ll=Z 2 / TT

prendre successivement pour/, zéro et tous les nombres entiers et positifs, et ne donner à 1 que des valeurs infiniment petites, positives ou négatives : dans le cas de i zz o, on ne donnera à 1 que des valeurs positives, afin que les valeurs correspondantes de 1 le soient aussi.

En traitant ainsi 1 et g comme des quantités infiniment petites, on aura d’abord

et ensuite

U = "TT" 2 \fh cos(*'— x) ~.Qx </*']

On verra, comme dans le n.° 3 1, que l’intégrale, relative à 1 est égale à tt, excepté dans le terme de la série qui répond à / =z o, pour lequel cette valeur est réduite à 7r. En séparant donc ce terme des

autres, et mettant a fa place cfe <p x', fa fonction fx qui résulte de Jetât initial de 1 anneau, nous aurons définitivement

u — dx-t- — t — S (y:os (x — x) y .fx' dx'^e

la somme S s’étendant depuis /' = i jusqu’à /' = oo, et les intégrales étant piises depuis .v = / jusqu à x zr-t- /, c’est-à-dire, dans toute

l’étendue de fa circonférence de l’anneau.

On vérifie immédiatement que chaque terme de cette expression satisfait à 1 équation (1), comme aussi à l’égalité des valeurs de u, et

à celles des valeurs de ~ , qui répondent à x- = / et * = — 1 .

[ 4 °.] Lorsqu’il n’y a pas de rayonnement extérieur, on a h — n et la valeur de u tend continuellement vers une limite indépendante du temps, savoir :

■Tiff*' d *’

limite qui est la même pour tous les points de l’anneau , et égale à la moyenne des températures initiales ; ce qui tient à ce que l’anneau conserve, dans ce cas, toute la chaleur qui lui a été primitivement communiquée.

Quand, au contraire, le coefficient h nest pas nul, la valeur de u diminue indéfiniment ; mais , comme les termes de la somme 2 décroissent inégalement vite , il existe un état final de l’anneau qui précède son refroidissement total, et dans lequel, en général, le terme qui répond à i — 1, a encore des valeurs appréciables, tous les autres étant déjà sensiblement nuis : on a donc alors, à très-peu près,

/«• (*—*') r fx'-^r

En mettant l —h •** a la place de x, et désignant par v la valeur correspondante de cette température finale, 011 aura

PHYSIQÜE

-iî 2 ^ 1

v = ~^J~J'f x ^ x ' — e ~ bt e 1 f c °s( Y — *j)-y -.fx'dx, et par conséquent

«+ fz= — L —Jfx dx ;

quantité indépendante de x ; ce qui montre que la somme des températures de deux points opposés de i’yineau est la même dans toute son étendue, lorsqu’il est parvenu à l’état dont il est question : on entend ici par points opposés, ceux dont la distance, comptée sur l’anneau , est égale à la moitié de sa circonférence. Cette propriété curieuse de la loi du refroidissement final a été remarquée par M. F ourler, qui s’en est servi pour déterminer par l’observation la valeur numérique du coefficient b.

Si l’anneau était entretenu, en un de ses points, à une température constante, ce serait le cas d’une barre dont les deux bouts ont des 'températures constantes et égales entre elles : la loi des températures finales sera donc exprimée, dans ce cas, par la valeur de U du n.° en y faisant 6' izz G; ainsi, l’on aura

( x Vb — x Vb \

Hl ~ lVb

L’observation de cet état final de l’anneau pourra donc servir à déterminer le rapport ; or, on a ( n. ü {)

b yt

les valeurs de et b étant donc connues par rapport à l’anneau soumis à l’expérience, on conclura de ces équations la quantité y relative au rayonnement de sa surface, et la conductibilité k de la ma-

tière dont il est formé, pourvu que ion connaisse déjà la chaleur spécifique c de cette matière. Cest par cette méthode que M. Fourier a déterminé la conductibilité du fer forgé (n.° 7), et il serait à desirer que les physiciens en fissent l’application à d’autres substances solides.

Tous les points de l’anneau étant parvenus à des températures invariables, si l’on cesse d’entretenir l’un de ses points à la température ô, et qu’on veuille déterminer la loi du refroidissement de l’anneau , ou prendre, dans ce cas, cette valeur de U pour la fonction arbitraire fx; 011 aura alors

IVb —IVb

par conséquent, dans l’état de l’anneau qui précède son refroidissement total , la somme des températures des points opposés sera exprimée par

IVb

-IVb

-jvr

IVb

-IVb

ce qu’on pourra vérifier par l’expérience.

s. IV.

Distribution de la Chaleur dans une Barre homogène qui rayonne par ses extrémités dans un milieu dont la température varie avec le temps .

[ 4 l.] Reprenons le cas d’une barre non rentrante sur elle-même, et cherchons à déterminer l’influence de la variation de température de

ses extrémités, sur la distribution Je la chaleur dans toute son étendue. Sans autre difficulté que la longueur des calculs, l’analyse que nous allons exposer pourrait s’appliquer au cas général où les deux bouts de la barre rayonnent inégalement dans deux milieux dont les températures sont variables et exprimées par des fonctions différentes du temps; mais pour ne pas donner trop d’extension à ce Mémoire, nous nous bornerons à considérer un cas particulier de cette question, le seul, au reste, qui soit susceptible d’applications utiles. Nous ferons d abord abstraction du rayonnement latéral; nous ferons donc bzzno dans l’équation (i), ce qui la réduit à

~dT ü * (0

Nous supposerons ensuite que l’extrémité E de la barre rayonne dans un milieu* dont la température varie avec le temps suivant une loi donnée , et qu’à partir de ce point E , la barre se prolonge à l’infini dans un seul sens, en sorte que nous n’aurons point à considérer son autre extrémité E\ Nous fixerons au point E l’origine des distances .y, qui s’étendront alors depuis xzrzo jusqu’à x = ^oo; de plus, nous désignerons par <J> t la fonction du temps qui représente la température du milieu ; et en observant que l’intensité du rayonnement est propoitionnelle à chaque instant, à l’excès de la température de la partie îayonnante sur celle du milieu dans lequel elle rayonne , la première équation (2) du 21. 0 8 sera remplacée par celle-ci :

J dT — (2)

laquelle aura lieu pour x zz: o.

Il est évident que la question dont nous allons nous occuper sera encore la même, si, au lieu de la barre que nous supposons, il s’agit d'un corps homogène de dimensions infinies, ou du moins trèsgrandes, terminé par un plan dont tous les points ont des températures égales et rayonnent également, et dans l’intérieur duquel la

MATHÉMATIQUE, y T

température es 1 la meme pour tous les points Je chaque section parallèle a cette suiface rayonnante, Je manière qu’elle ne varie d’un point à un autre qu à raison Je la distance à cett-e même surface. La valeur de u en fonction de * et de / que nous obtiendrons, pourra donc servir à représenter, en chaque lieu de la terre, les variations de température des points de son intérieur, correspondantes à celles de sa surface ; et cette formule conviendra, en général, à toute profondeur où la matière des couches terrestres n’aura pas sensiblement changé de nature , et où la grandeur de leurs rayons permettra de les considérer comme planes. On prendra alors pour c pt la température du milieu dans lequel la terre rayonne; mais cette température ne sera pas toujours celle de 1 air atmosphérique en contact avec sa surface dans le lieu donné ; car, d’après la théorie de la rosée, maintenant admise par les physiciens , on sait que la terre peut rayonner dans l’espace , quoique sa température soit à plusieurs degrés au-dessous de la température de l’air qui lui est juxtaposé. Au reste , nous ne ferons qu’indiquer cette application de la théorie de la chaleur, et nous n’insisterons pas sur tous les points de physique qui s’y rapportent ; notre but, dans ce Mémoire, étant seulement de résoudre d’une manière générale des problèmes relatifs à la distribution de la chaleur dans les corps solides.

Observons encore, avant d’aller plus loin, que, d’après la remarque du n.‘ p, la fonction <f t ne doit pas représenter la température du milieu environnant, dès le premier instant du rayonnement du point E: pour une entière exactitude, il faut que q> t soit composée de deux parties, dont l’une représentera cette température, et l’autre sera une fonction du temps, qui pourra avoir une valeur quelconque quand t= o ’ e P oc I l,e 011 nous supposerons que le rayonnement commence, mais qui décroîtra très - rapidement, et sera sensiblement nulle après un très-court intervalle de temps.

[42.] Pour résoudre simultanément les deux équations (i) et (a), nous commencerons par donner à <p t une forme particulière, à i a -

JZ PHYSIQUE

quelle nous ramènerons ensuite la forme générale de cette fonction. Soit donc

t z=z A sin ( et t -t- g ),

A, a et s étant trois constantes données. Faisons, dans ce cas,

u — u -H A'sin (ce/-h g) -H X' cos [ctt - 1- e) ;

u ', X et X' étant des quantités indéterminées, dont la première est fonction de x et t, et les deux autres ne dépendent que de x. Substituons cette valeur dans l’équation (i), et supposons qu’on ait d’abord

du’ i d* u '

il faudra qu’on ait en même temps

clX — a'dL*L- — 0 , a, X '-+- a ~A~ — o. (18)

d x* dx x

Substituons cette même valeur de u et celle de cp t dans 1 équation (2), et supposons encore

quand x zz: o ; il s’ensuivra aussi

4r —0(X—A) = O. d*-. -/3X' = o, (ip)

pour xrzzo. D’après la forme des deux équations en u , et en considérant que la barre s’étend à l’infini , à partir du point E qui répond à x zzz o , on voit que la valeur de u aura la même forme que la valeur de u du n.° 26; ainsi, en désignant par f'x la valeur initiale de u , sauf à la déterminer par la suite, nous aurons

« =-/. - \-+t> -[tfo ™v-f > J y /3/7 0 sin iy-J'y dy) e ~“ d l-

Quant aux valeurs de X et X' , en intégrant les équations (18) , et désignant (es constantes arbitraires par C, C, C" et C", on a

X =[Csin-l y/ï <7 cos ^

Ces deux quantités doivent être milles à l’autre extrémité de fa barre, où ion a x = 00 ; fes exponentielles dont les exposans sont réels et positifs, doivent donc disparaître de leurs expressions ; ainsi cl et a étant des quantités positives, il faudra quon ait.C'zno, C"'= o. On déterminera les deux autres constantes C et C, au moyen des équations (ip) ; substituant ensuite leurs valeurs dans celles de X et X' , on trouve

* , d VI

et en faisant, pour simplifier ces valeurs,

XXj ±jA

elles deviennent

XIX, e Cahier .

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