G [ (A A'-*-BB')Y' + (AB'—BA') V

a j P-t- Log. tab.* j

(a'A'-\-b'B') I P-t* Log.

3 P-t-Log.tab/(-)j

où Z' et Z" désignent ce que deviennent, respectivement, les fonctions Y et Y" après la permutation des deux lettres a et b : de sorte que il faudra faire dans ces formules;

I 4 a ( a +i)*. sin -.|J±j

Or il est manifeste que ces valeurs de Y' et Z' sont les mêmes que Y Z

celles de -j- , et j données par les équations ( 66 ) et ( 67 ) ; en conséquence , l’on pourra appliquer ici les formtilcs trouvées dans les §§ IX

3oi

et XI pour évaluer ces intégrales définies. Ainsi le cas du contact , et celui des sphères séparées par un petit intervalle dépend des mêmes intégrales : ce qui est un de ces rapprochemens très-éloigués des idées primordiales, et seulement saisissablc par l'analyse mathématique. Lorsque

A=o, le dénominateur P-¥~ Log. a) devient infini ; ce qui rend

rcs valeurs de y et z identiques avec celles de Y et Z fournies par les équations (66) et (67) , après en avoir éliminé h à l’aide de l’équation (68) , qui donne la valeur de cette constante en fonction de la quantité totale de l’électricité répandue sur la surface des deux sphères. Il suit de là, que le principal terme de la valeur de y et de z que nous venons de trouver demeure constant, si la somme a'/i-+-b*Jl demeure constante; ce qui est un résultat fort remarquable, qui a été aussi reconnu par Poisson (*). Toutefois il élait nécessaire de pousser plus loin son analyse pour apprécier jusqu’à quel point l’on pouvait dire avec lui: « De quelque manière que deux sphères soient électrisées w lorsqu’elles sont séparées par un intervalle infiniment petit, et quoique »» elles ne se soient pas encore touchées, l’intensité de l’électricité aux » points les plus éloignés sur les deux surfaces, est la même que si » clics étaient effectivement en contact ».

Dans le cas où les deux sphères sont égales l'on a ce qui

donne

a^ r = &Æ' = Log. hyp/a ; G/ = G5'=2ma ;

aY"=ibZ"=~ ■

V=C" — Log. tab.' 3-t-ama = r, io34o3 ;

(r’-ri)Log.(i) ^ t pt.n Log.(i)

En développant (1 — 1)~‘ l’on trouve

(*) Voyez page 110 do son second Mémoire.

3oa MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTION DE l'ÉLECTRICITÉ ETC.

d’où l’on tire

11 }' —3—^ + 3 iT 1 *^ = 91 = *

Donc, en substituant ces valeurs , et faisant

a Log. lab.' a "

nous aurons

jr = p{A+B) + z=p(A+B)~

C'^Log. lab.”(|) ’

C'"-<-Log.tab.-(!) ’

où la distinction entre les deux sphères consiste en cela, que, J appartient à la sphère dont A désigne l’intensité primitive , et z à celle dont B désigne l’intensité primitive. Lorsque les deux sphères sont d’abord électrisées de manière que l’on a A -+-fl=o , ces formules donnent

aft'A mn'A

<?'*-+- Log. tab.'Q) 4C"'-ML. g .tab.'(!) '

et comme

C M samC-t-aLog.tab.'a , l'on pourra écrire , eu Logarithmes hyperboliques

8 C-+- 8 Log. a ■

WR J. PLANA 3«>3

ce qui s’accorde avec la formule trouvée pour ce cas particulier par Poisson (*).

Remarquons maintenant , que , après le contact des dent sphères , l'on u nécessairement l'équation A B' — BA’ — o ; et que par conséquent les formules (353) et (354) x réduisent à celles-ci ;