etc
En différentiant cette équation par rapport à or et multipliant ensuite par ax , l’on obtient
*) d.f(x) sx(i— /i) . ,r.xf(x){
3X di 3X ~di â j - ' dP dx' (
u‘(i- y )' i . d'..rf(x) d\x'f(x) j
a‘(i.3)’ | dx' dx s |
ax’(i — n)' ) , d'.x\f(x) , d .x'J(x)j a 1 ( i . a . 3 )* j dP *" dx » |
. 3X‘(|— fi)’ 1 , d'.x'f(x) d'.xf(x) )
3'(1. 3.3.4)* r dx' |
Ijja MÉMOIRE SUl LA DISTRIBUTION DE LÉLECT11IC1TÉ ETC.
Doue , l’épaisseur y de la couche électrique devant être déterminée par l'équation ( 119 ), l’on aura, en observant que ■ — =ssin \^0 ;
/ ro\ /*/ \ d.f(x) . » 1 r d .xf(x) d l .xj[x)
( i58). . . ?*=/(.r)-f- 2 X -. — - — xsm . — 0 ■. 3 — •: , ■+ ax ^
(1.3)' j rfj r* rfx‘ |
T ' ,ln \ 0 j ^>.x l /W , 2x d-.x '/(*) ) ( 1 . a . 3 ) a j ' </x*
J sm *° 1
(l.3.3.4) k | 9 rfx* ^ <fx’ j
— etc. ;
où l'on doit faire x= t après avoir exécutées les différentiations indiquées. Cette circonstance ofTrc le moyen de calculer les différens termes de cette série de la manière que je vais exposer.
D’après l’équation (38) trouvée dans le § IX , si l'on fait pour
plus de simplicité à = — -—y y nous avons , eu général ;
*v< x > = 7Tb J rf<
et eu remplaçant x* par
nous aurons
VW-grf -»r(^)
Supposons le second membre de cette équation développé suivant les
puissances entières et positives de u , et soit
x m f(x)=A,+A,u+A,u‘ h A, A, m + ,.u‘ m + ' ■+■ etc.
De là l’on tire, après avoir fait x=t, c’est-à-dire » = o ;
7lX‘"‘ = ( t . a . 3 . . . am) A, m ;
-( 1 . a . 3 . . . am + i)A lm+ , ;
</x“*‘ cl par conséquent
, .</*”. x m J'(x) il‘ m *‘.x m f(x) , .. . . .
(=*'»-»- ') — 3 dx'"*' =(»- 3 -3. . a^.j.
Il a été démontré dans le § IX que Ton a y*(i)-fr- 2 y'(i)=o; donc 1 équation (i58) donne
(t5g) 7 = — (i.a.3)sin*.^9.(y#,'— a./,')
(TTa.ây Sm a — a,*. )
-t-etc. ;
où les coefiiciens AJ, Al\ A”, A"', A"', A"'; etc. répoudent respectivement à m — 1 ; a; 3; etc.
Pour former ces coclliciens, j’observe que, d’après le théorème de M iclaurin, nous avons, en exécutant les différentiations indiquées et
faisant ensuite u = o ;
y - hb
..am)J
^ - hb
\ dlt ^
1 44 MEMOIRE Sl'R l,A DISTRIRUTIOM DE L’ÉLECTRICITÉ ETC.
Donc en posant , pour plus de simplicité ;
^ AttLog.t ’ nous tirons de là l’équation
(i. 2.3. . .2tn-t-i)(^„ — 2/4 m+ ,)=hbk' <
«Log. t
|( 2 ■ )J dtr> ^ü=i j < 1 — “ »/ j j
De sorte que (équation (159) est équivalente à celle-ci ;
- sin ‘- L 2° | 3 f Jt - r* ■ - “H- 3 ^ l< 1 -*)/» 9 ] |
h ^ j sjdu-. ^[( . - «)><?]- u .<-.£[( . - «)>?][
""J* j 7 / S?[( 1 - “»? y^Jdt.r*. ~ [( . -UŸP q]
-t-etc.
Ix‘s deut fonctions de u désignées par p et q étant développées suivant les puissances de u , l’on a
1 , «(A-Log-t) u ( k Log. t)' t «‘(fcLog.t) 1 ( ctc
7= 1 — - u Log. t -t- u' A w ( Log. <)*-+- n‘ ^ ( Log. f )' -4- etc. ;
où la loi des coefficieus A^., A etc. est connue, et lice avec
celle des nombres Bernoulliens , de manière qu’eu désignant ees derniers par B;,), , S, s) , etc. l’on a
Toutefois, il faudra se rappeler, que les nombres Bernoulliens doivent être pris avec le signe alternativement positif et négatif afin (tue cette équation soit vraie. De sorte que l’on a ;
Maintenant, pour obtenir le terme général de la série (160), j'observe que, en développant le produit pq suivant les puissances de u par le théorème de Maci.aumn , l'ou a la série
pq+u
du
u d'.pq 1.3* du
u 3 d*.pq 1 . 3 . 3 * du 1
M W dit
'.pq
du 1 *'
+-ctc. ;
où les coelliciens différentiels sont censés avoir les valeurs qu’ils acquièrent après avoir lait 11=10. En développant le binôme (1 — uf sous la forme
il est clair que les termes multipliés par u“ et par b* 1 "*" qui entrent dans le produit de ces deux polynômes seront les suivons ; savoir
(•) Voyti *ur ce point une Noie que j’ai publiée dan» k Tome XXV (ancienne Série) de» Mémoire» de l’Académie de Turin.
1 46 MEMOIRE Sl'R LA DISTRIBUTION DE l’ÉLECTRICITÉ ETC.
V ±p<r ,• u d ‘*‘ P'l . Hi—t) M ‘>‘*‘pq ]
rfu‘' rfu i+1 a </u'« I
i(i — i)(i — a)., d‘*'.pq i
* — r-£? -1- Hc \
y d T-P q I *(*—■> AT
^t.-s-il 1 IJ.. 1 (i+» / ^
'(-+*) rf „i« -*• a "'«+» rf „.
*■(*— «)(•—») y d^'.pq
Doue en (lesignoul le premier de ces deux termes par (— i )‘Q.u“, et le second par ( — l’on a;
du“*
( i . a . 3 . . . a i -+• i ) Af w — (i-t-a) ( i -a-3 ... ai-f i
