XXV

La première remarque que l'on doit faire pour traiter celle question en modifiant convenablement les formules générales consiste en cela, que la quantité i sera d’autant plus petite, que les deux sphères seront plus rapprochées. Car, en faisant c=za- 4-A-4-A dans l’cqualion (a 38 ) l'on obtient pour 3 une série ordonnée suivant les puissances de A , de laquelle , en retenant seulement le premier terme , il viendra

De sorte que, pour examiner de plus près le cas particulier où les deux sphères sont fort rapprochées, il est d’abord nécessaire de développer suivant les puissances de 3 , les équations (280), (281), (282), et (283), afin de pouvoir ensuite composer les expressions des épaisseurs électriques jr et z.

Pour cela je commence par observer que les équations a—-, oè=— =6y,

trouvées dans le § XVTI , donnent a — a' = 6 (y~' — y) : et comme l’on a par les séries, en vertu de l’équation (a 38 ) ;

y ~ • = 1 — ^é'-+-etc. ,

v = 1 + }+ J -*-etc. ,

il est clair que l’équation a(a — of)=Y~i ï, donne

(287) yiv=— a <,iJ(n-3>n) ,

en posant

-t-ctc.

Pour développer de même la valeur de c , j’observe que l’équation (247) donne

c' = (a-+-by)(a-$-by-')=(a-4-by-*-ab{y — a-+-y“’) ; d'où l’on tire

(288) ... fa(sé.i)’ + rir(, + ^ 3 -^+ ^y .. :i .t.Hc.)

'(â+Ef

T d’-t-etc.

Donc, en prenant la racine carrée et ordonnant suivant les puissances de 3‘ nous aurons une série de cette forme

où l'on a

j 1 1 ab

A(, ’~Ti~4'(a-*-by ’

j 1 t ab . 1 a‘b‘

. 1 i ab 1 a K b* 5 a l b l

A;JI ~ 3 . 4. 5 . 6. 7 . 8 ~ 3 aô ' (a-f- b)' H " 3 â ' (a b )* ~ 84 ' (a -t- h )•' ’ etc.

Mais y pour plus de simplicité , nous ferons

ce qui donne

Il's= 1 •+-^ t ,) 5 ‘-+-v/ ( ,,(d‘)-t-etc. ,

aa-rrr

PAS J. PLANA u 5 ()

Maintenant, si l’on considère que dans le second membre de l'équa-

VTc' K"

lion (277) il y a des termes multipliés par ^ j ÿj j > et 'l ue P ar

les séries que nous venons de trouver l’on a ; d'abord

et ensuite

y A” b' — a ' — c’ + jsc

a. yT' 2aé*‘(n-na*) ’

tyT ’~

(a-t-b) [t :£ 1] (' "** ia® * + ' ctc ') ail’

fca’ln-na’) 3(i4-na‘) "*■ a(a-4-A)(i-+-na 1 ') ’

l'on eu conclura, que le cas où l'on prend le signe supérieur des termes ambigus mérite une attention spéciale. Car, à raison de la présence du

terme — 3 ~ il y aura un abaissement de deux unités dans les

exposons des fonctions multipliées par ce terme et développées suivant les puissances de S. En conséquence , il faudra conserver au moins les termes multipliés par S x dans le développement des fonctions iji > (a, b,c), y, (ci , b , c) afin d'avoir un résultat exact relativement aux deux premiers termes des épaisseurs électriques j' et : fournies par les équations (377) et (378). D’après celte considération , et à l’aide des équations

*** [ {c-H$»- t]= aL0 * 1 ( c +tf—F j *

^6 - pZfcffi ]-» 1 **

nous avons formé, en négligeant les termes multipliés par t', les équations suivantes; savoir

iV’ss 1 a(a-t-b)-t-abi‘ ;

JV'.yÂ=— 3Ùa‘ 3(a-t-i)

a 60 MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTION DE l'ÉLECTRICITÉ ETC.