XXI

Il est actuellement facile de pousser plus loin l’analyse du cas que nous venons de considérer, et même de former l'équation générale de laquelle l’on doit tirer la valeur de C, telle, que, à la distance c — a — b des deux surfaces sphériques , l’intensité de la couche électrique soit nulle sur la sphère du plus petit rayon b, au point correspondant à 5 i = o. Pour cela, il suffit d’égaler A zéro le second membre de l’équation (201) , pris avec les signes supérieurs. De cette manière, en ayant égard aux

équations (207) l'on obtiendra une équation qui peut être écrite ainsi ; savoir

B r „ B-.B/i \ Â G ~~Â G +ÏJ\ü'-')-

H S (abjr

où l'on a fait , pour plus de simplicité ;

DG = ^Wb~

3 cb

310 MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTION DE l'eLECTRICITÉ ETE.

Les fonctions G, G', G" sont, chacune, développables suivant

les puissances entières et positives de b, sans qu’il y ait aucun terme indépendant de b. De sorte que l’on aura;

G =411,(0, b, c ) ; G"=bn s (a , b, c) ;

G"=blU(a,b,c) ;

iGp

G’ =in,(a, b, c) ; G m =bn t (a,b,c) ; G'=bl\(a, b, c) ;

Maintenant, si l’on fait a = j-^; ^ = yjr, et a 'Ka ’ f) = I M a > 6 ’ c )*+- n *( a > 6 » e)— n,(a, b, c)— nja.b, c)

-h 2 î n s («, b, c)— Jl t (a, b, c)-t-n,(a, b, c)J ,

nous aurons l’équation

de laquelle l'on pourra tirer la valeur de x * — — ordonnée suivant

les puissances de ^ , à l’aide de la série de Lacrauce ; c’est-à-dire que l’on a ;

(,3,,...S=,-i-l.-i.| f (â >K; )-i.^-J:j.-V(4, Kl)j

— etc.

Après avoir exécutées les opérations indiquées dans le second membre de cette équation, il faudra remplacer a par ; et comme la distance c — a — b est celle qui a lieu après le contact des deux sphères électrisées, l’on pourra substituer pour j sa valeur en série, conformément à la formule (81). Mais il vaudra mieux s'abstenir de faire celte substitution pareeque elle est nuisible k la convergence de la série.

En supprimant tous les termes multipliés par — dans le second membre de cette équation l'on aurait

La limite vers laquelle converge s à mesure que b diminue est

i : donc en prenant 3 = ^.7., il viendra 3 0 1 JO

bien

c — a — b = rt( y 1 , 83378 — 1 ) .

Ce résultat se rapproche de celui de Coulomb , qui trouvait c — a — b — a(Y à — ') (*) :

(•) V-.jr* page 4SI da Volume cité plus haut.

mais cette comparaison démontre seulement la distance immense qu’il y avait entre la véritable équation et celle établie par Coulomb.

En développant les fonctions G, G', etc. suivant les puissances de

y jusqu'à la cinquième inclusivement, et faisant pour plus de simplicité,

t> = 7 , // = “-, r — -‘, , l’on obtiendra les résultats suivans: o ' c , 11 /

+ lpq + lp'q'+