XVII

Le cas général, dont il est ici questiou, peut être résolu par un procédé analogue à celui qui a été employé dans les ij§ VII et VIII. En divisant par a les deux membres de l’équation ( E ), trouvée dans c'—b'

le § VI, et faisant k = , nous avons

(G,) /<*)-* /(^Wi CV .

' ' J k — cx J \k — ex/ a ac — a x

D'après la forme linéaire de cette équation , il est clair que l’on a f{x)=f(x)+f " (*)+/’" (X) ,

pourvu que ces trois fonctions soient déterminées, chacune , conformément à ces trois équations ; savoir

k — car \k — ex J ° ’ b r( c ~ ax '\= h

k — cr \k — ex) a ’

b f'"( C ~ aX \=: ‘ ,l/ '

k — cx~* \k — ex) ac — ax

Pour intégrer la première, nous ferons d’abord

l6<> MÉMOIRE son LA DISTRIBUTION DE L KLECTB1CITÉ ETC.

h', |3', ■/' étant trois roeflicicns constans qu’il faudra déterminer convenablement. De là l’on tire

parlant , l’équation (G/) donnera, après avoir supprimé le facteur commun h' ;

y (j) b ( c — ax \

fl’ — /’ x ( fy' k — y'c ) — ( j3 ’c — oy')x r \k — ex J

Actuellement, si l’on fait

Pc'-a;'=(f>'k-Sc)£ ,

I on aura

En visant par 5' les deux membres de l’équation précédente l’on

voit que l’iucotmut* est le rapport Il est donc permis défaire £'= 1 . Après cela, si Ion fait —/=/», l’on a ces trois équations

(,6 ’> ?(x)== )ü^fGS) ’

(168) c+ai»= — mjl+rm) .

I.a valeur de m étant déterminée par celle dernière équation du second degré , l’on voit qu’il y a deux valeurs de m admissibles. En désignant par m' la seconde , nous aurons aussi

PAR J* PLAKA

(169) c«4-fl m'= — m! (k-\-cm!) .

De sorte que l'on a

m + rn's

La question est maintenant réduite à rendre identique l'équation en profitant des facilités otTerles par les équations (168) et (t6ç>). Pour cela , je prends

/ A+Bx V ?(x) — W'-t -B'x)

et j’examine , si l’on peut déterminer convenablement l’exposant n rt les quatre cocfficicns A , B, A’, B'. Il est vrai qu’ils sont réductibles à trois ; mais, pour plus de symétrie , je conserve celte forme , laquelle étant introduite dans l’équation ( i G— ) , donne

/’A-trBx't' b (Ak-t-Bc ) — (Ac-t-Bn)x J*

KA'+B’xJ k-t-mc (A'k-t-B'c) — (A'c-t-B r ï)ï\ '

Cela posé, pour faire disparaître x de celte équation, je remarque que, en vertu des équations ( ■ G8) «(169), il suffit de prendre

B— ni , A’ — 1 ,

car l’on a immédiatement, après avoir divisé par ’

b /I-t-mcV

k-t-mc vA •+■ m'e/

Pour tirer de là la valeur de n , observons que, en multipliant les deux équations (168) et (169) l’on a

(k-+-cm)(k-t-cm' ) = b‘ ;

et par conséqucut l’on doit avoir

ce qui revient à dire que, n

|6S MKMOIRt Sun LA DISTBIDUTIOS DK t.’tl.KCIRK I I K KTC.

Donc l'équation (166) sera satisfaite, en prenant

f'(x) = — .1 \fH

ou bien,

- m'x y ( i +mx)| 1 j ) ’

h'yj

V c— (o+f)i+cj;‘ ’

// étant une constante arbitraire.

Ce résultat comprend celui trouvé datis le § VU: car, en supposant c=a+b, l’on a a-t-k = a(«-t- b ) = ic ; et par conséquent

/■(*)» g -. KV ~ C i -7-^ •