a — k )x-hb’~‘ bx — y bx — y
* — b i a-*-by i—t i—t '
En substituant ces valeurs, et remarquant que l'on a
( a-*-by)(a-t-by)=:a * — a (a — k)-^-b‘=c• , l’on trouvera
ab"~' fi i \
7— ÿvy* 7 ‘) ■
b' f i i cb'~‘ jc fi i ^
l'y 2 MÉMOIRE SUR U DISTRIBUTION DE l’ÉLECTRICITÉ ETE.
i il
Actuellement, si l’on fait -=«, -> = «', l’on pourra écrire
ou bien
f r n x ( a -+- g — çj)g-— («H-g’— cx)«"
U suit de là , que l’intégrale île l’équation (G,") peut être exprimée ainsi ;
' ‘ ' J ' ' a' ' . (a-t-a — cx)a* — (a- t-a' — ex) a*
oit le signe X s’étend à toutes les valeurs entières et positives de 11 depuis n = o jusqu’à n = QC.
Les quantités or et d doivent être regardées comme les deux racines de l’équation
de sorte que l’on a; aa’ = A*, a-f-«' = Â-— a . D’où l’on tire, en substituant pour k sa valeur,
(17.5) a au = (c‘ — A* — ( c J — A* — a*)* — 4 <*‘A‘ ,
(176) aa« = (c* — A* — a’) — )/ ( c‘ — A‘— o*)‘ — ^a‘b‘ ;
ce qui démontre que les deux racines * et «’ sont toujours réelles et positives, puisque nous supposons c>a-t-A.
Nous allons maintenant intégrer de la même manière l’équation (G/”). En faisant d’abord
Ton a
Doue en posant
il viendra
c — ax
Il = k.c~-c*a , G'ssc.c— «.a j
™-néin+ r^(ES) •
Actuellement, l’on fera ce qui donnera
^"( X)== h"- g"x'*'TXFï ■ * "( F=^r ) >
après avoir fait
— c.G' ; G"=zc.H' — a. G' .
Maintenant, si l’on fait
^-w=TC + ïiî^(S)'
I on aura
En continuant ainsi, il est évident que l’on obtient cette suite d'équations; savoir
H*)=7=Zï+ è lH*) ’• i
V (*) = ffn g"* * l ' / ” (■*■) ’ ♦ f "(*)= gw l G | > iC d‘^y(*) ;
etc. ;
aî
lf"'=k. H" — c. G" , G m =c.H"—a.G'' ,
H'-"=k. //!•-*:— c.G ( '-' , etc. ;
desquelles l’on tire
G<"—’=c. ■»<-*>— a.G<— i ; etc. ;
La loi de ces coeiliciens est facile à trouver : car l’on a //<"!=*. //<—■> c je . W~"—a . G<-*’ j =*.J5f<— l — c*.//'—M-a j k.H ^— /?<—>} ,
-t-elc.
ou bien,
/fi* : h- ( n * ) <— > = o ,
en se rappelant que 6‘=c‘ — «A.
Cette équation coïncide avec l’équation (171) par le simple changement de A/’"’ en k [m) , Et de n tn n+i. 11 suit de U que
JT - i =:c-t-ff'x+JÏ"x‘ + fi n x> -t-// i * , x"-*-etc.
Donc, conformement aux dénominations précédentes, nous avons
x - 4 — (<2 — A )x-t-A‘x‘ y — /'jix— 7 bx — 7’^ ’
cl par conséquent
SL—, ( — ‘ ’l
P7 vr 1 7^)
Mais,
parlant l’on a ,
c ,.; y*' /» |\ ab~ / I i\
y—/" v/“ TV T* 7 '/ 5
<l‘où l’on lire
fl * a" + '—a'’+')
cl eu observant que b'—aa 1 , l’on aura
//" — G' m> x (c — a jc — a'xja" + ‘ — (c—ax — axjâ f ’*‘
Donc la fonction f'(x) est telle que l’on a (176 = T-r .
' ' J v ' ° a' ' ° (c—ax — a'x)a"- , "—(c — ax — ax)a’" + '
En réunissant les équations (173) et (176) , nous aurons pour l'intégrale de l'équation (G,) ;
» (a H- fit — ex) a? — (a-t-a' — cx)cl’
a ' • ‘ (c — ax—dx)o ?*' — ( c — ax — ax)a!'~'
Comme
si l’on fait pour plus de simplicité;
jj g-t-fi»' — ex jj, (c — ax — ax)f'
— ex' c—ax — o/x
Ton pourra écrire
(>78) /(*) = , h{ * tt>)
a(a -t- a — ex)' » ’ 1 — //-y"
gy(a — a') g y”
fl(c — «X — Cfi'x) ’ • ’ 1 —/J'y"
I çG MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTION DE l’ÊI.ECTRICITÉ ETC.
D’après la règle démontrée dans le § VI l'on aura la fonction /^(j) par une simple permutation entre les lettres qui composent f(x). Cette
permutation introduit a a'. a - au lieu de a. et ot , et donne immédiatement, en employant l’équation (177);
tr
(6‘-f-aa — b cjc) a ’ — (//+»«' — bcx)sr'"
( bc — b‘x—a ot'x)a**'— (6r — b‘x—a u.v) y " ~
De sorte que, en posant „ b'-t-aa 1 —bcx
b-t-aa — bcx
(bc — b'x — aax)y' bc — b‘x — aJx
nous aurons
F(*)=gl-
(b'-haa — 6c.r)' « " 1 — //,ï“
(bc — b'x — a at x) ’ o ‘ 1 — H, 1 y*
Si l’on observe actuellement , que la quantité 7 est toujours plus petite que l’unité, l’on accordera que les suites infinies dont le terme général est
\—Hy"
sont nécessairement convergentes. L’on peut même augmenter leur convergence par cette remarque fort simple. En s’arrêtant à une valeur donnée de n l’on aurait un degré d'approximation exprimé par la fraction
mais la suite infinie 7 *
« — H y" 1 — Hy" a pour valeur approchée
-t-etc.
PAR J. Pl.AXA
i — Ily " (i — //•/“) (i -h//-/'" -4- etc.) (i — //y") (i -4- //y*” -4- etc.)
: t } i+y(i— //-/“-4-clc.)-Hy*(i — //y“-»-etc.)| ,
ou bien ( en négligeant dans le second facteur les termes multipliés par y-)
^r-'^Tzfü •
Donc , en multipliant le dernier terme calculé par - — l’on aura
une approximation exacte jusqu'aux quantités de l’ordre y 1 * - ' inclusivement. Cette règle est un peu plus exacte que celle donnée par l’oissos dans la page 34 de son second Mémoire où il prescrit de multiplier le
dernier terme calculé par — - — .
§ xvm.
Avant daller plus loin, nous ferons remarquer, que les diflerens termes qui composent le second membre de l'équation (177) peuvent être exprimés rationnellement: c’est-à-dire qu’il ne saurait y avoir le radical qui entre dans l'expression des deux racines a et a*. En effet ; nous avons l'équation
d’où l’on tire (en se rappelant que ù’ = aa'): pour toute valeur paire de n;
or— ot
et pour toute valeur impaire de n ;
- — ss (*• - 4 - a"") -4- b‘ («**‘-4- a'” - *) -4- b* (a** 4 -»- a'" - ') ... -4- b"~‘ (a-t-a').
De sorte que l’on peut écrire
suivant que n sera pair ou impair.
Le signe 7 indique que Pou doit donner à i toutes les valeurs
o , i , 2, 3 ^ , et prendre la somme des termes ainsi formés.
Et le signe Z a une signification analogue.
Cela posé, si l’on fait pour plus de simplicité ,
l’on aura, d’après les formules (174) et (175) ,
