AT

-A fie

— s '"(tV / Î + i ') ;

d’où il résulte

A@>e a 2 sin^/-f-e—

X sin lœt-t-e)-hX cos~* ■ , . .... •

Soit maintenant u "=^fx la valeur initiale et donnée de u’ t en faisant

t — o , nous aurons

mettant donc / à la place de x, on tirera de là la valeur de /' y , que l’on substituera ensuite dans celle de u ; et celle-ci ne contenant plus que des quantités connues, nous aurons

Afie a ^ sin(»< + f-7|/^-«)

pour la valeur cherchée de u .

[43.] La première partie de cette valeur nous montre que chaque inégalité périodique que l’on suppose dans la température extérieure , en produit une de la même période, qui s’étend suivant toute la longueur de la barre : le temps de cette période étant désigné par t, on a

et/'zrr 2 cr, en sorte qu’il est en raison inverse Je la grandeur de <t. Relativement à ces variations de température, on voit, i. quà raison

de l’exponentielle leur amplitude décroît de plus en plus à

mesure qu’on s’éloigne du point E; 2. 0 que cependant les inégalités dont la période est la plus longue, décroissent moins rapidement, et peuvent être encore sensibles à des distances ou les inégalités a courtes périodes ont déjà disparu; 3-° que ce decroissement est aussi d’autant moins rapide, que la quantité a, dépendante de la matière de la barre, est plus considérable; 4-° q ue Ie maximum de chaque inégalité arrive à des époques différentes , dans toute la longueur de la

barre, car il a lieu lorsque l’angle a,t-4-e — j/”- " est un

multiple impair du quart de cercle, ce qui dépend de la distance .v.

Dans ses Recherches sur la The'orie de la chaleur, M. Fourier a développé très en détail les diverses circonstances de ces inégalités de température, que nous ne faisons ici quindiquer dune maniéré succincte.

[ 44 *] Quant à la partie u, elle se partage elle-même en deux portions; l’une dépendante de l’état initial de la barre, et 1 autre, de la variation de la température extérieure. Nous appellerons celle-ci T, et en effectuant la substitution de la valeur de f y dans celle de u ; nous aurons

/ r r(zco*z*+M n z*)U C 0 *zy-*-& s ' n iyL fydyd? 4- T,

U — Æ* Hr V . 7

2 A P> r r (^cos 7 y-H/Ssin^x)^'cos^y-h/asin^y) ^ 4 1, z « ZZ y/t . / y -/*

u—e)dy di;

les intégrales étant prises depuis y = o , z=o , jusqu’à;’—00, z—OO. L’intégrale relative à y qui entre dans la valeur de T, peut facile-

ment sobtenir par les règles ordinaires; mais cette intégration conduit à un résultat très-compliqué, que nous nous dispenserons d’écrire. L’intégrale relative à j ne peut s’obtenir que par approximation; et quand le temps t est devenu très-grand, elle se réduit en une série ordonnée suivant les puissances descendantes de t, qui peut servir à cet objet. En effet, en développant suivant les puissances croissantes de £, on a (l co ?e*-+- ftsin^x) (icos-^y -

P, P', P", &c. étant des coefficiens dont il sera facile de former les valeurs : d’ailleurs, n désignant un nombre entier et positif, on a aussi

zaVt

nous aurons donc

( 7 CfôS£x-t-jSsin£x) (^cos^y-

fi*

-/Ssin^v) - a x tf

-V-rü- e

2aVt a* t*

série qui sera très - convergente , quand fe temps î sera devenu trèsgrand, en remarquant toutefois que , comme la variable * entre dans ies numérateurs de ses termes, il faudra, pour cette convergence, que t soit d’autant plus grand que cette distance * sera elle-même plus considérable. Au bout d’un temps infini, la quantité T sera égale à zéro; mais si l’on veut savoir ce quelle devient avant de s’évanouir entièrement, ou connaître la loi de ses dernières valeurs, il suffira de conserver le premier terme de cette série; et comme on a

~ fi x ) ( 1 -ï-fiy)

P zzz —

il en résultera

A ( 1 -+- fi x)

2fia z t y /irt yé ôïfffdTfalf-fi 4

Or, on trouve; par les règles ordinaires,

e a ^ sin i ) dy = T"[( /3 ' + "rV / î) C0S (“ —e )-*—f l/î sin

donc , en remettant pour cos co et sin o>, leurs valeurs, nous aurons

rji ( 1 -4-Æx ) A cos e

2 a.(è>atVlTt *

ce qui montre que les valeurs finales de T suivront fa raison inverse de la puissance ~ du temps.

La première partie de la valeur, de u s’évanouira de meme au bout d’un temps infini; mais la loi de ses dernières valeurs dépendra de celle des températures initiales de la barre, et sera, en général, différente de la loi des dernières valeurs de T. Supposons, par exemple, que tous les points de la barre avaient, à l’origine, des températures égales et représentées par la constante C. Nous ferons alors fy=C; et comme on a, par les formules connues,

J 0 cos zy <ty = o, sin zy <iy = f »

cette partie de u deviendra

f 00 2 cossx-t- sin zx f

développant suiyant les puissances de on a

Z cosz* + P> sin zx i-4-/3x p

donc, en ne conservant que le premier terme,, et observant que

zaVt >

— ~a( 6 VT ( ~'

nous aurons

Cette valeur finale fie la première partie fie u , étant seulement en raison inverse fie fa racine carrée fiu temps, décroîtra moins rapidement que celle fie T, et elle pourra être encore appréciable à une époque où cette dernière sera déjà entièrement insensible.

Comme a et /3 sont toujours fies quantités positives, les températures finales fies points fie la barre seront fie même signe que sa température initiale C, et, abstraction faite fiu signe, elles croîtront, dans toute sa longueur, proportionnellement à la distance au point E, ou à fa variable .y. Cette quantité C sera positive ou négative, selon qu’à l’origine la température fie la barre était plus élevée ou moins élevée que la moyenne fies températures extérieures, laquelle moyenne est le zéro fie l’échelle thermométrique : en effet, elle est égale à l’intégrale JA sin (cl t-{-e)dt, prise dans toute l’étendue d’une période fie ces températures, c’est-à-dire, depuis cLtz=zo jusqu’à outzzz 2 7 r, et divisée par sa durée - 27r — ; ce qui donne zéro pour résultat. On peut voir, dans les Annales de chimie fiu mois d’avril 1820, et dans la Connaissance des temps pour l’année 1823, les inductions que M. Fourier et M. Laplace ont tirées de cette loi fies températures finales, relativement à l’état actuel fiu sphéroïde terrestre.

[ 45 -] Maintenant, au lieu d’un seul terme périodique, supposons que Qt en contienne un nombre quelconque, et que cette fonction soit ainsi exprimée :

Çt zzz A sin (ût/-f-g)-H/ 4 , sin (cc'M-g')~M"sin (<*/ , '/-4-e")-f-&c. ;

A, A' &c., oc, oc ' &c., e, C, &c. , étant fies constantes données. O11 considérera successivement tous ces termes, et chacun d’eux produira fieux termes distincts dans la valeur fie u ; fun périodique et semblable à celui que nous avons examiné dans le n.° 43 » et l’smtre non périodique et semblable au terme que nous avons désigné par T : ajoutant ensuite tous ces termes à la partie de u qui dépend fie l’état initial fie la barre, on aura l’expression complète de u correspondante à la valeur

de cj>/ qu’on a supposée. La meme chose aura encore lieu lorsque ces termes seront en nombre infini, et représenteront les élémens infiniment petits dune ou de plusieurs intégrales définies; seulement il arrivera alors que les sommes des termes correspondans de la valeur de u seront aussi exprimées par de semblables intégrales. Or, d’après l'équation (17) du 11. 0 3 5 , on peut décomposer une fonction quelconque Q t en une infinité délémens de cette forme; on pourra donc aussi exprimer, sous forme finie, la valeur de u en fonction de .v et /, dans le cas général où la température extérieure est représentée par une fonction du temps entièrement arbitraire. Ce sera la solution complète du problème que nous nous étions proposé de résoudre (n.° 40 » et sur l ec l ue l nous nous abstiendrons d’entrer dans de plus grands détails.

Équations différentielles du Mouvement de la Chaleur dans un corps solide de forme quelconque.

[ 46 .] Soient x, y , £, les trois coordonnées rectangulaires d’un point quelconque M, appartenant à la masse du corps, et situé à une distance de sa surface plus grande que celle à laquelle s’étend le rayonnement intérieur. Soit M' un autre point voisin de M, et jla distance mutuelle de ces deux points, qui sera supposée plus petite que l’étendue sensible de ce rayonnement. Représentons par x-+-x', y-hy', Z-+-Z * les coordonnées de ce second point; en sorte que x', y', C soient les coordonnées de M , rapportées au point M, comme origine, et, par conséquent, des quantités très-petites, comme la distance s. Partageons le volume entier du corps en élémens infiniment petits dans leurs trois dimensions, et désignons par dv et dv' les élémens qui répondent aux points M et M'. Désignons enfin par u et u' les températures qui ont lieu en ces mêmes points au bout du temps quelconque t; de manière

que u soit une fonction des quatre variables t, x, y, £, et u la même fonction de t, x-t-x', y-+-y',

L’action échauffante de i élément dv sur i élément dv, pendant 1 instant dt, produira dans dv une augmentation de quantité de chaleur qui sera proportionnelle à la durée de cet instant, à chacun des deux volumes dv et dv', et à l’excès de la température de dv' sur ceiie de dv, et qui aura en outre pour facteur la fonction de la distance, qui exprime la loi du rayonnement intérieur dans la matière dont le corps est formé. Si donc on représente ce facteur par P, cette quantité de chaleur sera exprimée par

P (u — u) dv dv dt.

On en déduira la quantité totale de chaleur que l’élément dv reçoit, pendant 1 instant dt, de tous les élémens qui l’environnent, en intégrant cette expression différentielle par rapport aux variables x, y, etendant l’intégrale à toute la sphère d’activité du rayonnement intérieur autour du point M ; donc, en désignant cette quantité totale de chaleur par ^ dv dt, on aura

^ dv dt = dv dt f P (u — u) dv, ou fji = f P (u — u) dv.

Pour effectuer l’intégration indiquée, je développe u'—u suivant les puissances de x, y, £, ce qui donne la série

qui ne pourra manquer detre très-convergente, à cause de la petitesse des variables x, y, z- A ces trois coordonnées du point M', nous substituerons ses trois coordonnées polaires s, 0 et ^, en désignant par 0 l’angle compris entre son rayon vecteur j et l’axe des Z , et par ^ l’angle compris entre la projection de ce rayon, sur le plan des x , y , et l’axe des x ; nous aurons alors

Z 1 — s cos fl, y =s sin 6 sin x‘ = s sin 6 cos 4/;

1 expression différentielle de l’élément dv sera, comme on sait, dv = r* sin ô ds fffl d

et, pour étendre l'intégrale à toute la sphère d’activité du rayonnement intérieur autour du point M, il faudra d’abord intégrer depuis fl = o jusqu’à â = vr, et depuis 4, —o jusqu’à 4, =3 2 te. Quant à l’intégrale relative à 1, on devra la prendre depuis s — o jusqu’à la limite de ce rayonnement; mais cette limite nétant pas une quantité déterminée quon puisse faire entrer dans le calcul, et d’ailleurs P étant une fonction de s, dont les valeurs sont tout-à-fait insensibles à cette même limite et au-delà, on pourra étendre les intégrales des quantités qui ont P pour facteur, depuis s= o jusqu’à j=oo, ainsi que cela se pratique dans toutes les questions de la même nature ( n.* 4 ).

Cela posé, on aura

//V sin 0 dù <4=0, ffy' sin 6 M 4=o, ff{ sin 6 db 4 = o; f/xy sin fl db J-l—o , //V sin 0 db d^= o, ff / Z ’ sin 0 db df~o ; et généralement

ff x ,n y »' î n " sin G dô =

toutes les fois que l’un des trois nombres entiers et positifs //, ri\ ri', sera un nombre impair. On trouvera ensuite

ff x ‘ Sin Ô db d\ —ffy* sin 9 dh = ff z '> sin 9 jg

donc, en faisant, pour abréger;

2 t roo ,

TJ.

et négligeant tous les termes de quatre dimensions par rapport à x,y, nous aurons

Xix.‘ Cahier.

f*—f P (u — u) dv =k{^

dx 2

dy x

Maintenant j’observe que, pendant l’instant dt, la température de Iélément dv augmente de dt; or, si Ton appelle c la chaleur spécifique de la matière du corps ( n.° 3 ), il en résultera c -jy dv dt, pour l’augmentation de chaleur correspondante à cette variation instantanée de température; les deux quantités c dv dt et \a dv dt devront donc être égales entre elles; donc, en substituant pour /a sa valeur, et faisant, comme dans le n.° 4» ~~ — a z , on aura enfin

~dF

pour Téquation différentielle du mouvement de la chaleur dans l'intérieur de la masse du corps que Ton considère.

[ 4 7.] Cette équation a déjà été donnée par M. Fourier, qui Ta déduite de considérations différentes de celles que nous venons d’employer. On doit remarquer que sa forme est subordonnée au mode de communication de la chaleur que nous avons supposé : si ion admettait, par exemple, que le rayonnement intérieur s'étendît à des distances sensibles, dont la grandeur pût influer sur les phénomènes, il faudrait prolonger le développement de u — u, suivant les puissances et les produits de x', y, £, au-delà des termes auxquels nous nous sommes arrêtés; d’où il résulterait, pour le second membre de l’équation (a), une autre forme qui serait plus compliquée que la précé-< dente. II faut aussi observer qu’à de hautes températures, la chaleur spécifique des corps solides varie avec ces températures, et que peutêtre il en est de même à l’égard de leur degré de conductibilité: le coefficient a x est donc alors une fonction de u, dont l’expérience n’a point encore fait connaître la nature; par conséquent l’équation (a), appliquée au cas des températures très-élevées, n’est plus une équation

linéaire; mais, dans le cas des températures ordinaires, ce coefficient est indépendant de u, et ion doit le regarder comme une quantité qui ne dépend que de Ja matière du corps, et qui est donnée dans chaque cas particulier.

[ 48 .] Supposons, comme dans le premier §. de ce Mémoire, que ie corps que nous considérons soit une barre cylindrique d’une petite épaisseur; prenons son axe pour celui des x, en sorte que ia température u ne soit plus fonction que de cette variable et de t ; l’équation (a) se réduira alors à celle-ci :

dt ' dx* *

dont la forme est la même que celle de l’équation (1), quand on n’a point égard au rayonnement extérieur, et qu’on fait b=o. En la comparant à l’équation (1), on voit qu’il faut que le coefficient a x ait la même signification qu’il avait précédemment, et par conséquent aussi la quantité k; ainsi, dans le cas général, la quantité k continuera de représenter la mesure de la conductibilité calorifique de la matière du corps, en donnant a cette mesure 1e sens qui a été défini dans le n. # 7. 11 en résulte aussi que les deux expressions de k du n.° précédent et du n.° 4 doivent être équivalentes ; de sorte qu’il faut qu’on ait

ce quil est bon, avant d’aller plus loin, de vérifier d’une manière directe.

Pour cela, considérons de nouveau les deux élémens u>dx et ads d une barre cylindrique , dont nous avons déjà examiné l’action mutuelle dans le n.° 2 : ces deux élémens sont terminés par des sections perpendiculaires à l’axe ; l’aire de chacune d’elles est a ; les épaisseurs des élémens sont dx et ds; la partie de l’axe interceptée entre eux est représentée par s, la température du premier ccdx par u, et celle du second

a ds par u ' ; enfin la quantité de chaleur que ce second élément envoie au premier dans finstant dt a été exprimée par ( u ' — u) <p s .cù dxdsdt. Or, si nous divisons chacune de ces deux tranches cylindriques en élémens infiniment petits dans leurs trois dimensions, et que nous désignions par ^ un élément de cùdx , par dv' un élément de cùds, et par s la distance mutuelle de ces deux élémens, la quantité de chaleur envoyée par dv' à dv pendant i’instant dt sera exprimée, d’après ie n.° precedent, par ( u — u) P' dv dv' dt ; P' étant ce que devient P quand on y met s à ia place de s. Par conséquent, la quantité totale de chaleur que la tranche &dx reçoit de cùds, s’obtiendra en intégrant cette formule différentielle, et étendant l’intégrale à tous les élémens dv et dv de ces deux tranches ; donc, en supprimant les facteurs u—u et dt, nous aurons

Qs.u dx ds = JÇP' dvdv r .

Dans cette double intégration , on pourra n’avoir point égard aux points des deux tranches dont les distances à leurs bords sont moindres que l’étendue du rayonnement intérieur; car les dimensions de l’aire u étant supposées très-grandes et comme infinies par rapport à cette étendue (n.° 2), l’action mutuelle de ces points n’ajouterait que des quantités de chaleur tout-à-fait insensibles, relativement à la quantité que nous voulons calculer.

Cela étant, pour effectuer l’intégration relative à la tranche uds, abaissons de l’élément dv une perpendiculaire à l’une des deux bases de cette tranche ; soit O le pied de cette perpendiculaire ; menons par ce point une droite fixe dans 1e plan de cette base ; appelons r la distance de 1 élément dv au point O, et ce l’angle compris entre cette ligne r et la droite fixe : nous aurons

s 1 — r “H s% * dv — rdrdouds ;

et pour étendre l’intégrale fP'dv' à tous les élémens de la tranche uds, moins ceux dont nous négligeons de tenir compte, il faudra fa

prendre depuis ctzio jusqu a cl—ztt, et depuis r=o jusqua r zzoo. La quantité P n’étant fonction que de s', l’intégration relative à cl donnera simplement f P' d v r zzz 2 tt ds J P' rdr ; par rapport à r, on a identiquement

f™ P'rdr=zf~ P's'ds' ;

on aura donc

J*P' d v' ZZZ Z 7T i sj~^° P' S ds'.

Comme cette valeur de f P' dv' ne renferme rien qui dépende de la position de l’élément dv, l’intégration relative à la tranche udx s’effectuera immédiatement en remplaçant cet élément par le volume entier de la tranche ; d’où l’on conclut

JJ* P'dv dv ~ ZTTCùdxds P' s' ds' ;

et par conséquent

En intégrant par parties , on a

ST <3/s - 5 ' ds — t~ * ~ f f? s ’ d<ps:

le terme compris hors du signe / est nul aux deux limites; d’ailleurs, en différenciant l’équation précédente par rapport à s, et observant que P devient P t quand s'— s, on aura dq>s =— zvrPsds; nous aurons donc enfin

ce qu’il s’agissait de vérifier.

[ 4 ÿ.] Si le corps de forme quelconque auquel se rapporte l’équation (a) est homogène, chacune des quantités c et k aura la même valeur

dans toute sa masse ; si, au contraire , il est formé de diverses substances, de sorte que la densité et la nature de ses molécules varient d’un point à un autre, ces deux quantités varieront de même, et devront être données en fonctions de a*, y, %; mais ce ne sera pas la seule modification qu’il faudra faire subir à l’équation (a), pour l’appliquer à un corps hétérogène : dans le cas général, son second membre renferme des termes que la supposition particulière de l’homogénéité fait disparaître.

En effet, l’action mutuelle des deux élémens dv et dv dépend non-seulement de la distance qui les sépare et de la différence de leurs températures, mais elle dépend aussi de la matière dont ils sont formés; la quantité que nous avons désignée par P est donc, en général, une fonction de s et des coordonnées des deux points M et M', c’està-dire qu’on a

Cette fonction n’a de valeurs sensibles que pour des valeurs de s trèspetites et moindres que l’étendue du rayonnement intérieur : sa forme n’est pas connue ; mais elle doit être symétrique par rapport aux coordonnées de M et à celles de M'; en sorte qu’elle doit rester la même, lorsqu’on y échange entre elles, soit x et x-h-x', soit y et y-\-y' > soit i et z~hZ' Oe cette symétrie, il résulte que si nous faisons

nous aurons

d p j__£LL — — 1 LL LL 1 d Q

dx 2 d x dy 2 dy * d £ ~z 7~£ *

les variables x, y, z étant supposées nulles après les différenciations. Développant donc la quantité P suivant les puissances de ces variables, on aura

dQ.

Scç. ;

or, si l’on prend, comme plus haut, la valeur de l’intégrale fP(u—u)dv, et que Ion continue de négliger les termes de quatre dimensions et au-delà par rapport a x , y, on trouvera

fp{u'—u)dv' = k (•

[JUL j

dy x

H ~dF>

1JT

en faisant toujours

— f 00 Ps*ds = L

Par conséquent l’équation (a) sera remplacée par celle-ci :

d* u dy*

dk du dx dx

d k d k du

d y dy d^ d^ *

qui n’avait point encore été donnée , et qui peut aussi s’écrire de cette autre manière :

Les quantités c et k sont ici des fonctions de x, y, qui représentent la chaleur spécifique et la conductibilité dans la matière dont est formé l'élément qui répond à ces trois coordonnées ; et ces fonctions devront être données dans chaque cas particulier.

[ 5 °.] Appliquons, par exemple, cette équation générale au cas d une sphère composée de couches sphériques et homogènes , dont la densité et la nature varient d’une couche à l’autre ; supposons de plus que la température a été primitivement la même dans toute l’étendue de chaque couche; il est évident qu’elle demeurera constamment égale pour tous les points également éloignés du centre de la sphère. Désignant donc par r la distance du point quelconque M à ce centre, la quantité u ne sera fonction que de r et /, et c et k ne dépendront que

de r; si donc on p lace l’origine des coordonnées à ce même centre, on aura — r > et ion en conclura

~~dV

du y dr r

- du Z

“ dr r

d’où l’on

tire

dx 2

dy 2

dï

On aura ,

en même temps ,

dx :

— dr

dk y

dr r *

dl -

dk z ~ dr ~7'

et l’équation (b) deviendra

r dr )

~~dr *

laquelle n'est intégrable sous forme finie que dans un très-petit nombre de cas particuliers.

. En multipliant ses deux membres par d vr r'%dr, et intégrant en suite depuis rzzzo, il vient

f4'7rr'c-£-Jr = 4„r'kS!L;

or, si Ion considère, dans l’intérieur de la sphère entière, une sphère concentrique du rayon r, il est évident que l’intégrale qui forme le premier membre de cette équation, multipliée par dt, exprimera l’accioissement instantané de sa quantité de chaleur; par conséquent la chaleur qui traverse sa surface, et passe dans l’autre partie de la sphère entière pendant chaque instant dt , sera égale au second membre de cette équation, multiplié aussi par dt, et pris avec un signe contraire, c’est-à-dire, égale à — 4 tr r'k d t.

. I Dans , Ie cas d ’ une s P hère homogène, les quantités r et k seront indépendantes de r, et l’équation d’où dépend la valeur de », se réduira à

~dX

2 du r dr

en faisant — — a *. Si la sphère, au lieu d’être entièrement homogène?

se compose d’un noyau sphérique et homogène, recouvert d’une couche sphérique, également homogène, mais d’une matière différente de celle du noyau, cette équation s’appliquera successivement à ces deux parties du corps, en y mettant pour a les valeurs qui leur conviennent. De plus, il existera à leur surface de séparation, des relations entre leurs températures, qui s’obtiendront par un raisonnement semblable à celui du n.° 10 : désignant par / le rayon de la sphère intérieure, par k la conductibilité de la matière dont elle est formée, par k' celle de la matière de la couche extérieure ; appelant u et u les fonctions de r et i, qui représentent les températures dans ces deux parties du corps , on verra que l’on doit avoir

pour la valeur particulière r=zl; et l’on remarquera, comme dans le n.° cité, que si les deux parties du corps ont été échauffées arbitrairement avant d’être mises en contact, ces équations n’auront lieu , en général, qu’au bout d’un temps très-court, dont on pourra faire abstraction. Ce cas d’une sphère formée de deux parties de matières différentes, est celui que nous considérerons spécialement dans le VII. ç de ce Mémoire.

[5 I.] II existe à la surface rayonnante d’un corps solide de forme quelconque , une équation différentielle qu’il est nécessaire de joindre à 1 équation (b), et dont nous allons maintenant nous occuper. Pour parvenir à cette équation d’une manière qui sdit bien propre à montrer sur quelles suppositions elle repose , nous déterminerons d’aborcf l'es variations de chaleur qu’eprouvènt les points du corps situés à une très-petite profondeur au-dessous de sa surface; ainsi nous supposerons XIX, e Cahier , M

le point quelconque M à une distance de la surface moindre que i’étendue du rayonnement intérieur; et nous conserverons d’ailleurs toutes les notations du n.°46 . La quantité de chaleur que reçoit, dans l’instant dt, 1 élément de dv qui répond au point M, sera toujours exprimée par dvdtfP[ii — u) dv ; mais pour étendre l’intégrale à tous les élémens dv qui agissent sur dv, il ne faudra plus la prendre dans les memes limites que précédemment : ses limites dépendront maintenant de la distance du point AI à la surface, et nous les fixerons de la manière suivante.

Abaissons du point AI une perpendiculaire sur la surface , qui la rencontre en un point que nous appellerons E ; désignons par r la longueur de cette droite AIE, qu’on suppose très-petite; et menonsfui par le point AI un plan perpendiculaire, lequel retranchera du corps le segment dont la flèche est AIE ou r : pour abréger, nous indiquerons dorénavant ce petit segment par la lettre A , et par B l’autre partie du corps entier. Les coordonnées x , y , % , du point Ai' auquel répond l’élément dv', ont leur origine au point M , et leur direction est arbitraire ; nous prendrons la droite ME pour axe des 3', et par conséquent les axes des x' et y dans le plan mené par le point M : les angles 4/ et 0 du n.° 46 se rapporteront à ces axes ; on aura toujours

x =jsin 0 ços* 4 ' f /pifsin'flsîn^» l=sc os0, dv — s 1 sin0 d\d§ds;

et pour tous les points de A, l’angle 0 sera compris depuis 0 rzr o jusqu’à ô:z=-7'7r, et pour ceux de B, il s'étendra depuis 0~~ tt jusqu’à 6 = 7T. Enfin, nous représenterons par r le rayon vecteur ou la valeur de s qui répond à un point quelconque de la surface de A; en sorte que r soit une fonction de ^ t 0 et r, donnée par l’équation de cette surface. A cause de la petitesse qu’on suppose à r, on pourra toujours développer cette fonction en série très - convergente , ordonnée suivant les puissances de r ; il est aisé de voir que fon aura

pour le premier terme de cette série ; et comme , dans les calculs

suivans, nous négligerons tous les autres ternies, nous aurons simple* ment, quelle que soit la forme du corps,

cos g

Cela posé, nous partagerons, pour plus de clarté, l'intégrale f P(u u ) dv en deux parties : lune relative à B, que nous désigne¬

rons par b , et dont les limites seront 4- = o , ô = ^7r, j—o, et 4 / — 2 7T , 6= TT , J~oo; et l’autre relative au segment A , dont nous représenterons la valeur par a, et que l’on prendra d’abord depuis s — 0 jusqu a jzzrr, et ensuite depuis et ônzo jusqu’à

et û = ~7r.

[52.] Pour obtenir ces deux portions d’intégrale, nous substituerons à la différence u—u son développement suivant les puissances de x, y, £, savoir :

> du, du, du,

mais il est important d observer que ce développement ne serait plus permis, si la température des points voisins de la surface augmentait ou diminuait très-rapidement avec leur enfoncement dans l’intérieur du corps, c’est-à-dire, si u était une fonction de £, de l’espèce de celles qui éprouvent une très-grande variation dans un très-petit intervalle des valeurs de la variable, ainsi qu’il arrive, par exemple, à fa fonction qui exprime la loi du rayonnement intérieur. Il ne serait plus possible alors de développer u en série convergente suivant les puissances de 1 ; 1 analyse suivante ne serait plus applicable, et l’on pourrait s’assurer , au contraire, que 1 équation relative à la surface, à laquelle nous voulons parvenir, n’aurait pas lieu dans un pareil cas.

f ne conservant que les termes du premier ordre par rapport à x' , y , z' , nous aurons

fP(u-u)Jv'= -TrfiPdv':

si le corps n’est pas homogène, P sera fonction de x, y, £ et s ; mais, comme les intégrations ne sont pas relatives aux trois premières variables , nous mettrons simplement fs à la place de P ; substituant, en outre, à la place de x, y, £ et dv , leurs valeurs, on effectuera ensuite immédiatement les intégrations relatives à J/, qui ont les mêmes limites pour les deux parties A et B du corps. On aura

rV^zzo, J~~ 7r y'd^, — o, J”** £d\ :zz: 2 7r s cos 0 ;

d’où il résulte

/P (u — u) dv = 2 7T fff*.* sin 0 cosô ds d§ :

on a mis la différence partielle entre parenthèses , pour rappeler

qu’elle se rapporte à une direction particulière de l’axe des £, à la direction normale à la surface au point E.

Relativement à la partie B du corps, on aura donc

*= 17 r (smflcosÔ^=-vr(-^) f^fs.^ds.

Par rapport à l’autre partie, on pourra aussi ramener l’intégrale double à une intégrale simple, après quelques transformations. Je fais, en premier lieu ,

s' J ds'

cos 9 * S cos 0 '

les limites de 1 intégrale relative a j- étaient s — o et s—r— — r -

. , , cos 0

celles'de l'intégrale relatives a s seront s = o et s~ r ; et nous aurons

à = 2 * [f)fo [/: v (-^ t ) j sds‘.

Faisons ensuite

les limites relatives à s" seront s"z=zs , qui répond à Q — o, et j zzoo, qui répond à 9nzy7r; 011 aura par conséquent

a = 2 * ( 4 ^ \fl ( f?f*' ■ s " ds ") s ' d s '\

Soit, pour un moment,

en intégrant par parties , on aura

fl s . s'd s = <î> r — ff s'-dQf s ;

mais on a 'd<ÿs r z=.—fs • s ds ; remettant, en outre, pour <J>r, ffnté-i grale qu’elle représente, et employant la variable s, au lieu de s et s"; nous aurons

a = ^{rt) (r'/r/s.sJs-^f'fs.s’ds).

En faisant la somme de ces valeurs de a et b, il en résultera, pour la valeur entière de l’intégrale que nous considérons,

fP[u u) dv — (-j~) (r*/“ fs.sJs-fl°fs.s> Js),

[5 3 *] Un élément dv, situé à une très-petite distance r de la surface , reçoit donc dans l’instant dt, de tous les élémens qui l’environnent , une quantité de chaleur égale à cette valeur de notre intégrale, multipliée par le produit dvdt. Or, si l’on compare ce résultat à celui du n.° 46, on voit que cette quantité de chaleur est très-grande, et comme infinie par rapport à celle que reçoit, dans le même instant, un élément situe dans 1 intérieur du corps, à une distance sensible de la surface; car, dans la première de ces deux quantités, le coefficient de dvdt ne renferme que des termes du troisième ordre ou de trois dimensions, par rapport à r ou à s , tandis que la valeur de fx du n.° 46 contient le facteur k , qui représente le terme du quatrième

ordre^fs. sÙs. Les points voisins de la surface du corps éprouveraient donc alors des variations de température extrêmement grandes, en les comparant à celles qui ont lieu dans son intérieur ; et au bout d un temps fini, ifs auraient acquis des températures, positives ou négatives , qui dépasseraient toute limite observable. Si donc on admet que cette circonstance na pas lieu, i[ faudra que la quantité de chaleur que reçoit l’élément dv, et que nous venons de calculer, soit compensée par celle quil émet au-dehors du corps dans le même instant dt, et qui produit le rayonnement extérieur. Ainsi, en désignant par fdvdt cette dernière quantité, il faudra qu’on ait l’équation

au moyen de laquelle les termes du troisième ordre par rapport à j et à r, n entreront plus dans l’expression de la quantité de chaleur reçue a chaque instant par l'élément dv ; en sorte que cette expression ne dépendra, comme pour les points de l’intérieur du corps, que des termes du quatrième ordre, dont nous n’avons pas tenu compte dans les calculs des deux n. oS précédens. Nous allons maintenant déterminer la valeur de f en fonction de r, pour la substituer ensuite dans cette équation.

[ 54 -] Daprès le mode de rayonnement extérieur que nous avons expliqué dans le préambule de ce Mémoire, si M' indique actuellement un point du milieu dans lequel ie corps rayonne, et que dv' soit toujours l’élément de volume correspondant à ce point, la quantité de chaleur envoyée à cet élément dans l’instant dt, par l’élément dv qui répond au point M que nous avons considéré dans les n.* ! précédens, sera exprimée par F(r', s') (a — Ç) dv dv dt : on indique ici par » et Ç les températures aux points M et M' ; par r'+j' la longueur de la droite MM', dont la partie r' est comprise dans l’intérieur du corps, ei la partie s en dehors ; et par F(r, s'), une fonction de r et s, qui

MATHÉMATIQUE. çj

na de valeur appréciable qu autant que r est très -petite, et devient insensible dès quon donne à cette variable r' une grandeur sensible. Dans le cas général où le milieu dont le corps est environné ne sera pas par-tout homogène, cette fonction devra aussi contenir, outre la ligne s', les deux autres coordonnées du point M', qui déterminent la direction de son rayon vecteur : sa forme , par rapport aux trois coordonnées de ce point, dépendra de la constitution du milieu ; et si ce milieu est circonscrit par une enceinte fermée, les valeurs de la fonction s étendront jusqu’aux parois qui le contiennent, et même un tant soit peu au-delà, dans l’intérieur de la substance qui forme cette enceinte. Pour fixer les idées, et aussi afin de simplifier la question , nous placerons le corps que nous considérons, dans un espace fermé, très-grand par rapport à son propre volume, terminé par des parois qui seront par-tout de la même nature, et rempli d’un fluide homogène qui aura la même température et la même densité dans tous ses points; alors le coefficient F[r, s) ne sera réellement fonction que de r' et j , et la quantité Ç sera constante, ou du moins elle ne sera fonction que de t, dans le cas ou la température de ce milieu variera avec Je temps.

Nous aurons donc, de cette manière,

f dvdt=:{u-Qdvdl y F{r', s') dv . ou />=(«—£) J * F{r', ,')dr ;

et il faudra étendre l’intégrale à tous les élémens dv' auxquels le point Ad envoie de la chaleur rayonnante. Comme r-t- s' est le rayon vecteur du point Ad , si Ion conserve les angles et 0 des n.°*précédens, on aura

dv — (/-f- s')* sin 9 d0 di^ds.

L’intégrale relative à s s’étendra depuis /== o jusqu’à la valeur de / qui répond à la limite de l’espace dans lequel ie corps est placé, laquelle valeur, à cause de Ja grandeur de cet espace, sera à très-peu près

la même dans tous les sens autour du corps; on aura donc

J F[r, s') [r -hs'Y ds' — (p r ;

et cette quantité < pr' sera une fonction de la seule variable r , qui n’aura de valeur appréciable, ainsi que F[r, /), que pour des valeurs insensibles de cette variable. Mettant donc pour r sa valeur (n.° 51), il en résultera

/ = (“ — Off ? (isrr) sin 9 <Uj

Oïl devra prendre l’intégrale relative à depuis ^z=:o jusqu’à ^=2'7r; et par rapport à 0, il est aisé de voir qu’il suffira d’intégrer depuis 6=0 jusqu’à Ôzz:-^7r; par conséquent on aura

/ = 2 ^ — 0/j T (i^r) sin 9 d 9 -

[55.] Je substitue cette valeur de f dans l’équation du n." 53 ; il vient

(4ir) ( r 'j7f* - sds —f?f s • ds )

Cette équation aura lieu pour toutes les valeurs de r comprises depuis r — o jusqu’à la limite du rayonnement, soit intérieur, soit extérieur; et l’on peut voir que ses deux membres deviendront identiquement nuis, et quelle disparaîtra par conséquent, dès que cette variable aura acquis une grandeur sensible, qui permettra de la traiter comme infinie dans les intégrations. Mais, comme elle contient les deux fonctions désignées par f et par dont la forme est absolument inconnue, elle ne pourra pay setVir àf la détermination de la valeur de u ; de sorte qu’il s’agit d’en dcduire-ùïie autre équation, qui ne contienne que des constantes données pak ïobservation, et qu’on puisse employer à cet usage.

Pour cela, j’observe qu’en intégrant par parties, et faisant — = <p'r.

sin G </0

cos 0

ÏT *(~^ï ) si " 6 ^ r '(~) ^

l’équation (c) est donc la même chose que

(-7r)[ r fr f StS ^ s — J r fs.s 3 ds]z=:2(u —Ç)[cpr

-f- \ ?' ia9d 9 1

J O ~ \ cos 0 / cos 0 J *

Dans Iintervalle des valeurs de r pour lesquelles elle subsiste, la température u ne varie pas sensiblement par hypothèse (11/52); on peut

donc la différencier par rapport à r, en regardant u et comme

des constantes ; on a d’ailleurs

d f?f s - s ds — —f r ■ rdr > àf~fi ds — —fr.r ’ dr ;

faisant donc encore — q>" r, on aura

De plus, on a évidemment

f—i— dù.

J O ^ \ cos $ ) cos a 0 J