i cto
. an -*-' j
\—H ' tlt( i •+-//<’ H'i'-t- etc. )
?.. //"sin | ( jn+ i )(£ j =cos((î).7//“siu( onlS)
-4- sin (*o ). 7. f/ m cas (2 nt à) ;
après avoir fait, pour plus de simplicité, et conformément aux dénominations du § XVIII ,
< a38 > î=Lo 6 '» ,=Lo 8 Îir^l •
Donc, en appliquant ici les (leur formules generales
t — qcosz
i — îi/cosy-i-t)'
fl*
ÿsin?
: — a^coso-4-9*
l'on aura ;
MÉMOIRE SUR I.A DISTRIBUTION DE l’ÉI.ECTRÎCITÉ F.TC.
n 3 fl
dt
J dt sin(<fl)-t-//sin(<i)
e 1 ”' i | t — 3//cos(3t£)-t-//‘ f ’
ou bien (3
4,> ". i— #7** — 5’ i — // Sj ,—Ht'
</isin(«d )
— a ( i -*-//) / ^»r 1 , .j/fco s( a ,3)+ir'j
Celle expression deviendra un peu plus simple en l’écrivant ainsi;
. , . ï y* > • . f dt
dt ■ Ht'
P £/fsiu(fd)
//)‘-+-4//sin‘(U)J
En appliquant nette formule à l'équation (178) et remorquant «pie l'on a;
, fer — a')(c — ax)
a j — ex ' a(c— ax — a‘x) *
a-t-a'-t-a(a — ex)
ri -+- a — CX
, (o-t-a'Jlc — ax) — 3 b‘ x u(c — ax — u x)
r.tn j. p lara
I on trouvera ,
flx)=-.-—-. 8b
i a a a(c — ni)
0 f dt
J (a -y- a — ex) — (<a — -a' —
ci)l*
ai
£) f dt
J (c — ax — alx) — (c — ax — ax)y‘i‘
I / dt si
“ 7 (e ”« l ) | ( ï — // 4 // sin* (/ * ) j
(a— y)£(a-f-cr'-+- îiï— aci) (a-t-ot — t'x)‘
f/tsin ( td )
( a — a')£(c — " *) ( a "+' a ) — 3 /'ïj
(Itsm(tà)
(c — ax — a'x)‘
aa
Maintenant, si l'on fait pour un moment
X t =(a-*-a — cr)(a + «' — ex) ;
X u =(c—ax — ax)(c—ax — z'x) ,
l'on aura
(a-t-a — ex )*. | ( i — TV )* 4 //^ stn*(<<5') | =(* — a'}‘-t-4.ï' i sin‘(ri) ; ( c — ax — a'x)* | ( i — //')'-*- 4 /f'sm‘(<9) j (a — «’)*( c — ax)*-t-4i*^„sm*(i»)
Eu faisant le produit des deux facteurs qui donnent les valeurs de .ï et X ti , l’on trouvera que, en vertu des équations
a4» MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTION DE l’ÉLECTRICITÉ ETC.
aa'= 4 * ; «+a '=k — a ; ak = c ‘ — b',
l'on a
(a44) A',=Jr il = c‘— .
Donc en posant X,=X tt ss m ,
Y t ' =(a — «') [a-t-cé-t- 3a — îcx] ,
Y " = ( a — j')[(i+«')(c-iix) — aé’x] ;
cl sc rappelant que ya=6 , l’on aura pour f(x) l'expression suivante ; savoir
» gb
a ' a{c — ax)
h (a — </) r dt
ai J (a-t-a — tx)- -(a-f- x — cx)C *
, gy(«— a ') r àt
ai I (c — ax — a'x) — (c — ax— ax)yV
dlsin(ti)
— i) (a — a'}*-t-4nisiii*(sî)|
dlsin(ti))
x'y (c — a x 4 b'm sin* (t i) j
En exécutant les deux premières intégrations indiquées, l’on trouverait que cette formule s’accorde avec celle que l’on voit dans la page 70 du second Mémoire de Poisson. Au reste, cela devient manifeste en observant que ces deux intégrales définies peuvent être évaluées dans tous les cas par la double formule
PAR J Pl.\> A
‘wîi L ° e (vb=fà) = F=
.V —pi I
Sur cela il importe d’observer, que la valeur de x étant toujours comprise entre - 4-1 et — 1 , les deux quantités (o-4-« — ex), ( c — ax — a') seront toujours positives. En effet , nous avons et
(347) ••• c'=b'-+- fl k = (a-4-»)ri — o>* ) : ce qui exige que l’on ait
c<a-4-a ; e>a-+-cr' .
Comme nous supposons c>a-4-é, et par conséquent e*— a* — é‘>3ai ,
il résulte de l’équation ( 174 ) q»e la quantité ‘/ = ~ est toujours inférieure ci l’unité J ce qui rend Log.y = d un nombre nêgnli/'.
Cela prouve aussi, que la quantité m — X l sera positive depuis ,r=n
jusqu a x — = — j — ; et negatwe ctejnns x— jusqu a
Pour avoir l’expression de F(x) il suffit de faire, dans le second membre de l’équation (a45) , la permutation démontrée dons le § \ I. On obtiendra , en posant
X' =1 a (a-4-st') -4- ib' — -ibex ; A' ll '=(«-+-a')(c — bx) — a nbx ;
l4l MÉMOIRE SDK LA DISTRIBUTION DE I.’ÉI.ECTRICITÉ ETC.
ha
a' b 2 ' b(c — il) dt
b S^ a a ^ j (b‘-t-aa — b ex) — (A‘-t-a'a — bcx)t'
^h/tf(a — «') f dt
') (bc — b'x — a’ax) — ( bc — b'x — stax) 7‘e
■ 4 m'b'tüa'.ti J
2 ha
f* dts\n.l3
éx)’-4- 4 m'i'iin’.ljj
En décomposant les deux derniers termes des expressions de f (x) et F(x) que nous venons de trouver de manière que les diviseurs en x soient du premier degré seulement, et faisant ensuite pour plus de simplicité;
V =N'(i-t')+(i- 4 -t‘)yj ;
LT =A r ' ( I —y* <*) — (! -t- yV)jnv ; a £/"=A T -+-2i‘iV , sin\dt ;
7’ = (A r -+-4c*é’sin*.a/)| i ; air=c'M/r—a'WU" ; fr"=(N+la'b t %\u'.it) C ^T -, n‘={tr'-*-a u*)(tr' —a u") -,
F =)r(i— «*)-4-(n-t*)Vlv ;
F =F(i— y***)— (1+7’OV A;
bW' — K -4- aa’jÿ'sin’.dt ;
T=(A r H-4c*u , sin , .a<)p ; bïï=c'M t T — b'N'ïr’ ; W’*==(iV-+-4' l *^’ s ' n *'^0^ï r > R‘=:{W'+bir)(W‘— biF) ;
l’on trouvera qu’en écrivant, comme précédemment;
l’on a ;
' y,v ’ ’ ’ ' aa uS J U— aac(i— »‘}j
^vz. ç ^
a J ( e ™‘ — •) (A'sin i 1 ■+■ y y .y — i . cosd/ — ïacx.stnit)
Kl fl dt
a ,1 1**" — i)(JV'sm3t — y .V .y — i . cosôf — 3acx.sinit )
3a c — ax ai J aac(i — •/ l ) — l
^byy.y—, r* < tv — TR.yzr^dt.ànit ac J(e" , -i)H(aC/"-h/{.y~, — rT.x)
AJ/3F.y^7 r* { />'-+- v/{.y-“) ( //.sin3?
ac ‘ J(e' r '—,)H(aU"—Il.y^.,—cT.x ) ’
(a5a) ... f (x, b, a, c) = -4 — — jZ . f
J» bu J fl — 3bc ( I — f)l
b J (e”' — i)(Ws,nil+yx.y-,.c 0 sSi — sbcx.sinit)
b J («”' — i)(iVsinâ/ — y’Â'.y— T.cosJt — aAcx.sind/) ’
a44 MÉMOIRE SCR I.A D1STAIBCTIOM MR t.’ÉLECTMCITÉ ETC.
a t a y ŸS f dt
(a53).. ■/>{*, b, a, ^——J^'c—bx^ 65 'J aic(i — y* t‘) — V's
a y > y^j r (W— Pi'R.y^\)iit.am3t oc ’J (e K, — i)n(biT"-i-tt.y—i—cTx)
a yîv.y— i r (iv - 4- A'n.y^ri )t/<.sin
bc J (<•“' i)Ti(bTr — —
CTi )dt.s\nit
cTx)
Maintenant, si l'on fait x=o , l’on trouvera, après avoir fait disparaître les quantités imaginaires ;
i Cdt
a N'.yn r
étsiu.ii
I ) ( iV- 4 - 4 nV'sin*. 9 1 ) ’
b 7 yjv r
dt
aac ca*iî I i
a bM,\H C
dt.imit
ac J(e”'-
-i)(yV-h4a‘i* siu“. 9/)
r lyn ç dt
~ ib b% J (/
dt.ündt
-tf.v» f *
dt.sindt
) ( iY-t- 4 a*4* sin‘. Jt )
Cela pose, si l'on applique au\ différons termes îles équations (aôo), (u5t), (ï5a) et (a53) la fonuule (tao) pour passer des équations (a-jà) et (a4o) 4 celles qui déterminent les épaisseurs y et z , l’on trouvera , qu'en faisant
r'^V'sindt-t-Klv.K^T-costfr ,
T " — 4«‘c‘ sin'ét
( T" — 4/tcsin 9t . 7’’ cos S -4- 4a’c*sin\5t ) l
Ur.-ïTR.y=i | }(«f/''-4-fl.K-.)‘-c , r[
r f ! /if . f tt w— .
■ — ^rt— G - 4 -// K— > ,
[ (aC/"-t-/f . y l )’— 2 c 7’(a U”-*- R . V—, ) cos S -4-c* 7” j 1
Cf— 4«V(t— t*)*
-je
— 4 acU(i — {^)cos0*^4 a *c*(
■c*(i — y't*)* — §acU'( \ — y *<*
)cos5-4-t/'*|‘
ÎT» — 46*c»(i — <*)*
— 44cF(t — <‘)eosS l -4-44*c‘(i
44‘c’(i —ffy — Tÿl
4 b‘c ‘ ( 1 — y *i*)* — 44c(t — y’f jp'cosî,-»- r> 1
. . iaD.jr = Af(b, a, c) — B/,(a, b, c)
(c* — Rac.cosS-t-a*) 5
-4 .YV \m b , «» *)-■»/.(•. b, c) j J
i i Cjt.H'sûai
-4- 4*. YH J Af , (*, a, c)—BJ ; (a, b, c) j J
| Af\b, a, c)-B/,(a, b, c) j jrUt
a , c)-Bl (a, b, c)j T" Ht ;
.. zb D z = Bf v (a, b, c) — Af(b,a,c )
! Bf % (a, b, c) — Af(b, a, c) j a(c*— A>)
(c* — ibc . cos0,-4-£*)P
— 4 VTv | /?/(«, b, c)—AJ ; (b, a, c) l j^r~
■+■ 4 « • yn b, c) — A/, (b, a, c) J j
- ip j B f (a, b, c) — Af,(h, a, c) j J T" H I
^tpL )/?/,(«, b, c) — Af, (b, a, c)jf T’ Ht
p.in j. pi. axa * 247
où U signification de la lettre D est conforme à l'équation (190), et les lettres G , TT' désignent ce que deviennent G et H 1 par la permutation des deux lettres a et b cntr’elles , après avoir écrit 0 t au lieu de 0.
Relativement aux trois intégrales
r dt ç dt r lit
)v> Jt> Jt=ï7‘>
il faudra se rappeler que l’on a
ïôc l, ' ) * | = ~~&Tc L ° S ’ j — (.{ 1
jr-
* t ( VlV ) 1 1 ((c — b )‘ — «*(
Wc ° 8 ’ — 86c ’
et surtout observer, dès ce moment, que chacune d’elles est susceptible
a48 MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTION DE l’ÉLFXTRICITÉ ETC.
croître indéfiniment à mesure que la distance c— a — b, qui sépare les surfaces des deux sphères, devient plus petite. Cette circonstance exige un examen spécial, soit du numérateur, soit du dénominateur commun D , qui entre dans l’expression de y et de s, pour voir, si, effectivement, les intensités peuvent devenir infinies par le rapprochement graduel des deux sphères électrisées. Il suffit d’avoir, ici, indiquée l’existence de ce cas singulier qui sera analysé ci-après.
Je ferai en outre remarquer qu’en posant , pour plus de simplicité,
!i r (6,«,*,5) = -ilp.J T" itt — 4 y-?, j* ;
n.(* , *. •)— Vt-f ;
1 ce
r, , , 4vV> r,„. f dt.JTsm -à t
= iVl + 4Vi».J— ï-ry-;
l’on aura ;
(:i63) .. iaD.y=Af\b, a, c)—Bf>(a, b, c)
| Ab.f,(b,a, c)—Bbf,(a, b, c) j (c‘— «■)
(r 1 — 3 «c. cos 9 •+- o’ ) l
«» c )- n .( A > a, c . Q)+Abf t (b , a, c) H,(A, o, c, 9) — «/,(«, A, c).ll, (A, a, c,6)—Bbf,(a, b, c).n,(A, a, c, 5);
(a64) .. 2 bD.z=B/,(a, b, c)~J/,{b, a, c )
| | B «/. K b, c) — Aaf\a, b, c) j ( c—b *) (c‘ — aic.cosS -t-b'f
•*-Bf,(a, b, c).n,(<7, b, c, b, c). 11,(0, b, c, 0)
— 4f,(b, a, c).n,(o, b, c, Q) — Aaf\b, a, c).n,(a, b,c,0).
Maintenant |>ar le seul rapprochement tic ces équations avec celles désignées par (ig5)ct(ig6) l'on voit aussitôt que, en ayant égard aux équations (a84) qui seront définies ci-après, l’on a;
j p ‘ — 2 cos I-t-o VdA‘ 1 ‘
(aby | c x Mi — a x p.\~ t J
1 | c x M * —3 a cos 0 «+-a* | *
= II, (A, c,$) ;
et deux autres équations semblables que l’on obtient par la permutation des deux lettres a , b dans les deux membres de ces deux dernières équations.
Telles sont les formules générales qui expriment, sous forme réelle et finie , l'intensité électrique à la surface des deux sphères. Elles deviennent illusoires, lorsque l’on y fait c=u-4-£> et par conséquent £=:o. Mais ce cas particulier, qui est celui du Contact des deux sphères, doit être traité à part, ainsi que nous l'avons fait: nutrement, il faut entreprendre plusieurs transformations, qui, à certains égards, augmentent la difficulté de la question.
Analytiquement parlant , ces formules sont très-remarquables par la symétrie de leur forme , et même par leur simplicité : ce qui est une propriété fort éloignée des idées de Poisson sur ce résultat. Il n'a pas entrepris de pousser jusqu’à son dernier terme la solution de ce problème , et laissa intacte la difficulté que présentait l'exécution d’un calcul, qui lui paraissait devoir conduire à des expressions très-compliquées. Certes en énonçant cette pensée, dans la page 79 de son second Mémoire, il ne prévoyait pas que la complication existait seulement dans les expressions intermédiaires et non dans le résultat final.
MÉMOIRE SUR I.A DISTRIBUTION DE l’ÉLECTIUCITK ETC.
