XVI

Nous avons trouvé dans le § XIV, par des procédés toul-à-fait distincts, trois séries différentes pour exprimer L’épaisseur de la couche électrique qui recouvre la surface des deux sphères. Chacune de ces séries a des propriétés particulières qui déterminent le choix que l’on doit faire, lorsqu’il s’agit de calculer cette épaisseur relativement à un point donné. Mais la série (121), considérée sous un point de vue purement analytique, met en évidence une propriété remarquable de la fonction de fi désignée par y. Elle consiste en cela, que, en regardant j comme une fonction du binôme i — fi, il doit être impossible de la développer suivant les puissances entières et positives de ce même binôme, puisque nous la voyons effectivement développée par les puissances négatives et fractionnaires de 1 — u- Ainsi, quelles que soient les transformations que l’on pourrait faire subir à la fonction y, l'on tombera, eu dernière analyse, sur un résultat complètement iltusoire, si l'on entreprend de la développer par une série de la forme

7 =zA 1 (i — ft)-+- Af ’(t — -fi) 1 -*- etc.

C’est ce qui arriverait, par exemple, si l'on voulait appliquer cette idée à la série (i 3 i), dont chaque terme est de la forme

|«-t-|9( 1 — ft)J -

Poisson, qui ignorait l'existence de la propriété que je viens de définir ainsi que celle des deux séries (121) et (127), a supposé tacitement la possibilité d’un tel développement; ce qui l'a entraîné à la fausse conséquence que j’ai signalée dans le préambule de ce Mémoire. Mais je dois exposer ici les principaux points du calcul qui démontrent d’une manière incontestable que l’on tombe sur des expressions des coefficiens M, M', M" etc. telles que, après les réductions, l’on a

A/=o , Af'=o , il/ "= o ; indéfiniment.

Pour cela je reprends l’équation (i 3 o) et je remarque qu’un terme quelconque X de f(x) étant de la forme

>1 introduit dans ?(ft, x) un terme qui peut être écrit ainsi ;

R.=.X \+3 P qx(i—ii)X‘ “* .

Kn développant ce binomo nous aurons

R. = X-pq.x{i-p)X'+^p'q'.x '( . -p)' X'

En prenant les coefficiens différentiels de X par rapport à x l’on obtient;

dX -„X‘ •

et comme l'équation p — qx—^g , donne

'~=xA — î ,=x-t- vr , q qX X'

en posant , il est clair que l’on a

mais nous ayons

!^=3.3.4.5.6.....am.9‘~;r*- + ' ,

partant ,

Il suit de là que le terme général de R. sera

uÉMOint *dh la distribution dr l'électricité etc.

i . 3.5.7. . . an> . ( , „v. a -r T , *v

(l .2.3. . .m)(i.a.3. . . am) * \ X' ) dx im

‘(^rï

a™ ( 1 . a . 3 . . , PI ) 4 \^X' J ' dx*

K 11 développant le binôme , un terme quelconque du produit

(-ar

dx v

sera exprime par