ;

et en nommant r r" les deux rayons de plus grande et de moindre courbure au point attiré, l’on a A — ; partant, si l'on ,

fait pour plus de simplicité ;

il viendra

Ainsi , nous pouvons , en général , exprimer la force P par cette série ;

„„ ... e=„ff|a|/T.p, a +"( 1 +|)(")p,A'

Il est par là clairement démontre que, eu prenant P =. 21 : 1/ , l’on

néglige la puissance -, et non le carré de 1 épaisseur // du segment.

On peut trouver de la même manière la force Q que le segment exerce sur le point D où la normale A D rencontre sa base. En ciret ; nous avons

dxdjdz( H — z)

et en intégrant par rapport à z depuis z = z' jusqu’à z — H , I on a

dxdjr

3û MÉMOIRE SCR LA DISTRIBUTION DE L’ÉLECTRICITÉ ETC.

d'où Ton tire

ff ududo f f ududo

]j -jt -JJ ■

et comme il viendra

z' = ( 4 CO$' ? + B S\ï\* f) U* ,

a ududy

s- p p a ududy

<v)= J r^jj J/ «■-»-[//— «t , (^cos* ? -*-/?sin»J

En intégrant par rapport à u depuis h = o jusqu’à u-=u\ et ayant égard à l'équation

^=(^cos*9-+-^sin*9)« u ,

nous tirons de là

Q=—Ju'd ? +±Jd ? 'jjLo ;

et en développant le Logarithme

etc.

En substituant ici |>our —, sa valeur précédente, c’est-à-dire

. A , il viendra ;

<aa)... Q=

Q=-,nff+py *.fj r S-£.lt(")fd f V

!*(£) p ?A ’- clc -

Le rapprochement des formules (ai) et (a a) démontre, que l'on ne

saurait avoir /*:= — Q, sans négliger les termes de l’ordre - relativement

PA» J. PLANA 3t

à l'épaisseur H du segment. De sorte que la véritable expression de la différence P — Q est telle que l’on a;

(a3) ... P-Q=inH-t/y

- 3 B(£,yfd,*+*c.

Cela posé, remarquons que le raisonnement de Poisson , rapporté ilans les pages 3i et 3a de son Mémoire, revient à dire que l’on a

R = S+P , et R'=S'+Q ;

où S et S' désignent les attractions du grand segment sur les points qu’il désigne par A et a; c'est-à-dire sur ceux que nous avons désignés par A et D.

Donc nous avons

Or , nous venons de prouver que , en négligeant U puissance - de l’épaisseur, l’on a

P — Q = ^n.H , ou bien P — Q=:^n.y ,

en remplaçant II par y. Donc nous avons l’équation R-R' = (S— S') + 4n.y .

Quelle que soit l’expression analytique de la force S, l’on peut supposer S=P(y, q); où q désigne la distance du point attiré au centre de gravité du grand segment. Cette fonction des deux variables y et q étant développée suivaut les puissances positives et ascendantes de y donnera une série de la forme

s =/ ” F, ( q ) -t-y P 1 F, ( q ) -t-y^F, ( q ) •+• e te.

Donc pour avoir la valeur de la force S 1 que le même segment exerce

3a MEMOIRE SUR L A DISTRniUTIOI» DE l'électricité etc.

sur un point éloigné de q-yy de son centre de gravité, il faudra écrire

l'équation

S' —y' F,(q-try )-+-/ *F,( q +y ) -t- etc.

Si l’on admet maintenant que les fonctions F, ( q -+-/ ) , F, ( q -y y ) etc. sont développables par la série de Taylor, il devient manifeste que le

premier terme de la différence S — S 1 est au moins de l'ordre I -t- ,

et qu'en conséquence il est permis de négliger toul-à-fait cette différence, lorsque l’on borne l'approximation aux quantités du premier ordre, par rapport il l’épaisseur de la couche. Alors l'on a l'équation

qu’il s'agissait de démontrer sans faire aucune supposition gratuite, et de manière à donner des idées justes sur le mode de son existence.

I,es deux valeurs de V déterminées par les équations ( 7 ) et ( 8 ) sont telles que, en posant

y—l^Ka.q jcosî, sinC . cosu , sinê.sinu, jj ,

et supposant connue la fonction f, l'on en conclura que l'équation ( 8 ) revient à dire que l’on a

F= . q j cos 3 , sinS.coss), sinâ.sinu, — j .

Lorsque la figure de la couche constitue une surface de révolution, la fonction 9 doit être indépendante de l'angle 0 , et après avoir fait cos 5 = fi, il suffit d’écrire au lieu de l'équation ( 7 ),

( a 4) y = 4na.tfÇp, ;

et au lieu de l’équation ( 8 ) ,

F/in J. PLANA

Cela posé, remarquons que, ilans ce cas, par la nature des fonctions jr„ etc., l’on a

y^ = A.P. \ jr, = A,P, ; jr A =A,P, ; etc.

où les coefficiens A„, A„ A ,, etc. sont des quantités indépendantes de p, et P„, P,, P,, etc. des fonctions entières et rationnelles de ft qui naissent du développement de la fonction

mis sous la forme

P,-4- P, x -t- P, x' -|- P } x 1 -+- etc.

La formule (7) donne alors

(a6) |^f> 0 -t-j.^,P 1 -|-i.^ 1 P,-Helc.| .

Ainsi, il suffirait de connaître A 0 , A ,, A % etc., puisque, ceux désignés par P„, P,, P % etc. sont censés toujours connus. Or, en considérant le point pour lequel l’on a cos 0 = [j.= i , tous les coefficiens P 0 , P,, etc. deviennent égaux à l’unité positive. Donc, en désignant par ’V la valeur correspondante de P, nous aurons

Il suit de là que, eu supposant connue d’une manière quelconque la fonction de x désignée par T, il suffira de la développer suivant les puissances entières et positives de x pour en tirer la valeur des coefficiens A„, A,, A , etc. Après cela, en remplaçant dans ce développement A 0> A,, A x etc. par A„P„, A, A,, A, P, etc. l’on formera la

valeur de la fonction y. Ainsi, en désignant par ^ ce que devient la fonction p (-?) lorsque [à = i , l’on aura

34 MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTION DE l’ÉLECTRICITÉ ETC.

C’est à Legendre que l’on doit cette règle pour former la fonction f \ ( Voyez Tome X des Savans Étrangers).

Soit le coefficient différentiel de la fonction f ^ ^ pris

par rapport à — . L’équation (a6) donne

Donc, en introduisant ces expressions dans l’équation (g), il viendra

En faisant successivement p=-f* i et /x = — ■ dans cette formule, et nommant Y' et Y les épaisseurs correspondantes de la couche électrique , nous aurons

y— ?(«, O-*- 2 ?'* 1 , »)i *'=?(—>» i)H-ay'(— i, i).

nous avons

parlant

ce qui revient à dire que Ton aura ces deux épaisseurs extrêmes en faisant j=±i dans l’équation

Pour une autre sphère d’un rayon égal à b l’on aura de même les équations

(3t) r=\nb*(v.„ ÿ) ,

PAU J. T1.ANA

où V t est la quantité analogue à V , et fi x = eos fl i ; l'angle 0 t étant celui que la ligne x i menée du même point O, attiré ou repoussé par les deux sphères électrisées , fait avec la ligne c qui joint leurs centres. La fonction F de laquelle l’on doit conclure la fonction î> par la

règle précédente sera en général fort différente de la fonction /(!> *

moins à l'égard de sa valeur absolue. Toutefois, il ne faut pas perdre de vue, qu’en considérant l’action simultanée des deux sphères sur le

même point O, l’on pourra considérer 4>

comme une fonction

des deux variables fi et x. En effet; le triangle rectiligne formé par les droites x, jr t , c donne ces équations

x t =K c* — aepx-t-x*; sin S =r — sin fl ; cosfl,:

c — x . cos 5

Et dans le cas particulier de fl = o , l’on a c=x-t-x, ; ce qui donne

Cela posé il est clair que, en désignant par U ce que devient la fonction F relativement à l'action réunie des deux sphères sur le meme point O , l’on aura

U=z\na<f(jL,

si le point O est intérieur à la première sphère; et

s'il est intérieur à la seconde.

En considérant le cas particulier duquel dépend la solution du ras général; c’est-à-dire celui oit le point O serait sur la ligue c ou sur

sou prolongement. Ton tirera de là la conséquence, que l'équilibre des

deux couches électriques ne peut avoir lieu sans avoir ces deux équations

w éï)-*.

où h et g désignent des quantités constantes. Telles sont les équations que Poisson obtient dans la page 43 de son premier Mémoire.