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l dla'màt i f dtsinàl j

*' IJ <«*"* — 1 >( 1 —ffùn'it) P J(e”" — t)(i — y*sin‘3i)l

4 | f rffsinîf (3-f-r')“ f dtsin St f

•*T- jj(e- , ,)(.^sin*o'l)‘ j (e n*»t)* {’

Je reprends maintenant la considération des équations ( 337 ) et (3a8) pour donner des séries propres ù faciliter le calcul numérique du coefficient A’ B" — B' A” , où la définition des quantités A ’ et B" est donuéc par l'équation (3o3). Pour développer l’intégrale désignée par E' j’observe d'abord qu’en remplaçant ^ par 1 ■ ) — ^ , l’on a

donc , en développant l’exponentielle t "* et intégrant ensuite chaque terme par la formule donnée dans le § X l'on aura , après avoir fait

H=k, — a.aAr,-*-3.a*À-, — 4-a 1 *5-*-5.a , * t — etc. ;

384 MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTION DE l’ÉLECTRICITÊ ETC.

Ainsi, l'équation (3o3) revient à dire que l’on a

ia(a-*-6)‘ 6’ (u-+-£)‘ j

(da)'\

6* (a+by ti ^ rA | S"~ 3{a+A)‘

Si l’on prend « = r , le calcul de la série désignée par H se fera avec d’autant plus de facilité que b sera une fraction plus petite. Mais, par la permutation des lettres a et b, que Ton doit faire pour conclure de là la valeur de B n Ton perd une partie de cet avantage , puisque la

nouvelle série procède suivant les puissances de - ^ . Pour obvier à

cet inconvénient je remarque, qu’en développant directement l'exponen-

lielle t *+* l’ou a ;

idt.r™ Log.(i) a

J ""7 ~t = ( — k '- helc -

De sorte qu en posant a = — , et

(34o) ..... //' = A* > -f-3a , À‘,H-3a' > A- 4 -+-4 a,3 ^>-+“ clc - >

I on a ccttc seconde expression de A* ; savoir

À » b% • ( a ~ b ) » | ab I

ia(<M-6) 3 6’ («-»-£)* (6 2(a-+-£)*j

Donc en employant cette formule pour en tirer la valeur de B" par la permutation des deux lettres a et b Ton aura

où nous avons

(343) //" = A\ a a . A j -f- 3 a*. + 4 a 1 - h* •+■ etc.

PAR J. PLASA

De cette manière le calcul des deux séries H et H " sera facilité par la circonstance que la ditférence de leurs termes tombe seulement suite signe.

Cela posé, à l’aide des deux équations (33g) et (34a) l’on obtient la suivante :

a a j/i 6‘\ AV a(a — b)b'

3'(a-t-4)* | \3 a A'\ aa’/| ’ + ’3«(a-t-é)(«-t-a6)''//'

et par conséquent les équations (3a^) et (3a8) deviennent équivalentes à celles-ci ;

TW ’

A' A ".g W bO"

où il faudra substituer pour bD" sa valeur fournie par l’équation (3a6). Si l’on suppose « > 6 , les formules trouvées dans les §Sj IX et X y

prouvent que l’on a toujours , > i : d’après cela la seule inspection

de l’expression analytique de la quantité A " que nous venons de trouver suffit pour mettre en évidence qu’elle doit être toujours positive , puisque ehacuuc des trois parties qui la composent sont elles-mêmes positives ; c'est-à-dire de même signe que lu différence a — b. Cette driiioiisii-atiou nous paraît beaucoup plus simple que celle donnée par Poisson dans le N* (48) de son second Mémoire.

Avant d’aller plus loin je ferai remarquer (pie In limite sers laquelle

converge JV" à mesure que — diminue est

ou bien

A" = if

Su I J

JV B I (*-

286 MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTION DE l'ÉL CCTR1CITÉ ETC.

D'après l’équation (3a6) le dénominateur bD v converge vers la limite

5 j»C+Log.a + Log.(J)J :

donc, pour des~valeurs fort petites de - il suffira de prendre

ou bien (34 7 ) ■ ■

9 1 3 C-t-Log. a -+• Log. G)!'

en posant C'=C-t-- Log. 3 = o, 928789 .

Pour faciliter le calcul de cette formule il convient de l’écrire avec le Logarithme tabulaire : alors l’on a

o, 8oi3g3o-i-Log.tab.'^^^ J g(., 338679)

o, 8o3393o-t-Log.tab." G)’

En appliquant notre formule à l’exemple choisi par Poisson, où l’on a

A = , il viendra jr = A(o, 1 1875) : c’est-à-dire que celte épaisseur

est environ le neuvième de l’épaisseur moyenne A qui a lieu sur la plus grande des deux sphères.

Cette valcnr de y ne s'accorde pas avec celle que Poissox a donnée, pour le même objet, dans la page 104 de sou second Mémoire. La discordance tient à deux causes: la première est celle déjà signalée plus haut relativement à son dénominateur A : la secopde tient à ce qu’il fallait prendre

PAR J. PLANA no-

au lieu de

^J dt. Log.(:) t

dans évaluation de la limite de A' ft" — B' A elfectivement nos formules (339) et (34i) démontrent, cjue la limite vers laquelle converge A " est zéro: et la formule (3.(2) démontre que la limite vers laquelle converge B n est

lorsqu’on fait a=i : ainsi il y a omission, dans le ealenl de Poisson ,

d’une des deux parties, chacune égale à ~ -

Le calcul arithmétique des équations (345) deviendra un peu plus régulier en posant

C"=2 m^C-4-^Log.aJ = o, 801393 » ;

ce qui donne

Log. tab.' ^

/M- Log. tab.' ^

où ni = module = 0 , 434? cl Log.ain=9,g3S8i43

n88 MÉMOIRE St’ R LA DISTR1BUTIOR DR l/p.LECTMCITK ETC.

Rien no démontre mieux que ces formules la différence intime qu'il y a entre le cas des sphères inégales et celui des sphères égalés: dans ce dernier [Voyez la formule ( 335 )| l'inteusité varie rapidement, étant proportionnelle au cube de la distance, tandis que pour les sphères inégales la variation de l'intensité étant Logarithmique est sans comparaison plus lente. Ainsi ces deux cas, quoique compris dans les mêmes formules générales , constituent en réalité deux variétés d’un même phénomène qu’il est essentiel de distinguer pour éviter toute confusion, soit dans les idées théoriques soit dans les résultats fournis par l’expérieuce.

Pour faciliter les applications des deux formules ( 349 ) I e pl° c ® lcl la table que j'ai calculée pour y prendre immédiatement les valet*** des trois nombres P, K et IV au moins dans les cas relatifs a des sphères

dont le rapport - des rayons est donné par des fractions fort simples.

0, 3 ao 4 o

0, ta 336

1» > 4 ° Sg

Cil yi OJl - Vl|4*x

PAU J. P LAS A

PAR J. PLASA

Les trois nombres P, H cl //'' qui ont été calculés pour obtenir ces résultats deviennent nécessaires pour avoir les valcui-s de y et de z avec toute la précision que comportent les formules ( 3 a 4 ) et ( 3 a 5 ). Car en posant

P — C-t-Log. lab.'^i -t-^ + ^

il est facile de voir , que ces formules peuvent être mises sous cette forme ; savoir

gYab'-ra')[^^Y^^(ab’'-ba’')

P-+- Log. tab.^-^